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2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理理

时间:2017-10-26


第 6 讲 正弦定理和余弦定理
一、选择题 1.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,BC= 2,那么 A 等于( A.135° B.105° C.45° ). D.75°

BC AB 2 3 2 解析 由正弦定理知 = ,即 = ,所以 sin A= ,又由题知, sin A sin C sin A sin 60° 2 BC<AB,∴A=45°.
答案 C 2.已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C 的大小 为( ). B.90° C.120°
2 2

A.60°

D.150°

解析 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b) -c =ab, ∴c =a +b +ab=a +b -2abcos C, 1 ∴cos C=- ,∴C=120°. 2 答案 C 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成等差数列,且
2 2 2 2 2

a=1,b= 3,则 S△ABC=
A. 2 B. 3 C. 3 2 D.2

(

).

解析 ∵A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= 3,∴ = , sin A sin B ∴sin A=

a

b

asin B 3 1 1 = × = , b 2 3 2

1 3 ∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC= ×1× 3= . 2 2 答案 C 4.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于 ( A. 3 2 B. 3 3 2 C. 3+ 6 2 D. 3+ 39 4 ).

解析 设 AB=c,BC 边上的高为 h. 由余弦定理,得 AC =c +BC -2BC·ccos 60°,即 7=c +4-4ccos 60°,即
2 2 2 2

1

c2-2c-3=0,∴c=3(负值舍去).
又 h=c·sin 60°=3× 答案 B 5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=λ ,b= 3λ (λ >0),A=45°, 则满足此条件的三角形个数是( A.0 C.2 解析 直接根据正弦定理可得 ) B.1 D.无数个 3 3 3 = ,故选 B. 2 2

a
sin A



b
sin B

,可得 sin B =

bsin A 3λ sin 45° = = a λ

6 >1,没有意义,故满足条件的三角形的个数为 0. 2 答案 A 6.已知△ABC 的面积为 3 π ,AC= 3,∠ABC= ,则△ABC 的周长等于 2 3 ( A.3+ 3 C.2+ 3 B.3 3 3 3 D. 2 ).

1 2 2 2 2 2 解析 由余弦定理得 b =a +c -2accos B,即 a +c -ac=3.又△ABC 的面积为 acsin 2 π 3 2 2 = ,即 ac=2,所以 a +c +2ac=9,所以 a+c=3,即 a+c+b=3+ 3,故选 A. 3 2 答案 A 二、填空题 7.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等 于________.

解析 在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C=

3 1 ,∴sin C= ;在△ADC 中, 2 2

AD AC 2 1 由正弦定理得, = , ∴AD= × = 2. sin C sin∠ADC sin 45° 2
答案 2

8.已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为________.

2

解析 依题意得,△ABC 的三边长分别为 a, 2a,2a(a>0),则最大边 2a 所对的角的余 弦值为:

a2+? 2a?2-?2a?2 2 =- . 4 2a· 2a
2 4

答案 -

9.在 Rt△ABC 中,C=90°,且 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足 a+b=cx,则实数 x 的取 值范围是________. 解析 x=

a+b sin A+sin B π ? π? ? π? = =sin A+cos A= 2sin?A+ ?.又 A∈?0, ?,∴ <A 4 2 c sin C 4 ? ? ? ?

π 3π 2 ? π? + < ,∴ <sin?A+ ?≤1,即 x∈(1, 2]. 4? 4 4 2 ? 答案 (1, 2] 10.若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值________. 解析 (数形结合法)因为 AB=2(定长),可以令 AB 所在的直线为 x 轴,其中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0),设 C(x,y),由 AC= 2BC, 得 ?x+1? +y = 2
2 2

?x-1? +y ,化简得(x-3) +y =8,

2

2

2

2

即 C 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 1 所以 S△ABC= ·|AB|·|yC|=|yC|≤2 2,故答案为 2 2. 2 答案 2 2 三、解答题 11.叙述并证明余弦定理. 解 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的
2 2 2

余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有 a =b +c -2bccos

A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C,
法一 如图(1),

图(1)

a2=BC·BC
→ → → → =(AC-AB)·(AC-AB) →2 → → →2 =AC -2AC·AB+AB →2 → → →2 =AC -2|AC|·|AB|cos A+AB





3

=b -2bccos A+c ,即 a =b +c -2bccos A. 同理可证 b =c +a -2cacos B,c =a +b -2abcos C. 法二
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

图(2) 已知△ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直 角坐标系,如图(2)则 C(bcos A,bsin A),B(c,0), ∴a =|BC| =(bcos A-c) +(bsin A) =b cos A-2bccos A+c +b sin A =b +c -2bccos A. 同理可证 b =c +a -2cacos B,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c2=a2+b2-2abcos C.
2 12.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

2 解 (1)因为 0<A<π ,cos A= , 3 得 sin A= 1-cos A=
2

5 . 3

又 5cos C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C = 5 2 cos C+ sin C. 3 3

所以 tan C= 5. (2)由 tan C= 5,得 sin C= 5 6 5 6 ,cos C= 1 . 6

于是 sin B= 5cos C= 由 a=

.

2及正弦定理 = ,得 c= sin A sin C

a

c

3.

1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2 13. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点(a,b)在直线 x(sin A-sin B)+

ysin B=csin C 上.

4

(1)求角 C 的值; (2)若 a +b =6(a+b)-18,求△ABC 的面积. 解 (1)由题意得 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C, 由正弦定理,得 a(a-b)+b =c , 即 a +b -c =ab,
2 2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 1 由余弦定理,得 cos C= = , 2ab 2
π 结合 0<C<π ,得 C= . 3 (2)由 a +b =6(a+b)-18,得(a-3) +(b-3) =0, 从而得 a=b=3, 1 2 π 9 3 所以△ABC 的面积 S= ×3 ×sin = . 2 3 4 π ?π ? ?π ? 14. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c.已知 A= ,bsin? +C?-csin? +B? 4 ?4 ? ?4 ? =a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
2 2 2 2

?π ? ?π ? ?π ? (1)证明 由 bsin? +C?-csin? +B?=a 应用正弦定理,得 sin Bsin? +C?-sin 4 4 ? ? ? ? ?4 ? ? ? Csin? +B?=sin A,
π

?4

?

sin B?

2 2 2 ? 2 ? ? 2 ? sin C+ cos C?-sin C? sin B+ cos B?= , 2 2 2 ?2 ? ?2 ?

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1. 3 π 由于 0<B,C< π ,从而 B-C= . 4 2 3π 5π π (2)解 B+C=π -A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 由 a= 得 b= π 2,A= , 4

asin B 5π asin C π =2sin ,c= =2sin , sin A 8 sin A 8
5π π 2sin sin 8 8

1 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2 = 2cos π π 1 sin = . 8 8 2

5

6


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