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步步高高中数学2011版理科第一轮复习资料第十三编 算法初步、推理与证明、复数

时间:2012-06-13


第十三编

算法初步、推理与证明、复数

§13.1

算法与程序框图

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. (2009· 天津文, 6)阅读下面的程序框图, 则输出的 S=

(

)

A.14 B.20 C.30 D.55 解析 第一次循环:S=12;第二次循环:S=12+22;第三次循环:S=12+22+32;第 四次循环:S=12+22+32+42=30. 答案 C 2. (2009· 浙江, 6 文 7)某程序框图如图所示, 理 该程序运行后输出的 k 的值是 ( )

A.4 B.5 C.6 D.7 S 解析 当 k=0,S=0 时,执行 S=S+2 后 S 变为 S=1. 此时执行 k=k+1 后 k=1.当 k=1,S=1 时,执行 S=S+2S 后,S=1+21=3,此时执

行 k=k+1 后 k=2.当 k=2,S=3 时,执行 S=S+2S 后,S=3+23=11,此时执行 k =k+1 后,k=3.当 k=3,S=11 时,继续执行 S=S+2S=11+211,执行 k=k+1 后 k =4,此时 11+211>100,故输出 k=4. 答案 A 3.(2009· 福建文,6)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )

A.1 B.2 C.3 解析 程序运行过程中,S 与 n 数值变化对应如下表: 1 S 2 -1 2 n 2 3 4 故 S=2 时,n=4. 答案 D 为 ( A.n≤5? B.n≤6? C.n≤7? D.n≤8? 2(1-2n) 解析 即 21+22+?+2n=126,∴ =126. 1-2 ∴2n=64,即 n=6.n=7 应是第一次不满足条件,故选 B. 答案 B

D.4

4.(2010·青岛调研)若右面的程序框图输出的 S 是 126,则①应 )

5 5.(2009· 阳江模拟)一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为 ,则判断 6 框中应填入的条件是 ( )

B.i<5? C.i≥5? D.i<6? 1? ?1 1? 1 1? 1 1 1 1 5 解析 + +?+ =?1-2?+?2-3?+?+?5-6?=1- = ,应填 i<6?. ? ? 6 6 1×2 2×3 5×6 故选 D. 答案 D 6.(2009· 海南、宁夏理,10)如果执行下边的程序框图,输入 x=-2,h=0.5,那么输出 的各个数的和等于 ( )

A.i<4?

A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 解析 输入 x=-2 时,y=0,执行 x=x+0.5 后 x=-1.5. 当 x=-1.5 时,y=0,执行 x=x+0.5 后 x=-1. 当 x=-1 时,y=0,执行 x=x+0.5 后 x=-0.5. 当 x=-0.5 时,y=0,执行 x=x+0.5 后 x=0. 当 x=0 时,y=0,执行 x=x+0.5 后 x=0.5. 当 x=0.5 时,y=0.5,执行 x=x+0.5 后 x=1. 当 x=1 时,y=1,执行 x=x+0.5 后 x=1.5. 当 x=1.5 时,y=1,执行 x=1.5+0.5 后 x=2. 当 x=2 时,y=1,此时 2≥2,因此结束循环. 故输出各数之和为 0.5+1+1+1=3.5. 答案 B 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 开封模拟)在如右图所示的程序框图中, 当程序被执行后, 输出 s 的结果是 得 n=13, (4+40) ×13 ∴s=4+7+…+40= =286. 2 答案 286 8. (2009· 安徽, 13 文 12)程序框图(即算法流程图)如图所示, 理 其输出结果是__________. . 解析 数列 4,7,10,…为等差数列,令 an=4+(n-1)×3=40,

解析 由程序框图知,循环体被执行后 a 的值依次为 3,7,15,31,63,127. 答案 127 9.(2009· 杭州模拟)如图所示算法程序框图中,令 a=tan 315° ,b=sin 315° ,c=cos 315° , 则输出结果为________.

