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空间点、直线、平面之间的位置关系

时间:2016-04-12


第3节空间点、直线、平面之间的位置关系
一、课标考纲要求 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公 理和定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点 在此平面内。 ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过 该点的公共直线。 ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个 角相等或互补。 2. 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平 行、垂直的有关性质与判定定理。 理解以下判定定理: ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平 行。 ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平 行。 ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面 垂直。 ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直。 理解以下性质定理,并能够证明: ◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交, 那么这条直线就和交线平行。 ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面 垂直。 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二、基础知识梳理
1.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表

公理 1

公理 2

公理 3

图形语言

如果一条直线上的两 点在一个平面内,那 文字语言 么这条直线在此平面 内.

过_______的三点, 有 且只有一个平面.

如果两个不重合的平 面有一个公共点,那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线.

符号语言

? A ? l, B ? l, ? ? A ?? , B ?? ?l ??

A, B, C 不共线
? A, B, C 确定
平面 ?

P ?? , P ? ? ?? ? ? ? l , ?? ? P ? l.

公理 2 的三条推论: 推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 三个推论给出了确定一个平面的依据。 公理 4 平行直线的唯一性:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (注意:会画两个角互补的图形).

2.直线与直线的位置关系 (1)异面直线:把不在______平面内的两条直线叫做异面直线. (2)直线与直线位置关系的分类:相交、平行、异面
按平面基本性质分 (1)同在一个平面内:相交直线、平行直线 (2)不同在任何一个平面内的两条直线:异面直线 按公共点个数分 (1)有一个公共点:相交直线 (2)无公共点:平行直线、异面直线

(3)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,

把 a′与 b′所成的________叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角). ②范围:_________ 3.直线与平面的位置关系有________、________、_______三种情况. 4.平面与平面的位置关系有_______、_________两种情况. 5.平行公理:平行于_________的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_________.

三、高考真题在线 题型一 共点、共线、共面问题
例 1.(2013 安徽理)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 __________(写出所有正确命题的编号). ①当 0<CQ< ②当 CQ=

1 时,S 为四边形 2

1 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 3 4 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 4 6 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 2
答案:①②③⑤ 解析:当 CQ=

例1

1 5 5 2 2 2 2 2 2 时,D1Q = D1C1 +C1Q = ,AP =AB +BP = ,所以 D1Q=AP,又因为 2 4 4 1 AD1∥2PQ,所以②正确;当 0<CQ< 时,截面为 APQM,且为四边形,故①也正确,如图(1) 2 1 3 1 CR C1Q C1R ? 所示;如图(2),当 CQ= 时,由△QCN∽△QC1R 得 ,即 4 ? 1 ,C1R= , 3 3 4 CQ CN 1 4
故③正确;

例 1 图(1)

图(2)

例1图 (2) 如图(3)所示,当

3 <CQ<1 时,截面为五边形 APQMF,所以④错误; 4

当 CQ=1 时,截面为 APC1E,

例 1 图(3) 可知 AC1= 3 ,EP= 2 ,且四边形 APC1E 为菱形,S 四边形 APC1E=

6 ,故⑤正确. 2

例 2(2008 年

四川)如图,面 ABEF ? 面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯

// 形, ?BAD ? ?BAF ? 90? , BC ?
求证: C 、 D 、 E 、 F 四点共面;

1 1 // AF . AD , BE ? 2 2

F

E A B 例2 C D

解析:∵面 ABEF ? 面 ABCD , AF ? AB , ∴ AF ? 面 ABCD . ∴以 A 为原点,以 AB , AD , AF 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 不妨设 AB ? a , AD ? 2b , AF ? 2c ,则 A( 0 , 0 , , B 0 (a ) , 0, 0) , C (a, b, 0) , D(0, 2b, 0) , E (a, 0, c) , F (0, 0, 2c) . ∴ DF ? (0, ?2b, 2c) , CE ? (0, ?b, c) ,∴ DF ? 2CE , ∴ DF // CE , ∵ E ? DF ,∴ DF // CE , ∴ C 、 D 、 E 、 F 四点共面. 方法总结: 证明点共线,常常采用以下两种方法:①转化为证明这些点是某两个平面的公 共点,然后根据公理 3 证得这些点都在这两个平面的交线上;②证明多点共线问题时,通常 是过其中两点作一直线,然后证明其他的点都在这条直线上.对于证明空间的点、线共面问 题,通常采用以下两种方法:①根据已知条件先确定一个平面,再证明其他点或直线也在这 个平面内;②分别过某些点或直线作两个平面,证明这两个平面重合. 过关测试 1.(2005 年广东 理)给出下列关于互不相同的直线 m, n, l 和平面 ? , ? 的四个命题: ① m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则 l 与 m 不共面; ② l 、m 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; ③ 若 l // ? , m // ? , ? // ? , 则l // m ; ④ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? ,则 ? // ? 其中为假命题的是 (A)① (B)② ( ) (C)③ (D)④

????

