nbhkdz.com冰点文库

向量的加法的教学设计

时间:2010-09-19


向量的加法的教学设计
江苏省邳州市宿羊山高级中学 黄静(221354)

设计思想: 一. 设计思想: 1.本节课采用“支架式(scaffolding) ”教学模式。scaffolding 本意是建筑 行业的脚手架,这里用来形象的说明一种教学模式:教师引导着教学的进行,使 学生掌握、建构和内化所学的知识技能,从而使他们进行更高水平的认知活动。 简言之,是通过支架(教师的帮助)把管理学生学习的任务逐渐由教师转移给学 生自己,最后撤去支架。 《数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流、 阅读自学等学习数学的方式。显然, “支架式”教学模式符合新课标的理念。 在本节课中,教师通过五个问题情景,为学生的学习创设一个又一个“脚手 架” 。学生通过自主探索,合作交流,理解了向量的加法及其性质产生过程,明 白了其中蕴涵的思想方法。 通过例题及其变式练习为学生灵活运用向量加法的两 个法则再创设“脚手架” 。 2.重视合情推理能力的培养。所谓合情推理,就是合乎情理,好似为真的 一种推理,它是相对于演绎推理而言的。演绎推理的主要方式是分析、综合、演 绎、概括、完全归纳、等价变换;合情推理的主要方式是纵横类比、不完全归纳、 情景回归、低维化、特殊化等。合情推理虽不像演绎推理那样严谨,不能作为数 学证明,所得的结论也不一定正确,但运用合情推理常能得到与演绎推理相同的 结果。正因为如此,合情推理被广泛地应用与科学、生产和社会研究之中,是科 学发现、发明创造、揭示真理和生产经营决策的有力武器。 《数学课程标准》在 选修 2-2 的第二部分-推理与证明里指出:结合已学过的数学实例和生活中的 实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识 合情推理在数学发现中的作用。也就是说,合情推理的内容不仅局限于分布在教 材中各个章节的隐含的个案, 新的课程标准已经把合情推理作为选修的一部分内 容来处理。 本节课中,通过类比位移的合成引入向量的加法,通过一个个特殊的例子探 索向量加法的性质、规律,都体现了对学生合情推理能力(主要是类比和不完全 归纳)的培养。当然,合情推理毕竟是一种或然推理,对其猜想出的结果尽量要 做理论上的验证,如性质 1 的猜想与论证、例 2 两种方式的到达时间的比较就体 现了合情推理与演绎推理的完美结合。 3.重视对学生提出问题能力的培养。爱因斯坦说过: “提出一个问题比解决 一个问题更重要。 ”著名美籍华人学者杨振宁教授在比较中、外留学生有哪些不 同时曾提出,中国学生普遍成绩比较出色,特别是在数学运算和推理方面比国外 学生有明显优势,但中国学生最大的缺憾就是不善于提出问题,缺乏创新精神。 而学生自主学习,善于发现、提出问题和解决问题,从而有所感悟、有所创新的 能力,正是下一个世纪具有竞争力人才的关键素质所在。由此可见,提出问题的 能力的培养是当务之需,每一节课上都要尽可能的让学生自己提出一些问题。

1

如本节课中,通过创设问题情景,给学生提出问题创设一个良好的氛围;通 过问题的变式引申,给学生提供一些提出问题的方法;通过课堂的适度“布白” 给学生提出问题提供时间的保证;通过创设有争议的问题,给学生提出问题提供 锲机。 二.教学过程 (一)创设情景,导入课题 创设情景, 问题情景一:如图 1(多 问题情景一 媒体投影) ,由于大陆和台湾 没有直航,因此 2003 年春节 探亲,乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次 位移之和是什么?学生(齐答) : 这人两次的位移的和是从台北 到上海。 教师:如果设 A 为台北, B 为香港,C 为上海,你能 用数学语言叙述这一现象吗? uuu uuu uuur r r 学生 1: AB + BC = AC ,并画出如图 2 所示的示意图。 教师:你能总结这种加法规则的规 律吗?

