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14数学全国教师18(文)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十八)
第十八单元
(120 分钟


150 分)



第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.从至少含有 2 件次品的 1000 件产品中,抽出 5 件产品进行质检,设“至少抽到 1 件次品” 为事件 A,“不含次品”为事件 B,且 P(A)=m,则 P(B)等于 A.m
答案:B

B.1-m C.m(1-m)

D.(1-m)2

解析:事件 A 与事件 B 为对立事件,故 P(B)=1-m.

2.以下事件: (1)连续投掷骰子两次,掷得的点数和为 16 (2)若集合 A,B,C,满足 A?B,B?C,则 A?C (3)骑车通过 5 个十字路口,一路绿灯 (4)技术发达后,不需要任何能量的永动机将会出现 (5)一教师在讲台上随手抛出一段粉笔头,粉笔头最后落下 属于随机事件的有 A.0 个
故选 B. 答案:B

B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:依据随机事件的概念,可以判断(3)是随机事件,而(1)、(4)是不可能事件,(2)、(5)是必然事件,

3.小明需要从甲城市编号为 1-12 的 12 个工厂或乙城市的编号为 13-32 的 20 个工厂选择 一个去实习,设“小明在甲城市实习”为事件 A,“小明在乙城市且编号为 3 的倍数的工厂实 习”为事件 B,则 P(A+B)等于 A.32
3 1 9 5

B.4

C.16

D.8
12 32 6 32 12+6 9 = . 32 16

解析:事件 A 与事件 B 为互斥事件,且 P(A)= ,P(B)= ,所以 P(A+B)= 答案:C

4.分别在区间[1,5]、[1,4]内各任取一个实数依次为 m,n,则 m>n 的概率是 A.4 B.8
1 3

C.8

5

D.4

3

解析:所求概率为由约束条件 1 ≤ ≤ 4, 确定的区域的面积与由不等式

1 ≤ ≤ 5, > ,

1 ≤ ≤ 5, 确定的平 1 ≤ ≤ 4,

5 面区域的面积的比值,其值为 1- 2 = . 12 8

9

答案:C

5.如果某种彩票中奖的概率为1000,那么用概率的意义解释买 1000 张彩票的错误叙述是 A.可能 1 张中奖 C.可能 0 张中奖 B.一定有 2 张中奖 D.可能 3 张中奖

2

解析:买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖 也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖,故选 B. 答案:B

6.如图,在一个边长为 2 的正方形中随机撒入 200 粒的豆子,恰有 120 粒落在阴影区域里, 则该阴影部分的面积约为 A.5 B. 5
3 12 6 18

C.5

阴影 正

D. 5

解析:易得: 答案:B



=

阴影 120 120 12 ,即 = ,所以 S 阴影= . 200 4 200 5

7.甲、乙两人用牌面数字分别为 1,2,3,4 的 4 张扑克牌玩游戏.他俩将扑克牌洗匀后,背面 朝上放置在桌面.若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数,则甲获胜;反之,乙获胜. 以下说法正确的是 A.甲获胜的可能性大 B. 乙获胜的可能性大 D.无法确定 C.甲乙获胜的可能性一样大

解析:∵ 一次抽出两张牌的组合共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)六种情况,其中有 4 组中的两数和 是奇数,∴ 由古典概型公式得 P(甲)= = ,P(乙)= ,故选 A.
4 2 6 3 1 3

答案:A

8.袋中共有 5 个除了颜色外完全相同的球,其中 1 个红球、2 个白球、2 个黑球,从袋中任 取两球,两球颜色为一白一黑的概率为 A.5 B.5
1 2 3 7

C.5

D.10
2 5

解析:从 5 个球中取出两个的取法共有 10 种,而一白一黑包含其中的 4 种,所以一白一黑的概率为 . 答案:B

9.在一次大学同学聚会上,参加聚会的女同学比男同学的 多 2 人,在晚上的联欢会上随机 选一位同学做主持人,已知选到女同学的概率为10,则参加这次聚会的男同学的人数为 A.30 B.21 C.9 D.10
1 3 3 10 x+2+x 3
1

1 3

3

解析:设参加聚会的男同学有 x 人,则女同学为( x+2)人,由古典概型公式得1 3 故选 B. 答案:B

x+2

= ,解之得 x=21,

10.区域 D 是平面直角坐标系中由到原点距离不大于 1 的点组成,在区域 D 内任取一点 (x,y),该点满足 x+y< 的概率为 A. +
2 3 3 4π 2 2

B.

2 3

C. +

2 3 3 2π

D. +

1 3 3 4π

解析:所求概率为阴影部分的面积与圆的面积之比,又圆的面积为 π,阴影部分的面积为 值为 +
2 3 . 3 4π

2π 3 + ,故比 3 4

答案:A

11.在二位“渐降数”(定义:我们把每个数字都比其左边数字小的正整数叫做“渐降数”(比如 852,6543 等)中任取一数都比 54 小的概率为 A.
15 45

B.