??? ?

????

??? ?

???? ??? ?

2. (2006 上海卷)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在 同一平面上”的 ( ) (A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)充要条件;(D)非充分非必要条件 3.(2013 四川)设 P 1, P 2 ,?, P n 为平面 ? 内的 n 个点,在平面 ? 内的所有点中,若点 P 到

P 1, P 2 ,?, P n 点的距离之和最小,则称点 P 为 P 1, P 2 ,?, P n 点的一个“中位点”.例如,线
段 AB 上的任意点都是端点 A, B 的中位点.则有下列命题: ①若 A, B, C 三个点共线, C 在线段上,则 C 是 A, B, C 的中位点; ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;

③若四个点 A, B, C , D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号)

题型二 空间两直线的位置关系
例 3.(2011 年四川 理) l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 B. l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3 C. l1 // l2 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面 D. l1 , l2 , l3 共点? l1 , l2 , l3 共面 答案(B) 解析:对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1 , l2 , l3 可能构成三棱柱三条侧棱所 在直线时而不共面;对于 D,直线 l1 , l2 , l3 相交于同一个点时不一定共面.所以选 B. 例 4.(2010 浙江 理)设 l , m 是两条不同的直线,? 是一个平面,则下列命题正确的是() (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m 答案(B) 解析: 可对选项进行逐个检查。 本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公 理和判断定理,也蕴含了对定理综合运算能力的考察,属于中档题。 方法总结;立体几何中两直线的位置关系的判断通常是平行关系以及垂直关系的判断,只需 要将已知关系转化到一些特殊图形如长方体中, 然后再利用平行以及垂直的判定方法去判断 即可。 (B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

过关测试
4.(2013 年新课标Ⅱ卷)已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足

l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? ,则(
A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l

) B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

5.(2012 年浙江 理) 已知矩形 ABCD , AB ? 1,BC ?

2 .将 ?ABD 沿矩形的对角线 BD

所在的直线进行翻折,在翻折过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“ AC 与 BD ”,“ AB 与 CD ”,“ AD 与 BC ”均不垂直 6. ( 2010 年江西 理) 过正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1的 顶 点 A 作直 线 L , 使 L 与 棱

AB , AD , AA 1 所成的角都相等,这样的直线 L 可以作
A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

第6题 类型三 异面直线所成的角 例 5.(2012 年上海 理)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小。

例5 解析 (1)? PA ? 面ABCD,? PA ? CD 又?CD ? AD,?CD ? 面PAD,

? CD ? PD,
又? PD ?

2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3 , CD ? 2,

1 ? ?PCD 的面积为 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 2
(2)解法一:取 PB 的中点 F , 连接 EF, AF,

则 EF // BC, ? ?AEF (或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角

在 ?ADF中,EF ? AF ? 2 , AE ? 2, ? ?AEF是等腰直角三角形,

??AEF ?

?
4

,? 异面直线 BC与AE 所成的角的大小为

? . 4

解法二:如图 1 所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2,0,0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 2 ,1), ∴ AE =(1, 2 ,1), BC =(0, 2 2 ,0), 设 AE 与 BC 的夹角为 ? ,则

cos? ?

AE ? AC AE AC

=

4 2? 2 2

?

2 ,, 2

例5 图1

又∵0< ? ≤

? ? ,∴ ? = 。 2 4

由此可知,异面直线 BC与AE 所成的角的大小为

? 4

例 6.(2013 年湖南)如图,在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=错误!未找到引用 源。,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在菱 BB1 上运动. (I) 证明:AD⊥C1E; (II)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三菱椎 C1-A2B1E 的体积.

例6
【答案】解: (Ⅰ)

因为E为动点,所以需证AD ? 面CBB1C1 .

? ABC ? A1 B1C1是直棱柱 ? BB1 ? 面ABC , 且AD ? 面ABC ? BB1 ? AD
又 ? RT?ABC是等腰直角且D为BC的中点, ? BC ? AD .

由上两点,且BC ? BB1 ? B ? AD ? 面CBB1C1且C1 E ? 面CBB1C1 ? AD ? C1 E. (
证毕) (Ⅱ)? CA // C1 A1 ,? ?A1C1 E ? 60? ? 在RT?A1C1 E中,AE ?

6.