上海 台北 香港

图1
C A

学生 2:如果一个有向线段的终点和另一个 B 有向线段的起点相连,那么它们相加的结果是 图2 以前一个有向线段的起点为起点,后一个有向线段的终点为终点的有向线段。 教师:很好!我们可以用八个字概括: “尾首相接,首尾相连” 。 uuu uuu uuur r r AB + BC = AC 叫做两个向量的和。对于两个尾首不相连的向量, 我们怎么定义两个向量的和呢?(画出如图 3 两个 r r 向量 a 和 b )。 r 学生 3:可以将向量 a 平移,使它的起点 r 与向量 b 的终点重合,然后就和上面的一样了。 教师:很好!这就是化归与转化的思想, 图3 即把不熟悉的问题转化为熟悉的、已经解决的问题中来。 r 教师:能不能平移向量 b 呢? 学生:可以。 (投影出向量加法的三角形法则) A 1.向量加法的定义 . ur uur r r

求 探求:如图3,已知向量 a , b, 作向量a + b
O

B

作法(1)如图 4,在平面内任取一点 O; (教师:当然根据向量相等的定义,我

图4
2

uuu r uuu r r r 们还可以在平面上任意选一点 O)(2) 作OA = a, OB = b ;(多媒体动态演示 平移的过程) 。 uuu r r r uuu r r r (3) OB = a + b (3) OB = a + b .

求两个向量和的运算叫做向量的加法,这种作法叫做向量加法的三角形法 求两个向量和的运算叫做向量的加法,这种作法叫做向量加法的三角形法 要点:尾首相接,首尾相连。 则。要点:尾首相接,首尾相连。
设计说明:教育家苏霍姆林斯基说过: “教师如果不想方设法使学生产生情 绪高昂和智力振奋的内心状态,而是不动情感的脑力劳动,就会带来疲倦,处于 疲倦状态下的头脑,是很难有效地吸取知识的。 ”因此,创设一个有趣的情景, 目的在于激发学生学习的兴趣,体验向量加法法则的产生过程。 r r 问题情景 2:当向量 a 和 b 共线时, 三角形法则是否适合?

r r 教师给出如图 5 两组向量 a 和 b ,

找两个同学到黑板上按照“尾首相接, 图5 r r 首尾相连”的原则作出 a + b 。 r r r r 学生 4 很顺利的完成了向量 a 和 b 同向时的情况,学生 5 在作向量 a 和 b 异 向时的情况时出现了错误,教师引导学生订正,进一步强调这种法则的要义。并 借助几何画板给出如图 6 动态的示意图, 进一步说明这种法则满足向量共线时的 情况。
B

O

O
A

B A

O

B A

uuu uuu r r OA和 AB不共线

uuu uuu r r OA和 AB同向
图6

uuu uuu r r OA和 AB异向

设计说明:通过电脑动画的展示,进一步让学生明白向量加法对共线向量 一样适用。 二.搭建支架,导出性质 搭建支架, 问题情景 3: r r r r () + 0和0 + a相等吗? 1a 学生(齐答) :相等。 r r r r r 投影: a + 0=0 + a=a r r r r (2) + (a)和(a) + a相等吗? a 学生 6:相等。 教师:等于什么? 学生 6:0。
r 下面有很多学生说不对,是 0 。 教师:注意两个向量相加的结果仍然是一个向量。

3

r r r r r 投影: a + (a)=(a) + a = 0 。 (3)你能总结出一般规律吗?给个名字。 r r r r 学生 7: a + b = b + a ,加法交换律(教师投影) 。 教师:这只是一个猜测,怎么验证呢? 学生议论,用图形,很多同学在说。 r r r r r r (4)如图 3 所示的向量 a 和 b ,请两位同学分别作出 a + b 和 b + a 。两位同 学在黑板上作图如图 7(1)(2) 、 :
A B

+

+
O C

图 7(1) 图 7(2) r r r r 教师: a + b 和 b + a 相等吗? 学生(齐声) :相等。 教师:为什么?