解析 程序即求 a,b,c 中的最大值. a=tan(360° -45° )=-tan 45° =-1, 2 b=sin(360° -45° )=- , 2 2 c=cos(360° -45° )=cos 45° = , 2 2 ∴输出 . 2 2 答案 2 三、解答题(共 40 分) 10. 分)(2010· (13 济宁联考)设计求 1+3+5+7+?+31 的算法, 并画出相应的程序框图. 解 第一步:S=0; 第二步:i=1; 第三步:S=S+i; 第四步:i=i+2; 第五步:若 i 不大于 31,返回执行第三步,否则执行第六步; 第六步:输出 S 值. 程序框图如图:

?3x-1 (x<0) ? 11.(13 分)(2010· 云浮模拟)已知函数 f(x)=? ,写出求该函数的函数值的 ? ?2-5x (x≥0) 算法并画出程序框图. 解 算法如下: 第一步,输入 x. 第二步,如果 x<0,那么使 f(x)=3x-1; 否则 f(x)=2-5x. 第三步,输出函数值 f(x). 程序框图如下:

12.(14 分)(2009· 濮阳模拟)国庆期间,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物 付款总额: ①若不超过 200 元,则不予优惠; ②若超过 200 元,但不超过 500 元,则按标价价格给予 9 折优惠; ③如果超过 500 元,500 元的部分按②条优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠,设 计一个收款的算法,并画出程序框图. 解 依题意,付款总额 y 与标价 x 之间的关系式为(单位:元) (x≤200) ?x ? y=?0.9x (200<x≤500) ?0.9×500+0.7×(x-500) (x>500) ? 算法分析: 第一步,输入 x 值; 第二步,判断,如果 x≤200,则输出 x,结束算法;否则执行第三步; 第三步:判断,如果 x≤500 成立,则计算 y=0.9×x,并输出 y,结束算法;否则执 行第四步; 第四步:计算 y=0.9×500+0.7×(x-500),并输出 y,结束算法. 程序框图:

§13.2

基本算法语句与算法案例

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 三门峡模拟)下列关于条件语句的叙述正确的是 ( ) A.条件语句中必须有 ELSE 和 END IF B.条件语句中可以没有 END IF C.条件语句中可以没有 ELSE,但必须有 END IF 结束 D.条件语句中可以没有 END IF,但必须有 ELSE 答案 C 2. (2010· 杭州段考)下边的程序语句输出的结果 S 为 ( ) i=0 While i<8 S=2*1+3 i=i+2 WEND PRINT S END A.17 B.19 C.21 D.23 解析 i 从 1 开始,依次取 3,5,7,9,?,当 i<8 时,循环继续进行,故当 i=9 时,跳 出循环.故输出 S=2×7+3=17. 答案 A 3.(2010· 常德模拟)读程序 INPUT x IF x>0 THEN y=SQR(x) ELSE y=(0.5)^x-1 END IF PRINT y END 当输出的 y 的范围大于 1 时, 则输入的 x 值的取值范围是 A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) ( )

? x ? 解析 由程序可得 y=? 1 ??2?x-1 ?? ?

(x>0) , (x≤0)

1 - ∵y>1,∴①当 x≤0 时,?2?x-1>1,即 2 x>2, ? ? ∴-x>1,∴x<-1.②当 x>0 时, x>1,即 x>1, 故输入的 x 值的范围为(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案 C 4.(2010· 茂名模拟)下边方框中为一个求 20 个数的平均数的程序,则在横线上应填的语 句为 ( ) i=1 S=0 DO INPUT x S=S+x i=i+1 LOOP UNTIL a=S/20 PRINT a END A.i>20 B.i<20 C.i>=20 D.i<=20 解析 该算法程序中,使用了 UNTIL 循环语句,按照该种循环特征,当某一次条件满 足时,不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 句的后面,执行其他的语句.根据问题要 求,应填 i>20. 答案 A 5.(2010· 菏泽调研)下面程序运行的结果是 ( ) i=1 S=0 WHILE i<=100 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END A.5 050 B.5 049 C.3 D.2 解析 读程序框图知,该框图的功能是求 S=1+2+?+100 的值.由等差数列求和 100 公式 S= (1+100)=5 050. 2 答案 A 6.(2010· 广州模拟)用辗转相除法计算 60 和 48 的最大公约数时,需要做的除法次数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 60=48×1+12,48=12×4+0,故只需要两步计算. 答案 B

