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100测评网澄海区2007期末考试高三理科数学评分标准.do c

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澄海区 2007-2008 学年度第一学期期末考试

高三级理科数学参考答案与评分标准
一、选择题(每小题 5 分)

题号 答案

1 B

2 C

3 D

4 B

5 D

6 C

7 A

8 D

二、填空题(每小题 5 分, 13 至 15 题为选做题, 只选做其中两题, 三题都做者只把第 14、15 题的得分计入。 凡是有两空的,第一空 2 分,第二空 3 分) 9.

1 , 8 4

10.

15 2 , 15 6

11. 2 2 ,

1 5

12. 132

13. y2=x

14. (-?, 3] (写成集合或不等式的形式答案正确的都给分)15.

4 3

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=4sin2( (1)求 f ( x) 的最大值及最小值;

? ? ? +x)-2 3 cos2x-1( ? x ? ) 4 2 4

(2)若不等式|f(x)-m|<2 恒成立, 求实数 m 的取值范围 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2[1 ? cos(

?
2

? 2 x)] ? 2 3 cos 2 x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 1
(3 分)

? 4 sin( 2 x ? ) ? 1 3
又∵ 即

?

?

4

?x?

?

2

?

?
6

? 2x ?

?
3

?

3 ? 4 s i n2 (x ? ) ? 1 ? 5 3
ymin=3 (7 分)

?

2? 3

(5 分)

∴ymax=5,

(Ⅱ)∵ | f ( x) ? m |? 2 ∴?

? m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2
(11 分) (12 分)

(9 分)

?m ? 2 ? 3 ?m ? 2 ? 5

解得 3 ? m ? 5

即所求的 m 的取值范围是(3, 5)

17. (本小题满分 14 分)如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底 面边长 AB = 2,侧棱 BB1 的长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F, (1)求证:A1C⊥平面 BDE; (2)求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值。 (3)设 F 是 CC1 上的动点(不包括端点 C),求证:△DBF 是锐角三角形。 (1)证明:由正四棱柱性质知 A1B1⊥平面 BCC1B1,A1A⊥平面 ABCD, 所以 B1C、AC 分别是 A1C 在平面 CC1B1B、平面 ABCD 上的射影

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∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1C⊥BE , A1C⊥BD, (2 分) ∴ A1C⊥平面 BDE (4 分)。 (直接指出根据三垂线定理得“A1C⊥BE , A1C⊥BD” 而推出结论的不扣分) (2)解:以 DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴,建立坐标系,则 A1 (2, 0, 4) ,

C (0, 2, 0) , B (2, 2, 0) ,∴ AC ? (?2, 2, ?4) , A1B ? (0, 2, ?4) 1
∴ cos ? A1C , A1 B ?? 设 A1C

(6 分)

A1C ? A1 B A1C ? A1 B

?

30 6

(7 分)

平面 BDE=K,

由(1)可知,∠A1BK 为 A1B 与平面 BDE 所成角,(8 分) ∴ sin ?A1 BK ? cos ? A1C , A1 B ??

30 6

(9 分)

(1) 证明:设点 F 的坐标为(0, 2, z)(0<z≤4), 则 | BF |?| DF |?

z 2 ? 22 ,

又|DB|= 2 2 ,故△DBF 是等腰三角形,要证明它为锐角三角形,只需证明其顶角∠DFB 为 锐角则可。 (11 分)

由余弦定理得 cos∠DFB=

DF 2 ? BF 2 ? DB 2 2( z 2 ? 4) 2 ? (2 2) 2 2z2 ? ? >0 2 DF ? BF 2( z 2 ? 4) 2( z 2 ? 4) 2
(13 分)

∴∠DFB 为锐角,

即不论点 F 为 CC1 上 C 点除外的任意一点, △DFB 总是锐角三角形.(14 分) 说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以 偏概全”情况应扣 2 分) 18. (本小题满分 14 分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖 于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的 时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明, 用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力,x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位:分) ,可 有以下的关系式:

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 43, (0 ? x ? 10) ? f ( x) ? ?59, (10 ? x ? 16) ?? 3x ? 107, (16 ? x ? 30). ?
(1) 开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2) 一个数学难题,需要 55(或以上)的接受能力,上课开始 30 分钟内, 求能达到该接受 能力要求的时间共有多少分钟?

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(3) 如 果 每 隔 5 分 钟 测 量 一 次 学 生 的 接 受 能 力 , 再 计 算 平 均 值 M=

f (5) ? f (10) ? 6

? f (30)
2

,它能高于 45 吗?
2

解: (1)0<x≤10 时,有 f(x)=-0.1x +2.6x+43=-0.1(x-13) +59.9 2 故当 0<x≤10 时,时,f(x)递增,最大值为 f(10)=-0.1×(-3) +59.9=59; 显然,当 16<x≤30 时,f(x)递减,f(x)<-3×16+107=59. 因此,开讲后 10 分钟,学生达到最强的接受能力(值为 59) , 并维持 6 分钟; (5 分) (2) 依题意, 当 0<x≤10 时,令 f(x)≥55,则(x-13) ≤49, ∴6≤x≤10; (7 分) 当 10<x≤16 时,f(x)=59 符合要求; (8 分) 当 16<x≤30 时,令 f(x)≥55,则 x≤17
2

1 3

(9 分)

因此,学生达到(或超过)55 的接受能力的时间为 17

1 1 -6=11 (分钟); (11 分) 3 3
(13 分)

(3)f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47,f(25)=32, f(30)=17 所以 M=

53.5 ? 59 ? 59 ? 47 ? 32 ? 17 ≈44.6<45. 6
(14 分)

故知平均值不能高于 45.