? 在RT?A1 B1 E中,EB1 ? 2.? ABC ? A1 B1C1是直棱柱
? EB1是三棱锥E ? A1B1C1的高

?VC ? A B E ? VE ? A B C ? 1 ? S ? A B C ? EB1 ? 1 ?1? 2 ? 2 ? 3 3 3 2 所以三棱锥 C1 ? A1 B1 E的体积为 . 3
1 1 1 1 1 1 1 1

方法总结 异面直线所成角的计算方法主要有以下几种: (1)平移法:一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线等一 些特殊位置关系进行平移; (2)补体法:将几何体补成特殊的几何体(如正方体),在补成的几何体中找出异面直线 所成的角; (3)证明两条异面直线垂直,即所成角为 90°; ( 4 )向量法:设 a 、 b 分别为异面直线 a 、 b 的方向向量,则两异面直线所成的角 α =arccos|

a ?b |.一般情况下, 向量法应用在能够在几何体中建立直角坐标系并且可以表示 | a |?|b |

出各点坐标。

过关测试
7. ( 2012 年 全 国 理 ) 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 ,

?BAA1 ? ?CAA1 ? 60? ,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。
8. ( 2012 年 陕 西 理 ) 如 图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 ,

CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(
A



5 5

B

5 3

C

2 5 5

D

3 5

第8题

9.(2011 年陕西 理)
0 0 如图:在 ? ABC中,?ABC=60 , ?BAC=90 , AD是BC上的高 ,沿 AD 把 ? ABD 折起,

使 ?BDC=90 (Ⅰ)证明:平面 ADB ? 平面BDC ;
0

(Ⅱ)设 E为BC的中点,求AE与DB夹角的余弦值

?? ? ??? ?

第9题 10.(2011 年北京卷 理) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 , 底 面 ABCD 是菱形, ABCD

AB ? 2, ?BAD ? 60? .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ? AB , 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

类型四 直线与平面所成的角

第 10 题

例 7.(2013 福建理 ) 如图,在四棱柱 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中,侧棱 AA 1 ? 底面 ABCD,

AB / / DC , AA1 ? 1 , AB ? 3k , AD ? 4k , BC ? 5k , DC ? 6k (k ? 0) .

(1)求证: CD ? 平面ADD1 A 1; (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为

6 ,求 k 的值; 7

(3) 现将与四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱 柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问: 共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f ( k ) ,写 出 f ( k ) 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)

例7

例7

解:(Ⅰ)取 CD 中点 E ,连接 BE Q AB / / DE , AB ? DE ? 3k ? 四边形 ABED 为平行四边形 ? BE / / AD 且 BE ? AD ? 4k 在 VBCE 中, Q BE ? 4k , CE ? 3k , BC ? 5k

? BE 2 ? CE 2 ? BC 2

例 7 图(1)

??BEC ? 90? ,即 BE ? CD ,又 Q BE / / AD ,
所以 CD ? AD , Q AA1 ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD

? AA1 ? CD ,又 AA1 I AD ? A ,
? CD ? 平面 ADD1 A1
(Ⅱ)以 D 为原点, DA, DC, DD 1 的方向为 x, y, z 轴的正方向建立如图(1)所示的空间直角 坐标系 A(4k , 0, 0) , C (0, 6k , 0) , B1 (4k ,3k ,1) , A1 (4k ,0,1) 所以 AC ? (?4k ,6k ,0), AB , 3k ,1) , AA , 0, 1) 1 ? (0 1 ? (0

设平面 AB1C 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则由 ?

? ? AC.n ? 0 ? ? AB1 .n ? 0

得?

??4kx ? 6ky ? 0 取 y ? 2 ,得 n ? (3,2,?6k ) ? 3ky ? z ? 0
AA1 , n AA1 . n ? 6 7

设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? AA 1, n ? ? 解得 k ? 1 .故所求 k 的值为 1 (Ⅲ)共有 4 种不同的方案

5 ? 72k 2 ? 26k , 0 ? k ? ? ? 18 f (k ) ? ? ? 36k 2 ? 36k , k ? 5 ? 18 ?

例 8.(2012 年四川 理) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,?APB ? 90 ,?PAB ? 60 ,AB ? BC ? CA , 平面 PAB ?
? ?

平面 ABC 。 (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。

P C

A
例8

B

解析: (1)如下图 1,设 AB 中点为 D,AD 中点为 O 连接 OC,OP,CD.
因为 AB=BC=CA,所以 CD⊥AB, 因为∠APB=90° ,∠PAB=60° ,所以△ PAD 为等边三角形,所以 PO⊥AD,又平面 PAB⊥平 面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AD. 所以 PO⊥平面 ABC,即 ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角.

例8 图1

例8 图2

因为?PAD为 等边三角形,则不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 ,AB=4.
所以 CD=2 3 ,OC= OD ? CD ? 1 ? 12 ? 13 .
2 2

在 Rt ?OCP中, tan ?OPC ?