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 珠海月考)下列程序执行后输出的结果是________. i=11 S=1 DO S=S*i i=i-1 LOOP UNTIL i<9 PRINT S END 解析 程序反映出的算法过程为 i=11?S=11×1,i=10 i=10?S=11×10,i=9 i=9?S=11×10×9,i=8 i=8<9 退出循环,执行 PRINT S 故 S=990. 答案 990 8.(2010· 株州模拟)运行下面程序框内的程序,在两次运行中分别输入-4 和 4,则运行 结果依次为________. INPUT “x=”;x IF x>=2 THEN y=3+x^2 ELSE IF x>=0 THEN y=2]y=x/2 END IF END IF PRINT y+1 END 4 解析 当 x=-4 时,y=- =-2,y+1=-1; 2 当 x=4 时,y=3+42=19,y+1=20. 答案 -1,20 9.(2010· 临沂模拟)下面程序表达的是求函数________的值. INPUT “x=”;x IF x>0 THEN y=1 ELSE IF x=0 THEN y=0 ELSE y=-1 END IF END IF PRINT y END 解析 根据所给的程序语句可知,这是条件语句输入 x 后,随着 x 取不同的值输出的 (x>0) ?1 y 的结果也不相同,故所求的是一个分段函数 y=?0

?

?-1 ?

(x=0) (x<0)

的值.

(x>0) ?1 ? (x=0) 答案 y=?0 ?-1 (x<0) ? 三、解答题(共 40 分) 1 1 1 10.(13 分)(2010· 宣城联考)设计算法求 1+ + +?+ 的值,画出程序框图,并编写 3 5 19 程序. 解 程序框图:

程序: S=0 n=1 i=1 WHILE i<=10 S=S+1/n n=n+2 i=i+1 WEND PRINT S END

?2x+1 (x<0), ? (x=0), 11.(13 分)(2010· 新乡月考)已知函数 y=?1 ?x2+1 (x>0). ?
编写程序,输入自变量 x 的值,输出其相应的函数值,并画出程序框图. 解 程序框图如图所示:

程序如下: INPUT x IF x<0 THEN y=2*x+1 ELSE IF x=0 THEN y=1 ELSE y=x^2+1 END IF PRINT y END 12. 分)(2009· (14 龙岩二模)高一(2)班期中考试结束后, 给出了全班 50 名同学的数学成绩, 规定 60 分以上为及格,试设计算法程序框图,统计出全班的及格人数、及格人数的平 均分和全班同学的平均分,并写出相应的算法程序. 解 记及格人数为 M,及格的分数为 S,及格人数的平均分为 P,全班同学的平均分 为 T.算法的程序如下: M=0,i=0,S=0,T=0 DO INPUT x IF x>=60 THEN S=S+x M=M+1 END IF T=T+x i=i+1 LOOP UNTIL i>50 P=S/M T=T/50 PRINT M,P,T END 相应的程序框图如下图所示:

§13.3

合情推理与演绎推理

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是 ( A.“若 a· 3=b· 3,则 a=b”类推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” a+b a b B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + ” c c c a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ = + (c≠0)” c c c n n n n n D.“(ab) =a b ”类推出“(a+b) =a +bn” 解析 由类比推理的特点可知. 答案 C 2.(2009· 湖北文,10)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:

)

他们研究过图(1)中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形 数;类似的,称图(2)中的 1,4,9,16,?这样的数为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 设图(1)中数列 1,3,6,10,?的通项公式为 an, 其解法如下:a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,?, an-an-1=n. n(n+1) 故 an-a1=2+3+4+?+n,∴an= . 2 2 而图(2)中数列的通项公式为 bn=n , 49×50 因此所给的选项中只有 1 225 满足 a49= =b35=352=1 225. 2 答案 C 3. (2010· 珠海联考)给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集, 为复数集): C ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c, d∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③若“a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”.其中 类比结论正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数,不能比较大小. 答案 C

?log2(1-x), x≤0, ? 4.(2009· 山东理,10)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 ? ?f(x-1)-f(x-2), x>0, f(2 009)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当 x>0 时,∵f(x)=f(x-1)-f(x-2), ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1). ∴f(x+1)=-f(x-2),即 f(x+3)=-f(x) ∴f(x+6)=f(x). 即当 x>0 时,函数 f(x)的周期是 6. 又∵f(2 009)=f(334×6+5)=f(5), ∴由已知得 f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1. 答案 C 5.(2010· 舟山模拟)定义 A*B,B*C,C*D,D*A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、 (4), 那么下图中的(A)、 (B)所对应的运算结果可能是 ( )