13 44

C.

14 45

D.

13 45

解析:十位是 9 的“渐降数”有 98,97,…,90 共 9 个,十位是 8 的“渐降数”有 87,86,…,80 共 8 个,…,十位 是 2 的“渐降数”有 21,20 共 2 个,

十位是 1 的“渐降数”有 10 共 1 个,∴ 二位“渐降数”共有 9+8+7+…+1=45(个),比 54 小的共有 4+4+3+2+1=14(个),所以由古典概率的计算公式得所求概率为 ,故选 C. 答案:C
14 45

12.已知正棱锥 S—ABC 的底面边长为 4,高为 3,在正棱锥内任取一点 P,使得 VP-ABC< VSABC 的概率是

1 3

A.3 B.9

2

4

C.27

8

D.27

19

解析:VP-ABC= ·S△ABCh',VS-ABC= ·S△ABCh,其中 h',h 分别表示点 P、点 S 到底面的距离,由题意可得 h'< h,所求概率为 答案:D
1 3 '''- -

1 3

1 3

=1-

-''' -

=1- = .

8 19 27 27

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.当百位和个位上的数字相同且大于十位上的数字时,称这样的数为“三位伞数”,从“三位 伞数”中取出一个,则这个数小于 300 的概率为 .
解析:“三位伞数”共有 1+2+…+8+9=45 个,而小于 300 的伞数共有 3 个,故所求概率为 . 答案:
1 15 1 15

14.矩形 ABCD 的边长 AB=1,BC= 3,从矩形的顶点和矩形的对角线的交点 O 这五个点 中随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为 1 的概率为 .

解析:从 5 个点中任取两个点的取法有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,OA,OB,OC,OD 共 10 种,而满足两点 距离为 1 的取法有:OA、OB、OC、OD、AB、CD,共 6 种取法,故所求概率为 . 答案:
3 5 3 5

15.满足∠B=6,b=12,a=k 的三角形 ABC 恰有两个,则 k>18 的概率为
解析:由正弦定理:
24

π

.

sin 5π = 得 sin A= = ,因为 A∈(0, ),欲使三角形的解有两个,即角 A 的值 sin sin 24 6 5π 1 ))的图象有两个交点,由此可得 ∈( ,1),解得 k∈(12,24),故 6 24 2

有两个,即函数 y= 与函数 y=sin A(A∈(0, P(k>18)= = . 答案:
1 2 (x>1),若 -1 6 1 12 2

16.设函数 f(x)=ax+

a 是从 1,2 两个数中任取一个,b 是从 1,2,3 三个数中任取一 .
1 =(x-1)+ +1≥3;当 a=2 时,f(x)=2x+ =2(x-1 -1 -1 5 6

个,那么 f(x)>b 恒成立的概率为
解析:a,b 的取法有 6 种,当 a=1 时,f(x)=x+ 1)+
1 +3≥2 -1

2+3,故满足 f(x)>b 恒成立的取法有(1,1)、(1,2)、(2,1),(2,2),(2,3)共 5 种,故所求概率为 .

答案:

5 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 设 m 为 0,3 上的任意实数. (1)若方程 x2+mx+1=0 有实根,求实数 m 的取值范围; (2)求方程 x2+mx+1=0 有实根的概率.
解析:(1)一元二次方程有实数根?Δ≥0,即 Δ=m2-4≥0,解之得 m≤-2 或 m≥2,又 m∈ 0,3 ,∴ 2≤m≤3,即 实数 m 的取值范围为 2,3 .5 分
2,3 的长度 1 = .10 分 [0,3]的长度 3

(2)由几何概型知所求概率为长度之比,即 P=

18.(本小题满分 12 分) 某学校 900 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,利用分层抽样的 方法抽取其中若干个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14),第二组 [14,15),…,第五组[17,18],有关数据见下表:

各组组员数 [13,14) [14,15) [15,16) [16,17) [17,18] (1)求 a,b,c,d 的值; 54 b 342 288 72

各组抽取人数 a 8 19 c d

(2)若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生, 现从第一、五组中各抽一个同学组成一个新的组,求这个新组恰好由一个男生和一个女 生构成的概率.
解析:(1)因为
1 18 19 1 1 = ,所以每个学生被抽到的概率都为 .2 分 342 18 18 1 18 1 18

故 a=54× =3,b=8× 18=144,c=288× =16,d=72× =4. 故 a,b,c,d 的值分别为 3,144,16,4.6 分 (2)样本中第一组共有 3 人,第五组共有 4 人. 其中第五组四人记为 a、b、c、d,其中 a 为男生,b、c、d 为女生,第一组三人记为 1、2、3,其中 1、 2 为男生,3 为女生,基本事件列表如下: a 1 2 3 所以基本事件有 12 个, 恰为一男一女的事件有 1b,1c,1d, 2b,2c,2d,3a;共 7 个, 因此新组恰由一男一女构成的概率是 .12 分
7 12

b 1b 2b 3b

c 1c 2c 3c

d 1d 2d 3d

1a 2a 3a

19.(本小题满分 12 分) 某天甲、乙两同学约好在晚上 8 点到 9 点之间在某地会面,假定两人到达指定地点的时 刻是等可能的且相互独立的,并约定先到者等待后到者时间是 15 分钟,之后就可以离去, 问两人能够见面的概率有多大?