19. (本小题满分 12 分)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为

f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ?N ?) 均在函数 y ? f ( x) 的
图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成 20 a n a n ?1

立的最小正整数 m; 解: (Ⅰ)设这二次函数为 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. (2 分)

又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. (3 分) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5. (4 分)
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3× 12-2=6× 1-5, (5 分) 所以,an=6n-5 ( n ? N ) (6 分)
?

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(Ⅱ)由 (Ⅰ) 得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( (8 分) a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? ?
(10 分)



1 1 (1- ). 2 6n ? 1

1 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m, 2 6n ? 1 20 1 m 必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. (12 分) 2 20
因此,要使 20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 为椭圆 2 3 a b

在 x 轴正半轴上的焦点,M、N 两点在椭圆 C 上,且 MF ? ? FN(? ? 0) ,定点 A(- 4,0). (1)求证:当 ? ? 1 时., MN ? AF ; (2)若当 ? ? 1 时有 AM ? AN ?

106 ,求椭圆 C 的方程; 3

(3)在(2)的条件下,当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,当 AM ? AN ? tan?MAN 的 值为 6 3 时, 求出直线 MN 的方程.

20.解: (1)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), F (c,0) ,则 MF ? (c ? x1 ,? y1 ), NF ? ( x2 ? c, y2 ) , 当 ? ? 1 时, MF ? FN,? ? y1 ? y2 , x1 ? x2 ? 2c ,
2 1 2

(2 分)

2 y12 y2 2 2 2 2 由 M,N 两点在椭圆上,? x ? a (1 ? 2 ), x 2 ? a (1 ? 2 ),? x1 ? x 2 b b

若 x1 ? ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ? 2c (舍去) ,? x1 ? x2

(4 分)

(5 分) ? MN ? (0,2 y2 ), AF ? (c ? 4,0),? MN ? AF. 。 (2)当 ? ? 1 时,不妨设 M (c,

b2 b2 b4 ), N (c,? ),? AM ? AN ? (c ? 4) 2 ? 2 (6 分) a a a

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3 2 2 c2 5 106 ,? c ? 2 , (8 分) c , b ? ,? c 2 ? 8c ? 16 ? 2 2 6 3

又 a2?

椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 。 (9 分) 6 2
(10 分)

(3)因为 AM ? AN ? tan?MAN ? 2S ?AMN ?| AF || y M ? y N | =6 3 , 由(2)知点 F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= 3 当 MN⊥x 轴时, |yM-yN|=|MN|= (11 分)

2b2 2 ? 2 ? ? 3 , 故直线 MN 的斜率存在, (12 分) a 6

不妨设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2), (k ? 0)
? y ? k ( x ? 2) 联立 ? 2 ,得 (1 ? 3k 2 ) y 2 ? 4ky ? 2k 2 ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? 2 ?6

? | y M ? y N |?

24k 4 ? 24k 2 = 3 , 解得 k=±1。 1 ? 3k 2

此时,直线的 MN 方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 。 (14 分)
21. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=

1 2 ax ? 2 x(a ? 0), g ( x) ? ln x, 2

(1) 若 h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间,求 a 的取值范围; (2) 是否存在实数 a>0,使得方程

g ( x) 1 ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区间 ( , e) 内有且只有两个 x e

不相等的实数根?若存在,求出 a 的取值范围?若不存在,请说明理由。 解: (1)由已知,得 h(x)=

1 2 ax ? 2 x ? ln x, 且 x>0, 2
(2 分)

则 hˊ(x)=ax+2-

1 ax 2 ? 2 x ? 1 = , x x

∵函数 h(x)存在单调递增区间, ∴hˊ(x)≥0 有解, 即不等式 ax2+2x-1≥0 有 x>0 的解. (3 分) ① 当 a<0 时, y=ax2+2x-1 的图象为开口向下的抛物线, 要使 ax2+2x-1≥0 总有 x>0 的 解, 则方程 ax2+2x-1=0 至少有一个不重复正根, 而方程 ax2+2x-1=0 总有两个不相 等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需Δ =4+4a>0, 即 a>-1. 即-1<a<0 (5 分) ② 当 a>0 时, y= ax2+2x-1 的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-1≥0 一定有 x>0 的 解. (6 分) 综上, a 的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) (7 分)

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(2)方程

g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) x ln x ln x ? ax ? 2 ? (2a ? 1), ? ax ? (1 ? 2a), 即为 x x
等价于方程 ax2+(1-2a)x-lnx=0 . (8 分) 设 H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间( , e )内根的问题, 转化为函数 H(x)在区

1 e

间( , e )内的零点问题.

1 e

(9 分)

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? Hˊ(x)=2ax+(1-2a)- = x x x
当 x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0, H(x)是减函数; 当 x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0, H(x)是增函数; 若 H(x)在( , e )内有且只有两个不相等的零点, 只须

(10 分)

1 e

? 1 a 2 1 ? 2a (1 ? 2e)a ? e 2 ? e H ( ) ? ? ? 1 ? ?0 ? e 2 2 e e e ? ? ? H ( x) min ? H (1) ? a ? (1 ? 2a) ? 1 ? a ? 0 ? 2 2 ? H (e) ? ae ? (1 ? 2e)a ? 1 ? (e ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0 ? ?
e2 ? e e2 ? e , 所以 a 的取值范围是(1, ) 2e ? 1 2e ? 1

(13 分)

解得 1 ? a ?

(14 分)

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