A.B*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*D 解析 由(1)(2)(3)(4)图得 A 表示|,B 表示□,C 表示—,D 表示○,故图(A)(B)表示 B*D 和 A*C. 答案 B 1+x 6. (2009· 清远模拟)设 f(x)= , 又记 f1(x)=f(x), k+1(x)=f(fk(x)), f k=1,2, ?, f2 009(x) 则 1-x 等于( ) x-1 1+x 1 A.- B.x C. D. x x+1 1-x 1+x 1+ ?1+x?= 1-x=-1, 解析 计算 f2(x)=f? ? x 1+x ?1-x? 1- 1-x x-1 1 1+ 1- x+1 x x-1 1 f3(x)=f?-x?= = ,f (x)= =x, ? ? 1 x+1 4 x-1 1+ 1- x x+1 1+x 1+x f5(x)=f1(x)= ,归纳得 f4k+1(x)= ,k∈N*, 1-x 1-x 1+x 从而 f2 009(x)= . 1-x 答案 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 邵阳模拟)考察下列一组不等式: 23+53>22· 5+2·2, 5 4 4 3 2 +5 >2 · 5+2·3, 5

25+55>23·2+22·3,??. 5 5 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不 等式的特例,则推广的不等式可以是__________________________________. + + 答案 am n+bm n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)(或 a,b>0,a≠b,m,n 为正 整数) + + 注:填 2m n+5m n>2m5n+2n5m(m,n 为正整数)也对. 8. (2009· 江苏, 8)在平面上, 若两个正三角形的边长比为 1∶2, 则它们的面积比为 1∶4, 类似地, 在空间中, 若两个正四面体的棱长比为 1∶2, 则它们的体积比为__________. 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理, 两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为 1∶8. 答案 1∶8 9.(2010· 安阳模拟)现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一 个平面内有两个边长都是 a 的正方形, 其中一个的某顶点在另一个 的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间, 有两 个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这 两个正方体重叠部分的体积恒为 . 解析 在已知的平面图形中,中心 O 到两边的距离相等(如右图), 即 OM=ON. 四边形 OPAR 是圆内接四边形,所以 Rt△OPN≌Rt△ORM, 1 因此 S 四边形 OPAR=S 正方形 OMAN= a2. 4 同样地,类比到空间,如下图.

1 两个棱长均为 a 的正方体重叠部分的体积为 a3. 8 a3 答案 8 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 金华联考)把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由“平行 四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质. 解 如图所示,

由平行四边形的性质可知 AB=DC,AD=BC, 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 我们猜想: S?ABCD=S? A B C D ,S? ADD A =S? BCC B , S? ABB A =S? CDD C , 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知,此猜想是正确的. 11.(13 分)(2010· 周口模拟)用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)若两角是对顶角,则两角相等,所以若两角不相等,则两角不是对顶角; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以,正方形的对角线相等;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

· · ·

(3)0.332是有理数; (4)y=sin x(x∈R)是周期函数. 解 (1)若两个角是对顶角,则两角相等,(大前提) ∠1 和∠2 不相等,(小前提) ∠1 和∠2 不是对顶角.(结论) (2)每一个矩形的对角线相等,(大前提) 正方形是矩形,(小前提) 正方形的对角线相等.(结论) (3)所有的循环小数是有理数,(大前提)
· · ·

0.332是循环小数,(小前提)
· · ·

所以 0.332是有理数.(结论) (4)三角函数是周期函数,(大前提) y=sin x 是三角函数,(小前提) y=sin x 是周期函数.(结论) 12.(14 分)(2009· 青岛调研)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两 个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时, x2 y2 那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线 2- 2=1 写出具有类似 a b 特性的性质,并加以证明. x2 y2 解 类似的性质为:若 M、N 是双曲线 2- 2=1 上关于原点对称的两个点,点 P 是 a b 双曲线上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值. 证明如下: 设点 M、P 的坐标分别为(m,n),(x,y),则 N(-m,-n). 因为点 M(m,n)在已知双曲线上, b2 b2 所以 n2= 2m2-b2.同理 y2= 2x2-b2. a a 2 y-n y+n y -n2 则 kPM·PN= k · = x-m x+m x2-m2 2 2 b2 x -m b2 = 2·2 = (定值). a x -m2 a2

§13.4

直接证明与间接证明

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1. (2010· 菏泽模拟)已知抛物线 y2=2px (p>0)的焦点为 F, P1(x1, 1)、 2(x2, 2)、 3(x3, 点 y P y P y3)在抛物线上, 2x2=x1+x3, 且 则有 ( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|· 3| |FP p 2 解析 如图所示,y =2px 的准线为 x=- , 2