解析:因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲乙两人各自到达的时刻)组成.以 8 点钟作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系,设甲乙各在第 x 分钟和第 y 分钟到达,则样 本空间为 Ω:{(x,y) | 0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.会面的充要条件是|x-y| ≤15,即事件 A={可以会 面}所对应的区域是图中的阴影线部分,∴ 由几何概型公式知所求概率为面积之比,即
602 -452 7 = .12 分 16 602

P(A)=

20.(本小题满分 12 分) 2013 年 2 月 16 号十八大二中全会召开,现有 8 名全会的志愿者作为大会翻译,其中志愿 者 A1,A2,A3 通晓英语,B1,B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓英语、俄语和韩 语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.
解析:(1)从 8 人中选出英语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件空间 Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1), (A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2), (A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1), (A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}.3 分 由 18 个基本事件组成,由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能 的. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1), (A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)} 事件 M 由 6 个基本事件组成, 因而 P(M)= = .6 分 (2)用 N 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“B1,C1 全被选中”这一事件, 由于={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件有 3 个基本事件组成, 所以 P()= = ,由对立事件的概率公式得 P(N)=1-P()=1- = .12 分
3 1 18 6 1 5 6 6 6 1 18 3

21.(本小题满分 12 分)

现有 A、B 两种型号的汽车模型,其中 A 种型号的汽车模型有 3 个,标号为 1,2,3;B 种型 号的汽车模型有 2 个,标号为 1,2. (1)从以上五个汽车模型中任取两个参与展览,求这两个汽车模型型号不同且标号之和小 于 4 的概率; (2)现又有一个标号为 0 的 C 种汽车模型,从这六个汽车模型中任取两个,求这两个汽车模 型型号不同且标号之和小于 4 的概率.
解析:(1)从五个汽车模型中任取两个的所有可能情况有如下 10 种:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2.其中两个汽车模型型号不同且标号之和小于 4 的有 A1B1,A1B2,A2B13 种情况,故所求的概率为 P= .6 分 (2)加入一个标号为 0 的 C 种型号的汽车模型后,从六个汽车模型中任取两个,除上面的 10 种情况 外,多出 5 种情况:A1C0,A2C0,A3C0,B1C0,B2C0,即共有 15 种情况,其中型号不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P= .12 分
8 15 3 10

22.(本小题满分 12 分) 某同学参加体育达标测试,100 米、跳高、跳远获得等级 A 和获得等级不是 A 的机会相 等,100 米、跳高、跳远获得等级 A 的事件分别记为 W1、W2、W3,100 米、跳高、跳远 获得等级不是 A 的事件分别记为1 、2 、3 . (1)试列举该同学这次水平测试中 100 米、跳高、跳远成绩是否为 A 的所有可能结果(如 三科成绩均为 A 记为 W1,W2,W3); (2)求该同学参加这次达标测试获得两个 A 的概率; (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试 100 米、跳高、跳远成绩情况的事件,使该 事件的概率大于 85%,并说明理由.
解析:(1)该同学这次水平测试中 100 米、跳高、跳远成绩是否为 A 的可能结果有 8 种, 分别为(W1,W2,W3)、(1 ,W2,W3)、(W1,2 ,W3)、(W1,W2,3 )、(1 ,2 ,W3)、(1 ,W2,3 )、 (W1,2 ,3 )、(1 ,2 ,3 );4 分 (2)由(1)可知,有两个 A 的情况为(1 ,W2,W3)、(W1,2 ,W3)、(W1,W2,3 )三个,

从而其概率为 P= .7 分 (3)方案一、该同学参加这次水平测试中 100 米、跳高、跳远成绩不全为 A 的事件概率大于 85%, 理由如下:该同学参加这次水平测试中 100 米、跳高、跳远成绩不全为 A 的事件有如下七种情 况:(1 ,W2,W3)、(W1,2 ,W3)、(W1,W2,3 )、( ,2 ,W3)、(1 ,W2,3 )、(W1,2 ,3 )、 (1 ,2 ,3 ),概率是 P= =0.875>85%.12 分 方案二、该同学参加这次水平测试中 100 米、跳高、跳远成绩至少一个 A 的事件概率大于 85%, 理由如下:该同学参加这次水平测试中 100 米、跳高、跳远成绩至少一个为 A 的事件有如下七种 情况:(W1,W2,W3)、(1 ,W2,W3)、(W1,2 ,W3)、(W1,W2,3 )、(1 ,2 ,W3)、(1 ,W2,3 )、 (W1,2 ,3 ),概率是 P= =0.875>85%.12 分
7 8 7 8

3 8


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