OP 3 39 . ? ? OC 13 13
39 . 13

故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan (2)如图 2,过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD ? 平面 PAB. 根据三垂线定理可知,CE⊥PA,

所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角 . 由(1)知,DE= 3 ,在 Rt△ CDE 中,tan ?CED ? 故 二面角B — AP — C的大小为 arctan 2 . [点评]本小题主要考查线面关系、 直线与平面所成的角、 二面角等基础知识, 考查思维能力、 空间想象能力,并考查应用向量知识解决数学问题的能力.

CD ?2 DE

方法总结:直线和平面所成角求法 直线与平面所成的角的的取值范围是[0°,90°],直线与平面所成角的计算方法主要有以下 几种: (1)直接法:关键是作垂线,找射影,可利用面面垂直的性质; (2)平移法:通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移,计算其平行线与平面所成的 角,也可平移平面; (3)通过等体积法求出斜线上任一点到平面的距离 d,计算这点与斜足之间的线段长 l,

sin ? ?

d ; l

(4)向量法:设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 ? 的一个法向量,则斜线 l 与平面 ? 的一 个法向量,则斜线 l 与平面 ? 所成的角 ? ? arcsin

l.n l .n

.

过关测试 11.(2010 全国 理)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为( )

2 (A) 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

6 3

12.(2011 年大纲理)如图 1-1,四棱锥 S-ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为 等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB;(2)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小.

第 12 题 13.(2012 年北京理) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC, DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

14.(2010 辽宁理数) 已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

1 AB,N 为 AB 上一点, 2

第 14 题

四、重庆 9 年高考

1.(2012 重庆)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长 为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) (B) (0, 3) ( ) (C) (1, 2)
0

(D) (1, 3)

2.(2009 年 重庆)已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 50 , P 为空间中任意一点,则过点 P 且 与平面 ? 和平面 ? 所成的角都是 25 的直线的条数为(
0



A.2

B.3

C.4

D.5

3.(2011 年重庆)如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC ⊥ ACD , AB ⊥ BC , AD = CD , ∠ CAD = 300 (Ⅰ)若 AD =2, AB =2 BC ,求四边形 ABCD 的体积。 (Ⅱ)若二面角 C - AB - D 为 600 ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值。

第3题 4.(2006 年重庆)如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 1, BB1 ? 3 ? 1 ,

E 为 BB1 上使 B1 E ? 1 的点。平面 AEC1 交 DD1 于 F ,交 A1D1 的延长线于 G ,求:
(Ⅰ)异面直线 AD 与 C1G 所成角的大小; (Ⅱ)二面角 A ? C1G ? A1 的正切值;

5.(2008 年重庆) 如图, ?和? 为平面, ? ? ? ? l , A ? ?, B ??, AB=5,A,B 在棱 l 上的射影分别为 A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角 ? ? l ? ? 的大小为 (Ⅰ)点 B 到平面 ? 的距离; (Ⅱ)异面直线 l 与 AB 所成的角(用反三角函数表示).

2? ,求: 3

第5题

6.(2004 年重庆 文)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,

PA ? 底面ABCD, AE ? PD, EF // CD, AM ? EF
(1) (2) 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; 若 PA ? 3 AB ,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值。

P

E A M B
第6题

F D C

五、2014 权威预测

有关空间点、直线、平面的位置关系问题,主要是考察平面的

基本性质、空间两条直线的位置关系,其中要着重注意异面直线的有关问题,一般多以选择 题和填空题为主,难度不大。

六、挑战高考满分
1.(2006 年湖南卷)过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成 的角是 60 则该截面的面积是() A.π B. 2π C. 3π D. 2 3?
0

2.(2013 年山东理)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

9 ,底面是边长为 4


3 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为(
5? A. 12

? B. 3

?
C. 4

?
D. 6

3.(2009 全国卷Ⅱ文) 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 = 2 AB , E 为 AA1 中点, 则异面直线 BE 与 CD1 所形成角的余弦值为 ()

(A)

10 10

(B)

1 5

(C)

3 10 10

(D)

3 5

A1 在底面 ABC 4. (2009 全国卷Ⅰ理) 已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等,
上的射影为 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

5.(2009 湖南卷文)平面六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的 条数为() A.3 B.4 C.5 D.6

6.(2013 上海)在如图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为_______

D1 A1 D A B B1

C1

C

7.(2010 四川 理)如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B ? l ,

AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是

.

8.(2009 年辽宁 理) 如图,已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点 。 (I)若平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。

第8题
9.(2013 江苏 理)

如图 , 在直三棱柱 A1 B1 C1 ? ABC中 , AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 , 点 D 是

BC 的中点 (1)求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值
(2)求平面 ADC1 与 ABA 1 所成二面角的正弦值.

第9题

10.(2012 天津 理) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1. (Ⅰ)证明 PC⊥AD;(Ⅱ)求二面角 A-PC-D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30°,求 AE 的长. P

.
A

B C

D

第 10 题


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