P1A⊥l,P2B⊥l,P3C⊥l. 由抛物线定义知: p P1F=P1A=x1+ 2 p P2F=P2B=x2+ 2 p P3F=P3C=x3+ 2 p ∴2|FP2|=2?x2+2?=2x2+p ? ? p p |FP1|+|FP3|=?x1+2?+?x3+2?=x1+x3+p. ? ? ? ? 又∵2x2=x1+x3,∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|. 答案 C 3 3 2.(2010· 温州调研)用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”假设内容应是( 3 3 A. a= b 3 3 3 3 C. a= b且 a< b 3 3 3 3 解析 因为 a> b的否定是 a≤ b, 3 3 3 3 即 a= b或 a< b. 答案 D 3.(2010· 揭阳一模)a,b,c 为互不相等的正数,且 a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立 的是 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b 解析 由 a2+c2>2ac?2bc>2ac?b>a,可排除 A、D, 5 令 a=2,b= ,可得 c=1 或 4,可知 C 可能成立. 2 答案 C 1 1 1 4.(2010· 池州模拟)设 x、y、z 均为正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a、b、c y z x 三数 ( ) A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 解析 假设 a、b、c 都小于 2,则 a+b+c<6, 1 1 1 而事实上:a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6. x y z ∴a、b、c 中至少有一个不小于 2. 答案 C 5.(2010· 宁波调研)已知 a、b 是非零实数,且 a>b,则下列不等式中成立的是( ) b 1 1 2 2 A. <1 B.a >b C.|a+b|>|a-b| D. 2> 2 a ab a b b-a b 解析 <1? <0?a(a-b)>0. a a ∵a>b,∴a-b>0.而 a 可能大于 0,也可能小于 0, 3 3 B. a< b 3 3 3 3 D. a= b或 a< b )

因此 a(a-b)>0 不一定成立,即 A 不一定成立; a2>b2?(a-b)(a+b)>0, ∵a-b>0,只有当 a+b>0 时,a2>b2 成立,故 B 不一定成立; |a+b|>|a-b|?(a+b)2>(a-b)2?ab>0,而 ab<0 也有可能,故 C 不一定成立; 1 1 a-b 由于 2> 2 ? 2 2 >0?(a-b)a2b2>0. ab a b a b ∵a,b 非零,a>b,∴上式一定成立,因此只有 D 正确. 答案 D 6.(2009· 湛江模拟)设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出: “a, 中至少有一个大于 1”的条件是 b ( ) A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤ 1 2 解析 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于(3),即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1. 答案 C 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2010· 岳阳模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义, 且 f(0)=f(1),如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)- 1 f(x2)|< .那么它的反设应该是__________________________________. 2 1 答案 “?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 8.(2010· 莱芜调研)凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,则对于区 f(x1)+f(x2)+?+f(xn) ?x1+x2+?+xn? 间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,有 ≤f n n ? ?,已知函数 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值为 ________. 解析 ∵f(x)=sin x 在区间(0,π)上是凸函数, 且 A、B、C∈(0,π), f(A)+f(B)+f(C) ?A+B+C? ?π? ∴ ≤f 3 ? 3 ?=f?3?, π 3 3 即 sin A+sin B+sin C≤3sin = , 3 2 3 3 所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为 . 2 3 3 答案 2 9.(2009· 湖州模拟)设 x,y,z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列 条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是________.(填写所有正确 条件的代号) ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 为平面; ③x,y 为直线,z 为平面;④x,y 为平面,z 为直线; ⑤x,y,z 为直线.