图 7(3)

学生 10:因为两个图形正好能拼成一个平行四边形。 教师:很好! 多媒体显示图 7(1)、7(2)经过平移,恰好构成平行四边形的过程。 教师:这就是我们比较熟悉的力学中关于力的合成与分解的平行四边形法 则,它告诉我们在求两个向量的和时,可以把它们平移至同一起点的位置,利用 平行四边形法则作出向量的和。 (投影)平行四边形法则的定义: r r r r 是不共线向量, 若向量 a 与 b 是不共线向量,将向量 a 与 b 的起点平移到同一点 O(如图 7 uuu r r r ,作平行四边形 这个法则叫平行四边形法则。 (3) 作平行四边形 OABC,则 OB = a + b 。这个法则叫平行四边形法则。 , 设计说明 通过特殊例子归纳出一般规律,旨在培养学生的合情推理能力。 通过特殊例子归纳出一般规律, 旨在培养学生的合情推理能力。 设计说明: 通过学生自己动手验证,培养学生主动探索、动手实践、严谨思维的能力。 通过学生自己动手验证,培养学生主动探索、动手实践、严谨思维的能力。 教师:比较两个法则的异同点? 学生 11:三角形法则强调两个向量的终点和起点相接,结果是先平移的向 量起点作为和向量的起点,后平移的向量的终点作为和向量的终点。而平行四边 形法则是把两个向量的起点平移至同一点,和向量就是它们的对角线。 教师:很好!我们也用八个字概括平行四边形法则的特点:起点重合,邻 边作形(平行四边形) 。 uu uuu uuu r r r 问题情景 4: 1) ( 化简: AB + BC ) + CD = ( uu r 学生 12:都是 AD . uu uuu uuu r r r , + ( BC + CD) = AB 。

(2)你能得到什么规律? 学生 12:加法交换律。 r r r r r r 投影:交换律: (a + b) + c = a + (b + c) 。
4

设计说明:书上采用图形直接证明,尽管比较直观严谨,但来的突兀,不 符合学生的认知发展规律。这样推导,不仅自然流畅,而且能让学生进一步明白 E 向量加法的实质(起点可以自由选择) 。 D (三)例题探究,变式引申 例题探究, 例1 (投影投出)如图 8,O 为正六边 形 ABCDEF 的中心,作出下列向量: uu uuur r uuu uuu r r uu uuu r r (1) OA + OC ;(2) BC + FE ;(3) OA + FE . uu uuur uu r r 学生 13: OA + OC = OB ; 教师:依据是什么?

F

C

学生 13:平行四边形法则。 uuu uuu r r uuur BC + FE = AD ,依据是(略有沉思)…… 三角形法则。

A

图8

B

教师:对,是三角形法则的特殊情况。 3)呢? ( r 学生 13:0,不, 0 。 (下面学生在笑,刚才已经有人犯过这个错误) 教师:很好,本题主要考查三角形法则和平行四边形法则的理解和应用。 应用两个法则要记住八个字:尾首相接,首尾相连;起点重合,邻边作形。 问题情景( 的变式题) 问题情景(例 1 的变式题)5: uuu uuu uuu r r r ; (1)OB + BC + CO = ; (2)AB + BC + CO + OA = uuuuuu uuuuuu r r uuuuuu r uuuuuur uuuuuu r uuuuur (3)AB + BC + CD + DE + EF + FA = 给学生留下两分钟的思考时间。 r 学生 14:都是 0 。 教师:很好,你能总结出一般规律吗?
uuuuuu r uuuuuu r uuuuuu r uuuuuu r



r 学生 14: (沉思一会)如果几个向量相加,尾首逐个相连,结果为 0 。
学生 15:不对,最后一个向量的终点必须和第一个向量的起点相同。 教师:很好。 投影投出这个结论,并用符号语言重新描述。 (投影)如果平面内有 n 个向量依次首尾连接组成一条封闭的折线,那么这 n 如果平面内有 个向量依次首尾连接组成一条封闭的折线 首尾连接组成一条封闭的折线, 个向量的和是零向量。 书上思考题的结论) 个向量的和是零向量。 书上思考题的结论)如果这个 n 边形的顶点分别记作 (
uuuuuuur uuuuuuuu r uuuuuuuuuuu uuuuuuuu r r r A1, A2,…… An,则 A A + A A ++ A A + A A = 0 1 2 2 3 n 1 n n 1

变式思考: A A
1

uuuuuuur

+ A2 A3 ++ An1 An = 2

uuuuuuuu r

uuuuuuuuuuu r



教师:这个也就是学生 14 说的情况,结果应该是什么呢? 学生 16: A A 。
1 n uuuuuuuu r

教师:很好!利用三角形法则不难得到,这个结论常用,大家要记住。对于 例 1 这个图形,你能设计出一个问题让别的同学解答吗?

