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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第5节对数函数课时训练理

时间:2017-03-30


第 5 节 对数函数

【选题明细表】 知识点、方法 对数的运算 对数函数的图象 对数函数的性质 综合应用 题号 1,5,10 2,4,12 3,6 7,8,9,11,13,14,15,16

基础对点练(时间:30 分钟) 1.lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2) 等于( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2 解析:原式=2lg 5+lg 2·(1+lg 5)+(lg 2) =2lg 5+lg 2(1+lg 5+lg 2) =2lg 5+2lg 2 =2. 2.(2014 高考福建卷)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的 是( B )
2

解析:因为函数 y=logax 过点(3,1), 所以 1=loga3, 解得 a=3, -x y=3 不可能过点(1,3),排除选项 A; 3 3 y=(-x) =-x 不可能过点(1,1),排除选项 C; y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除选项 D. 3.(2016 宜宾月考)已知 loga2<1(a>0 且 a≠1),则 a 的取值范围是( D ) (A)(2,+∞) (B)(0,1) (C)(0, )∪(2,+∞) (D)(0,1)∪(2,+∞) 解析:因为 loga2<logaa, (1)0<a<1 时,函数是减函数,a<2, (2)a>1 时,函数是增函数,a>2.
1

综上,0<a<1 或 a>2,故选 D. 4.(2016 河北五校质量监测)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在 直线 mx+ny+2=0 上,其中 m>0,n>0,则+的最小值为( D ) (A)2 (B)4 (C) (D)

解析:由函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的解析式知:当 x=-2 时,y=-1,所以点 A 的坐标为 (-2,-1),又因为点 A 在直线 mx+ny+2=0 上,所以-2m-n+2=0,即 2m+n=2,又 m>0,n>0,所以 += + =2+++≥+2=,当且仅当 m=n=时等号成立.所以+的最小值为,故选 D.
2

5.(2016 洛阳模拟)已知函数 f(x)=x ,g(x)=lg x,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围是( (A)[0,+∞) (B)(0,+∞) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞) 2 解析:因为 f(a)=a ≥0, 所以 g(b)=lg b≥0, 所以 b≥1.故选 C. 6.(2016 湘西州校级月考)设 a=log32,b=ln 2,c= ,则( A (A)a<b<c (C)b<a<c (B)b<c<a (D)c<b<a ,b=ln 2= , )

C )

解析:因为 a=log32= 因为 log23>log2e>1, 所以 < <1,

又 c= >1, 所以 a<b<c,故选 A. 7.已知函数 f(x)=|lg x|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( C ) (A)(2 ,+∞) (B)[2 ,+∞)

(C)(3,+∞) (D)[3,+∞)

解析:函数 f(x)=|lg x|的大致图象如图所示. 由题意结合图象知 0<a<1,b>1. 因为 f(a)=|lg a|=-lg a=lg=f(b)=|lg b|=lg b, 所以 b=,所以 a+2b=a+.

2

令 g(a)=a+, 则易知 g(a)在(0, )上为减函数,

所以当 0<a<1 时,g(a)=a+>g(1)=1+2=3. 8.已知函数 f(x)= 则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围

是 . x+1 解析:当 x≤0 时,3 >1? x+1>0, 所以-1<x≤0; 当 x>0 时,log2x>1? x>2, 所以 x>2. 答案:{x|-1<x≤0 或 x>2} 9.已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围是 .

解析:由题意可知 ln

+ln

=0,

即 ln(

×

)=0,从而

×

=1,

化简得 a+b=1, 2 2 故 ab=a(1-a)=-a +a=-(a-) +, 又 0<a<b<1, 2 所以 0<a<,故 0<-(a-) +<. 答案:(0,) 10.解答下列各题: 2 2 (1)计算:lg 2+lg 50·lg 4+lg 5+lg 25; (2)计算:log23·log34. 2 2 解:(1)原式=lg 2+(1+lg 5)·2lg 2+lg 5+2lg 5 2 =(lg 2+lg 5) +2(lg 2+lg 5) =1+2=3. (2)原式= · = =2.

11.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=lo x. (1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)解不等式 f(x -1)>-2. 解:(1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lo (-x).

3

因为函数 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x). 所以函数 f(x)的解析式为

f(x)=

(2)因为 f(4)=lo 4=-2,f(x)是偶函数, 所以不等式 f(x -1)>-2 可化为 f(|x -1|)>f(4). 又因为函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以|x -1|<4,解得即不等式的解集为(2 2 2

<x< ,

, ). 能力提升练(时间:15 分钟)

12.(2015 长春校级四模)函数 y=

的部分图象大致为(

D )

解析:因为 y=f(x)=

,

所以 f(-x)=

=

=f(x),

所以 f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称, 所以排除 B,C. 因为 f(2)= >0,

所以(2,f(2))在 x 轴上方,所以排除 A.故选 D.