解析 ①中 x⊥平面 z,平面 y⊥平面 z, ∴x∥平面 y 或 x?平面 y. 又∵x?平面 y,故 x∥y 成立. ②中若 x,y,z 均为平面,则 x 可与 y 相交,故②不成立. ③x⊥z,y⊥z,x,y 为不同直线,故 x∥y 成立. ④z⊥x,z⊥y,z 为直线,x,y 为平面可得 x∥y,④成立. ⑤x,y,z 均为直线可异面垂直,故⑤不成立. 答案 ①③④ 三、解答题(共 40 分) 10.(13 分)(2010· 六安模拟)(1)设 x 是正实数,求证: (x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3; (2)若 x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3 是否仍然成立?如果成立,请给出证明; 如果不成立,请举出一个使它不成立的 x 的值. (1)证明 x 是正实数,由均值不等式知 x+1≥2 x,x2+1≥2x,x3+1≥2 x3, 故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2 x· 2 x3=8x3(当且仅当 x=1 时等号成立). 2x· (2)解 若 x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3 仍然成立. 由(1)知,当 x>0 时,不等式成立; 当 x≤0 时,8x3≤0, 而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1) 1 3 =(x+1)2(x2+1)??x-2?2+4?≥0, ? ?? ? 此时不等式仍然成立. 11. 分)(2010· (13 广州一模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, am, m+2, m+1 (m∈N*) 若 a a 成等差数列,试判断 Sm,Sm+2,Sm+1 是否成等差数列,并证明你的结论. 解 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(a1≠0,q≠0), 若 am,am+2,am+1 成等差数列, 则 2am+2=am+am+1. + - ∴2a1qm 1=a1qm 1+a1qm. ∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0. 1 解得 q=1 或 q=- . 2 当 q=1 时,∵Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1, Sm+2=(m+2)a1,∴2Sm+2≠Sm+Sm+1. ∴当 q=1 时,Sm,Sm+2,Sm+1 不成等差数列. 1 当 q=- 时,Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 2 下面给出证明: 方法一 ∵(Sm+Sm+1)-2Sm+2 =(Sm+Sm+am+1)-2(Sm+am+1+am+2) =-am+1-2am+2 =-am+1-2am+1q 1 =-am+1-2am+1?-2? ? ? =0, ∴2Sm+2=Sm+Sm+1. 1 ∴当 q=- 时,Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 2 1 + 2a1?1-?-2?m 2? ? ? ? ? 方法二 ∵2Sm+2= 1 1+ 2

1 + 4 = a1?1-?-2?m 2?, 3 ? ? ? ? 1 1 + a1?1-?-2?m? a1?1-?-2?m 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 Sm+Sm+1= + 1 1 1+ 1+ 2 2 2 ? ? 1?m ? 1?m+1? = a1?2-?-2? -?-2? ? 3 1 + 1 + 2 = a1?2-4?-2?m 2+2?-2?m 2? ? ? ? ? ? 3 ? 4 ? ? 1?m+2? = a1?1-?-2? ?, 3 ∴2Sm+2=Sm+Sm+1. 1 ∴当 q=- 时,Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 2 12.(14 分)(2010· 汕尾联考)已知 a,b,c 是互不相等的实数. 求证:由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a 和 y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少 有一条与 x 轴有两个不同的交点. 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点(即任何一 条抛物线与 x 轴没有两个不同的交点), 由 y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得 Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0, Δ3=(2a)2-4bc≤0. 上述三个同向不等式相加得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0, ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0, ∴a=b=c,这与题设 a,b,c 互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证.

§13.5

数学归纳法

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) 1.(2010· 怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”, 在第二步时,正确的证法是 ( ) A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1 (k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 解析 A、B、C 中,k+1 不一定表示奇数,只有 D 中 k 为奇数,k+2 为奇数. 答案 D

1 1 1 2.(2010· 鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n (n∈N*,n>1)”时,由 n 2 3 2 -1 =k (k>1)不等式成立, 推证 n=k+1 时, 左边应增加的项数是 ( ) - A.2k 1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 + + 解析 增加的项数为(2k 1-1)-(2k-1)=2k 1-2k=2k. 答案 C 3.(2010· 巢湖联考)对于不等式 n2+n<n+1 (n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程 如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k (k∈N*)时,不等式成立,即 k2+k<k+1, 则当 n=k+1 时, (k+1)2+(k+1)= k2+3k+2< (k2+3k+2)+(k+2)= (k+2)2= (k+1)+1, ∴当 n=k+1 时, 不等式成立, 则上述证法 ( ) A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 答案 D 4.(2010· 漯河模拟)用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3 (n∈N*)能被 9 整除”,要 利用归纳假设证 n=k+1 时的情况, 只需展开 ( ) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 解析 假设当 n=k 时,原式能被 9 整除,即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除. 当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3 展 开,让其出现 k3 即可. 答案 A 1 1 1 1 5. (2009· 潮州一模)证明 1+ + + +?+ n<n+1(n>1), n=2 时, 当 左边式子等于( ) 2 3 4 2 1 1 1 1 1 1 A.1 B.1+ C.1+ + D.1+ + + 2 2 3 2 3 4 解析 当 n=2 时,左边的式子为 1 1 1 1 1 1 1+ + + 2=1+ + + . 2 3 2 2 3 4 答案 D 1 1 1 13 6. (2010· 宁波五校联考)用数学归纳法证明不等式 + +?+ < (n≥2, n∈N*) 2n 14 n+1 n+2 的过程中, n=k 递推到 n=k+1 时不等式左边 由 ( ) 1 1 1 A.增加了一项 B.增加了两项 、 2(k+1) 2k+1 2k+2 1 C.增加了 B 中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对 k+1 1 1 1 解析 ∵n=k 时,左边= + +?+ , 2k k+1 k+2 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 左边= + +?+ + + , 2k 2k+1 2k+2 k+2 k+3 1 1 1 ∴增加了两项 、 ,少了一项 . 2k+1 2k+2 k+1 答案 C 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

