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2014年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参考答案

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2014 年福建省高中数学竞赛 暨 2014 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案 (考试时间:2014 年 5 月 17 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 , l2 : x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a ? 【答案】 2 3 2 。 3 【答案】 2 【解答】设 PF1 ? 4t ,则 PF2 ? 3t , 4t ? 3t ? PF1 ? PF2 ? 2 。 于是, t ? 2 , PF1 ? 8 , PF2 ? 6 ,结合 F1F2 ? 10 知, △PF1F2 为直角三角形, PF1 ? PF2 。 ∴ 6 ? 8 ? 10 ? 2。 2 △PF1F2 内切圆半径 r ? 。 5.已知集合 A ? ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? , B ? ? x x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 ? 。若 a ? 0 ,且 A ? B 中恰有 1 个整 数,则 a 的取值范围为 【答案】 。 【解答】 l1 ? l2 ? a ?1 ? ?2(a ? 1) ? 0 ? a ? 2.函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? 【答案】 ?1 3 5 ? ,? ? ? 6 2? 3 ?? ? ? ( x ? ? , ? )的值域为 2 ?12 2 ? 。 【解答】 A ? ? x x ? ?4 或 x ? 2 ? 。 设 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,则 f ( x) 的轴对称 x ? a ? 0 。 由 f (?4) ? 16 ? 8a ? 4 ? 0 ,知 B ? ? x x ? ?4 ? ? ? 。因此, A ? B 中恰有的一个整数为 3。 ∴ ? 1 ? x ? ?? , 1 ? 2 ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 1 3 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 。 2 2 2 2 2 3 【解答】 f ( x) ? 3 ? ? ? 2? 1 ? ?? ? ? 由 x ? ? , ? 知, ? ? 2 x ? ? , ? ? sin(2 x ? ) ? 1 。 6 3 3 2 3 ?12 2 ? 3.在三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? 2 , AB ? BC , BC ? CD , DA ? AB , ?CDA ? 60? 。则三 棱锥 D ? ABC 的体积为 【答案】 4 3 ? ? 9 a6 ? ?4 0 ? f(3) 13 5 ?13 5 ? ,解得 ? a ? 。故, a 的取值范围为 ? , ? 。 ? 6 2 ? 1? 6 a? 8 ?4 0 ? 6 2? ? f(4) p p ( p , q 为 正 整 数 ) 化 成 小 数 为 ? 0.198 q q 6.若分数 p?q ? ,则当 q 取最小值时, 。 。 121 p ? 0.198 q ? 1 p 1 ,知 ? , q ? 5 p ,记 q ? 5 p ? m ( m 为正整数) 。 5 q 5 【答案】 【解答】由 于是, ∴ 【解答】如图,作 DE ? 面 ABC 于 E ,连 EA 、 EC 、 ED 。 ∵ ∴ B C? C D , DA ? AB , E C? C B , EA ? AB ,四边形 EABC 为矩形。 p ? 0.198 5p ? m , 0.198(5 p ? m) ? p ? 0.199(5 p ? m) 。 由 AB ? BC 知,四边形 EABC 为正方形,且 DA ? DC 。 又 ?CDA ? 60? ,因此, △DAC 为正三角形, DA ? AC 。 ∴ ∴ 2 2 EA ? ED ? 1 9 .m 8 ? p? 3 9m .。 8 当 m ? 1 时, 20 ? p ? 39 ,取 p ? 20 , m ? 1 时, q 最小为 101。 又 20 ? 0.19801980 101 E 2A ? 2 ED ? EC ? 2 。 。于是, E C 符合要求。故,当 q 最小时, p ? q ? 121 。 。 1 1 4 三棱锥 D ? ABC 的体积为 ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? 。 3 2 3 7.随机地投掷 3 粒骰子,则其中有 2 粒骰子出现的点数之和为 7 的概率为 【答案】 5 12 4.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? 若 y2 ? 1的左、右焦点, P 为双曲线 C 上一点,且点 P 在第一象限。 24 PF1 PF2 4 ? ,则 △PF1F2 内切圆半径为 3 。 1 【解答】投掷 3 粒骰子共有 63 ? 216 种可能。考虑 7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 5 ? 3 ? 4 。 投掷三粒骰子,有两粒骰子出现 1 和 6 的可能有 6 ? 6 ? 6 ? 30 (种) 。 (分为 (1, 6, ?) ,(1, ?, 6) ,(6 ,, 1 ?) ,(6 , ?, 1) ,(? ,, 1 6) ,(? , 6, 1) 这 6 种可能,每类有 6 种情况。 6, 1) , (1, 1 6) , (6 ,, 1 1) , (6 ,, 其中, (1, 6, 6) , (1,, 1 6) , (6 , 6, 1) 重复出现) 10.若 a , b , c 为关于 x 的方程 x3 ? x2 ? x ? m ? 0 的三个实根,则 m 的最小值为 【答案】 ? 5 27 。 同理,投掷三粒骰子,有两粒骰子出现 2 和 5 的可能与有两粒骰子出现 3 和 4 的可能均为 30 种。 ∴ 投掷 3 粒骰子,其中有

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