4

13.(2016 山西质检)已知函数 f(x)= 等),且 x1+x2+x3 的取值范围为(1,8),则实数 m 的值为 解析:作出 f(x)的图象如图所示,可令 x1<x2<x3,

若 f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3 互不相 .

则由图知点(x1,0),(x2,0)关于直线 x=-对称, 所以 x1+x2=-1. 又 1<x1+x2+x3<8,所以 2<x3<9. 由 f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3 互不相等), 结合图象可知点 A 的坐标为(9,3),代入函数解析式, 得 3=log2(9-m),解得 m=1. 答案:1 14.关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列结论:

①其图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是 lg 2; ④f(x)在区间(-1,0)和(1,+∞)上是增函数. 其中所有正确结论的序号是 . 解析:因为函数 f(-x)=lg =lg =f(x),所以函数为偶函数,即图象关于 y 轴对称,故

①正确 . 因函数 y=x+ 在(0,1) 上单调递减 ,在 (1,+∞) 上单调递增 , 所以函数 y=|x|+ 在 (∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在区间(-1,0)和 (1,+ ∞ ) 上 是 增 函 数 , 在 区 间 (- ∞ ,-1) 和 (0,1) 上 是 减 函 数 , 故 ② 错 , ④ 正 确 . ③ 因 为 =|x|+ ≥2 答案:①③④ 15.已知函数 f(x)=ln . =2,所以 f(x)≥lg 2,即最小值为 lg 2,故③正确.

(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)对于 x∈[2,6],f(x)=ln >ln 恒成立,求实数 m 的取值范围.

5

解:(1)由

>0,

解得 x<-1 或 x>1, 所以函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时, f(-x)=ln =ln =ln( )
-1

=-ln

=-f(x),

所以 f(x)=ln

是奇函数.

(2)因为 x∈[2,6]时, f(x)=ln >ln 恒成立,

所以

>

>0,

因为 x∈[2,6], 所以 0<m<(x+1)(7-x)在 x∈[2,6]上成立. 令 g(x)=(x+1)(7-x) 2 =-(x-3) +16,x∈[2,6], 由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时函数 g(x)单调递增, x∈[3,6]时函数 g(x)单调递减, x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7, 所以 0<m<7. 即实数 m 的取值范围是(0,7). 16.已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果存 在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)因为 a>0 且 a≠1,设 t(x)=3-ax, 则 t(x)=3-ax 为减函数, 所以 x∈[0,2]时,t(x)最小值为 3-2a, 当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义, 即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 所以 3-2a>0,所以 a<. 又 a>0 且 a≠1,所以 a∈(0,1)∪(1,). (2)t(x)=3-ax,因为 a>0,所以函数 t(x)为减函数, 因为 f(x)在区间[1,2]上为减函数,

6

所以 y=logat 为增函数, 所以 a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), 所以 即

故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 精彩 5 分钟 1.已知 a= ,b= ,c=() ,则( C )

(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b 解题关键:化成同底数幂的形式,再结合图象判断. 解析:c=() 可化为 c= .

在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,y=log3x,y=log4x 的图象,如图所示.

由图象知, log23.4>log3 >log43.6. 所以 a>c>b.故选 C. 2.(2015 眉山模拟)若 logm<logn<0,则( (A)1<m<n (B)1<n<m (C)n<m<1 (D)m<n<1 解题关键:利用换底公式转化.

A )

解析:由换底公式可知,不等式 logm<logn<0,等价为

<

<0,

则 lo n<lo m<0,所以 n>m>1,即 1<m<n. 3.已知函数 f(x)=ln x,若 x1,x2∈(0,)且 x1<x2,则 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; ②f( )< ;

③x1f(x2)>x2f(x1); ④x2f(x2)>x1f(x1). 上述结论中正确的命题序号是

.

7

解题关键:理解所给式子的意义,结合图象或构造函数求解. 解析:f(x)=ln x,x∈(0,)的图象如图所示.

显然 f(x)在(0, )上单调递增,故①不正确. 又 f(x)在(0, )上是凸函数, 故 f( )> ,所以②不正确.

令 F(x)=

,x∈(0, ),则 F′(x)=

.

所以当 x∈(0, )时,F′(x)>0,即 F(x)在(0, )上为增函数,又 x1<x2,故 F(x1)<F(x2),从而 < ,

即 x1ln x2>x2ln x1,所以③正确. 令 G(x)=xln x,x∈(0,),由 G′(x)=1+ln x,可知当 x∈(0,)时,G′(x)<0, 所以 G(x)在(0,)上为单调减函数. 又 x1<x2,从而 G(x1)>G(x2),故 x2f(x2)<x1f(x1), 所以④不正确. 答案:③

8


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