7.(2010· 淮南调研)若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是 __________________. 解析 ∵f(k)=12+22+?+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2, ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 答案 f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 1 1 1 8.(2010· 绍兴月考)用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <2 (n∈N,且 n>1),第一步 2 3 2 -1 要证的不等式是____________. 1 1 1 1 解析 n=2 时,左边=1+ + 2 =1+ + ,右边=2. 2 2 -1 2 3 1 1 答案 1+ + <2 2 3 9.(2010· 东莞调研)已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个数对是________. 解析 本题规律:2=1+1;3=1+2=2+1; 4=1+3=2+2=3+1; 5=1+4=2+3=3+2=4+1; ?; 一个整数 n 所拥有数对为(n-1)对. (n-1)n 设 1+2+3+?+(n-1)=60,∴ =60, 2 ∴n=11 时还多 5 对数,且这 5 对数和都为 12, 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7, ∴第 60 个数对为(5,7). 答案 (5,7) 三、解答题(共 40 分) π 1 10.(13 分)(2010· 肇庆模拟)已知数列{an}中,a1= ,an+1=sin?2an? (n∈N*). ? ? 2 证明:0<an<an+1<1. π 1 π 2 证明 ①n=1 时,a1= ,a2=sin?2a1?=sin = . ? ? 2 4 2 ∴0<a1<a2<1,故结论成立. ②假设 n=k(k∈N*)时结论成立, 即 0<ak<ak+1<1, π π π 则 0< ak< ak+1< . 2 2 2 π ? π ∴0<sin?2ak?<sin?2ak+1?<1, ? ? ? 即 0<ak+1<ak+2<1, 也就是说 n=k+1 时,结论也成立. 由①②可知,对一切 n∈N*均有 0<an<an+1<1. 11.(13 分)(2010· 枣庄模拟)用数学归纳法证明对于任意正整数 n,(n2-1)+2(n2-22)+? n2(n-1)(n+1) +n(n2-n2)= . 4 证明 (1)当 n=1 时,左式=12-1=0, 12(1-1)(1+1) 右式= =0. 4 ∴等式成立. (2)假设 n=k (k∈N*)时等式成立, k2(k-1)(k+1) 2 2 2 2 2 即(k -1)+2(k -2 )+?+k(k -k )= . 4

那么[(k+1)2-1]+2[(k+1)2-22]+?+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2] =(k2-1)+2(k2-22)+?+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+?+k) k2(k-1)(k+1) k(k+1) = +(2k+1) 4 2 1 = k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)] 4 1 = k(k+1)(k2+3k+2) 4 1 = (k+1)2[(k+1)-1][(k+1)+1]. 4 ∴当 n=k+1 时等式成立. 由(1)(2)知对任意 n∈N*等式成立. 12.(14 分)(2010· 开封调研)在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差 数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N*),求 a2,a3,a4 与 b2,b3,b4 的值,由此猜测 {an},{bn}的通项公式,并证明你的结论. 解 由条件得 2bn=an+an+1,a2+1=bnbn+1. n 又 a1=2,b1=4,由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16, a4=20,b4=25,猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=2,b1=4,结论成立. ②假设当 n=k (k∈N*)时结论成立, 即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当 n=k+1 时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1) =(k+1)[(k+1)+1], 2 ak+1 bk+1= =(k+2)2=[(k+1)+1]2, bk ∴当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②知,an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切正整数都成立.