5

等等,其他同学迅速给出了解答。 设计说明:美国著名数学大师波利亚说过,一个善于备课的老师,会拿出一 道像样的题目,联系更多的知识。通过例 1 及其变式练习的解决,巩固了两个重 要的法则,探索出书上思考题的结论,也为学生提出问题提供了方法。 例2. (投影投出)在长江南岸某渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25km/h。渡 船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?教师:船 头能不能按垂直于对岸的方向航行? 学生(齐答) :不能。 教师:应该怎样? 给学生留下四分钟的思考时间,教师巡视,将 学生 17 的结果投影在屏幕上。 (投影)

uuuuuu r

AE + BC =

学生七嘴八舌的开始讨论,他们纷纷主动提出问题,如: FE + FA =
uuuuuu r

uuuuuu r

uuuuur

;

解:设

D

C

AB

表示水流的速度,

表示渡 船的速度 , AD 表 示渡船的实际过江的速度。因为

AC

A B + A D = A C, 所 以 四 边 形
ABCD为 平 行 四 边 形 。 在

A

R t A C D 中 , B ∠ A C D = 900 D C = A B = 1 2 .5

A D = 25 ∴ ∠ C A D = 300
教师:解题过程很好,计算也无误,好像少点什么? 学生(齐答):答案。 (师生共同补齐答案,答案为:渡船要垂直地渡过长江, 其航向应为北偏西 30 度。 ) 教师:解答应用题的关键是提取有效信息,如本题中“渡船要垂直地渡过长 江”是最关键的一条信息。然后联想相应的数学模型,如本题联想两向量的和的 模型。 变式练习:若渡船以 25km/h 的速度按垂直于河岸的速度航行,那么,受水 流影响,渡船的实际航向如何(求出和河岸夹角的余弦值)?速度为多大?实际 航向和河岸夹角为 30 度,原因是受初中的结论(若直角三角形的一条直角边是 斜边边长一半,则其对应的角度为 30 度)的影响,形成了错误的思维定势。教 师及时进行点拨纠正。投影学生 18 的解题过程,这里从略。 教师:对于例 2 及其变式,你能提出什么问题吗? 学生 19:这两种方式哪一种先到达对岸? 教师:很好?同学们认为呢?

6

学生有的说是第一种方式,有的说是第二种方式,下面有争论 学生 20:我认为是第一种,原因是航行的距离短。 学生 21:我认为是第二种,原因是航行的速度快。 教师:你们说的都有道理,但是考虑的不全面,因为时间既和距离有关,又 和速度有关,到底哪个先到呢?同学们做一下。 大约过了四分钟,一位同学站了起来。 学生 22:第二种方式先到,因为第一种方式到达的时间是: t1 = S (S 25 3 2
S (教 25

为河岸的垂直距离, 教师板书并画出草图)第二种方式到达的时间是:2 = , t 师板书并画出草图) 。显然 t1 > t2 ,故第二种方式先到。

教师:很好,数学里的许多问题靠直觉可以得到,但是直觉在很多时候是不 可靠的,需要我们借助于理性思维来再认识。 设计说明:例 2 及其变式练习的设计,旨在进一步巩固平行四边形法则的运 用,进一步培养学生分析问题、解决问题、提出问题的能力,培养学生科学的人 生观和锲而不舍的精神。 反思小结, (四)反思小结,理性升华 教师:哪位同学来总结本节课的内容? 学生 23:本节课主要学习了向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及 它们的两个性质:结合律和交换律。 (这时,下课铃已响起) 教师:很好,这位同学从知识的角度进行了总结。下面我从知识和方法及价 值观三个角度来总结(投影) 。 1.向量加法的三角形法则,要点:尾首相连,首尾相接。
2.向量加法的平行四边形法则,要点:起点重合,邻边作形。
r r r r r r r r r r 3.向量加法满足交换律和结合律,即 a + b = b + a,(a + b) + c = a + (b + c) 。 4.有关向量加法的运算通常利用它的几何意义转化为几何运算,这体现了以

(配图形,这里从略)

形助数的思想。 5.本节课多次运用了由特殊现象发现一般规律的方法,这是数学探索发现的 一种基本方法。
6.例 2 两种方式的比较说明了我们要用理性思维来看世界,不要被表面的形

式迷惑。

7


向量的加法教学设计.doc

向量的加法教学设计 - 第七章 平面向量 7.1.2 向量的加法 【教学目标】 1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义,掌握向量加法的运算律. 2. 会用向量...