§13.6

数系的扩充与复数的引入

一、选择题(每小题 7 分,共 42 分) z+2 1. (2009· 陕西理, 2)已知 z 是纯虚数, 是实数, 那么 z 等于 ( 1-i A.2i B.i C.-i D.-2i z+2 bi+2 (bi+2)(1+i) 2-b+(b+2)i 解析 设 z=bi(b∈R,b≠0), = = = = 2 1-i 1-i (1-i)(1+i) 2-b b+2 + i 是实数,所以 b+2=0, 2 2 b=-2,所以 z=-2i. 答案 D i 2. (2010· 青岛一模)复数 (i 是虚数单位)的实部是 ( 1+2i 2 2 1 1 A. B.- C. D.- 5 5 5 5 )

)

2+i i 2 = ,实部为 . 5 5 1+2i 答案 A 解析 2-3i 3. (2010· 佛山模拟)已知 i 为虚数单位, 则复数 z= 对应的点位于 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2-3i (2-3i)(1-i) -1-5i 1 5 解析 z= = = =- - i 2 2 2 1+i (1-i)(1+i) 1 5 ∴z 对应的点为?-2,-2?即点在第三象限. ? ? 答案 C 1 4. (2009· 辽宁理, 2)已知复数 z=1-2i, 那么 = z 5 2 5 5 2 5 1 2 + i B. - i C. + i 5 5 5 5 5 5 1-2i 1-2i 1 2 1 1 解析 = = = = - i. 5 5 5 1+2i (1+2i)(1-2i) z A. ( )

(

)

1 2 D. - i 5 5

答案 D 5.(2009· 惠州第二次调研)在复平面内,若 z=m2(1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二 象限, 则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(0,3) B.(-∞,-2) C.(-2,0) D.(3,4) ?m2-4m<0, ? 解析 整理得 z=(m2-4m)+(m2-m-6)i,对应点在第二象限,则? 2 解 ? ?m -m-6>0, 得 3<m<4. 答案 D a+i 6.(2010· 滨州一模)已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于( ) 1-i A.1 B.-1 C. 2 D.- 2 ? ?a-1=0, a+i (a+i)(1+i) (a-1)+(a+1)i 解析 = = 是纯虚数,则? 故 a=1. 2 2 1-i ? ?a+1≠0, 答案 A 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) i+z2 7.(2009· 台州第一次调研)已知 z1=2+i,z2=1-3i,则复数 的虚部为________. z1 i+z2 i+1-3i (1-2i)(2-i) 解析 = = =-i,故虚部为-1. z1 5 2+i 答案 -1 8.(2010·铜陵调研)已知复数 z=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为 A,B, → → → C.若OC=xOA+yOB,则 x+y 的值是________. → → → 解析 OC=xOA+yOB得(3-2i)=x(-1+2i)+y(1-i)=(-x+y)+(2x-y)i, ?-x+y=3, ?x=1, ? ? ∴? 解得? 故 x+y=5. ? ? ?2x-y=-2. ?y=4, 答案 5 2 9.(2009· 福建理,11)若 =a+bi(i 为虚数单位,a,b∈R),则 a+b=______. 1-i 2(1+i) 2 解析 ∵ = =1+i, 1-i (1-i)(1+i)

∴1+i=a+bi,∴a=1,b=1,∴a+b=2. 答案 2 三、解答题(共 40 分) -2 3+i ? 2 ?3 204 (4-8i)2-(-4+8i)2 10.(13 分)(2010· 长沙模拟)计算: +? . ? + 1+2 3i ?1+i? 11- 7i (-2 3+i)(1-2 3i) ? 2 ?1 602 (4-8i)2-(4-8i)2 解 原式= + (1+i)2 ? ? + 12+(2 3)2 11- 7i 13i ?1?1 602 = +? i ? +0 13 =i+(-i)1 602 =i+i2=i-1=-1+i. 11.(13 分)(2009· 广州二模)已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y. 解 设 x=a+bi (a,b∈R),则 y=a-bi, x+y=2a,xy=a2+b2, 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i, ? 2 ?4a =4 根据复数相等得? , 2 2 ? ?-3(a +b )=-6
?a=1 ?a=1 ? ? 解得? 或? ? ? ?b=1 ?b=-1 ? ? ?a=-1 ?a=-1 或? 或? . ?b=1 ?b=-1 ? ? ?x=1+i ?x=1-i ? ? 故所求复数为? 或? ? ? ?y=1-i ?y=1+i ?x=-1+i ?x=-1-i ? ? 或? 或? . ? ? ?y=-1-i ?y=-1+i

z 12.(14 分)(2010· 济宁调研)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数 2-i (z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi (x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 2 ? ?12+4a-a >0 根据条件,可知? ,解得 2<a<6, ? ?8(a-2)>0 ∴实数 a 的取值范围是(2,6).


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