《向量的加法》教学设计.doc

向量的加法教学设计 - 《向量加法教学设计 一、教材分析: 《向量的加法》是北师大版《必修四》第四章第二节第一课时的内容。向量是近代数学中重 要和...

向量的加法教案.doc

向量的加法教案 - 课题 课型 教学目标 向量的加法 新授课 1、知识目标: ①理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量; ②掌握向量加法的三角形...

优秀参赛课件 《向量的加法》教学设计.doc

优秀参赛课件 《向量的加法教学设计 - 向量的加法 教学目标 1.知识目标 掌握向量的加法定义, 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和 向量...

人教版高中数学必修4《向量的加法》教学设计.doc

人教版高中数学必修4《向量的加法教学设计 - 《向量的加法教学设计 一、教材

向量的加法第1课时教学设计.doc

向量的加法第1课时教学设计 - 《向量的加法》 (第 1 课时)教学设计 荔湾外

平面向量的加法教案.doc

平面向量的加法教案 - 22.8(1)平面向量的加法 崇明区东门中学 赵静 教学目标: 1.经历引进向量加法的过程,初步掌握向量加法的三角形法则,会用作图的方法求两个...

向量的加法的教学设计.doc

向量的加法的教学设计 - 向量的加法的教学设计 课题: 向量的加法 科目 提供者

《平面向量的加法教案》.doc

《平面向量的加法教案 平面向量的加法》 的加法 课题名称:平面向量的加法 课题名称:平面向量的加法 教材版本:苏教版《中职数学基础模块*下册》 教材版本:苏教版...

《向量的加法》教学设计.doc

向量的加法教学设计_数学_高中教育_教育专区。向量的加法 教学目标 1.知识目标 掌握向量的加法定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的...

向量的加法的教学设计--郭凤玲.doc

向量的加法的教学设计--郭凤玲 - 向量的加法 ---郭凤玲 一、教材分析: 本

向量的加法教学设计.doc

向量的加法教学设计 - 向量的加法 向量的加法 教学设计 一、教材分析 本课取自

全国青年教师素养大赛一等奖向量的加法教学设计.doc

全国青年教师素养大赛一等奖向量的加法教学设计 - 中国青年教师,素养大赛一等奖课件,教学设计,教学评课稿,优质课件,课堂练习完美版

向量的加法运算及其几何意义教学设计.doc

向量的加法运算及其几何意义教学设计 - 《向量的加法运算及其几何意义》教学设计 授课教师:大港实验中学 武凤英 一.教学目标 知识目标:理解向量加法的含义,会用向量...

数学必修4教学设计:2.2.1向量的加法 含解析 精品.doc

数学必修4教学设计:2.2.1向量的加法 含解析 精品_数学_高中教育_教育专区。教学设计 2.2.1 向量的加法 作者:陆正海,江苏省泰州中学高级教师、泰州市数学学科...

4说课稿:向量的加法的教学设计说明.doc

4说课稿:向量的加法的教学设计说明 - 《向量的加法》教学设计说明 《向量的加法

高中数学《平面向量的加法运算》教学设计-郑州市优质课....doc

高中数学《平面向量的加法运算》教学设计-郑州市优质课大赛一等奖作品 - 高中数学《向量的加法教学设计 高三数学组 (1)本节内容位于高中数学教材必修 4 第二章...

向量的加法及其几何意义 教学设计 教学案例.doc

向量的加法及其几何意义 教学设计 教学案例_数学_高中教育_教育专区。向量的加法及其几何意义 教学设计 教学案例 高中数学教学案例设计获奖汇编 ...

《向量的加法运算及其几何意义》教案11.doc

向量的加法运算及其几何意义》教案11_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.2.1 向量加法运算及其几何意义知识目标: 1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; ...

平面向量的加法教学设计.doc

平面向量的加法教学设计 - 《向量的加法教学设计》 学院:数学与统计学院 班级:2010 级五班 学号:222010314011233 姓名:杨丽军 《向量的加法》 [教学目的] ...