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圆锥曲线教案

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选修 1—1 教案
椭 圆
椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方 程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一 般方法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥 侧面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母 线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为 什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的 例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究 P36 页上的问题(同桌的 两位同学准备无弹性的细绳子一条(约 10cm 长,两端各结一个套) ,教师准备无弹性细绳 子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔尖(动点) 满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨 迹叫做椭圆(ellipse) .其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦 距.即当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P ? M | MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)椭圆标准方程的推导过程 提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称 性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a , b, c 的关系有明显的几 何意义. 类比: 写出焦点在 y 轴上, 中心在原点的椭圆的标准方程 (iii)例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 的标准方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a , b, c .引导学生用其他

?

?

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2
?5 3? , ? ? ,求它 ?2 2?

1

方法来解. 另解:设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ?5 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, 2 a b ?2 2?

9 ? 25 ? 2 ? 2 ? 1 ?a ? 10 ? 则 ? 4a . ?? 4b ?b ? 6 ?a 2 ? b 2 ? 4 ? ?
例 2 如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 分析:点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上运动,由点 P 移动引起点 M 的运动,则称点 M 是 点 P 的伴随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求 点 M 的轨迹方程. 引申:设定点 A? 6,2? , P 是椭圆 方程. 解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ;②(点与伴随点的 关系)∵ M 为线段 AP 的中点,∴ ?

x2 y2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹 25 9

? x1 ? 2 x ? 6 ;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹) ,∵ ? y1 ? 2 y ? 2
2 2

x12 y12 ? x ? 3? ? y ? 1? 1 ? ? 1 ,∴点 M 的轨迹方程为 ? ? ;④伴随轨迹表示的范围. 25 9 25 9 4
例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9

分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式 子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ? 的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解 法 剖 析 : 设 点 M ? x, y ? , 则 k AM ?

4 ,因此,可以求出 x, y 之间 9

y ? x ? ?5 ? , x?5

y ? x ? 5? ; x?5 y y 4 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. 代入点 M 的集合有 x?5 x?5 9 k BM ?
引 申 : 如 图 , 设 △ ABC 的 两 个 顶 点 A ? ?a,0 ? , B ? a,0? , 顶 点 C 在 移 动 , 且

2

k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程.
引申目的有两点:①让学生明白题目涉及问题的一般情形;②当 k 值在变化时,线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线, 是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名; 必须让学生认同与体会: 椭圆的定义及特殊 情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建 立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ?

a2 ? c2 的意义,培养学生用对称的美学思

维来体现数学的和谐美;让学生认同与领悟:例 1 使用定义解题是首选的,但也可以用其 他方法来解,培养学生从定义的角度思考问题的好习惯; 2 是典型的用代入法求动点的 例 伴随点的轨迹,培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线 和抛物线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确 且直观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化 为几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊 性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解 决问题的一般的思想、方法和途径.

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椭圆的简单几何性质
◆ 知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性; 理解椭圆的范围、 对称性及对称轴, 对称中心、 离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了 解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注 意通过对椭圆的标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种 研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的 性质得到椭圆的对称性; ③先定义圆锥曲线顶点的概念, 容易得出椭圆的顶点的坐标及长 轴、短轴的概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗 §2.1.2 椭圆的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小 和位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)椭圆的简单几何性质

y2 x2 ①范围:由椭圆的标准方程可得, 2 ? 1 ? 2 ? 0 ,进一步得: ? a ? x ? a ,同 b a
理可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究 椭圆的标准方程发生变化没有, 从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴, 原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交 点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对 称轴叫做长轴,较短的叫做短轴; ④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率( 0 ? e ? 1 ) , a

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ? ?椭圆图形越扁 ?椭圆越接近于圆
(iii)例题讲解与引申、扩展 例 4 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a , b, c .引导学生用椭圆的长轴、 短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ?
2 2

10 ,求 m 的值. 5

4

解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当 焦点在 x 轴上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ? 5, b ?

m, c ? 5 ? m ,∴

5?m 5

?

2 5



得 m ? 3 ;②当焦点在 y 轴上,即 m ? 5 时,有 a ?

m, b ? 5 , c ?

m? 5, ∴

m?5 m

?

10 25 ?m? . 5 3

例 5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对称轴的截口

BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由
椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知

BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭
圆的方程.

x2 y 2 解法剖析: 建立适当的直角坐标系, 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 , 算出 a , b, c 的 a b
值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a , b, c 的近似值,原则 上在没有注意精确度时, 看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定 轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面 200km ,远地点 B 距地面 350km ,已知 地球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆 的轨迹方程. 例 6 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ? 数

25 的距离的比是常 4

4 ,求点 M 的轨迹方程. 5
分 析 : 若 设 点 M ? x, y ? , 则 MF ?

? x ? 4?

2

2 ? y ,到直线 l : x ?

25 的距离 4

d ? x?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4

引申: 《几何画板》 (用 探究) 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0? 的距离和它到定直线 l : x?

a2 的距离比是常数 c

5

e?

c ? a ? c ? 0? ,则点 M 的轨迹方程是椭圆.其中定点 F ?c,0? 是焦点,定直线 l : a

x?

a2 相应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : c

x??

a2 . c

◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同 探究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学 世界观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准 方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何 图形建立直角坐标系的两个原则, ①充分利用图形对称性, ②注意图形的特殊性和一般性; 必须让学生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似 计算,②要求近似计算的一定要按要求进行计算,并按精确度要求进行,没有作说明的按 给定的有关量的有效数字处理; 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题,培养 学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ◆能力目标 (1) 分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析 问题和解决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化 为几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养 学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解 决问题的一般的思想、方法和途径.

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双曲线及其标准方程
◆ 知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题;理解双曲 线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解借助信息技术探究动点轨迹的 《几何画板》的制作或操作方法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥 侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面与圆锥的轴线或平行时, 截 口曲线是双曲线,待观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么此时的 截口曲线是双曲线而不是两条抛物线;第二、你能举出现实生活中双曲线的例子.当学生 把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起思考与探究 P56 页上的问题(同桌的两位同 学准备无弹性的细绳子两条(一条约 10cm 长,另一条约 6cm 每条一端结一个套)和笔尖 带小环的铅笔一枝,教师准备无弹性细绳子两条(一条约 20cm,另一条约 12cm,一端结 个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中,把绳子的另 一端重合在一起,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是双曲线.启发性提问:在这一过程 中,你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗§2.2.1 双曲线及 其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到双曲线的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 ) 的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola) .其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距 离 叫 做 双 曲 线 的 焦 距 . 即 当 动 点 设 为 M 时 , 双 曲 线 即 为 点 集

P ? M MF1 ? MF2 ? 2a .
(ii)双曲线标准方程的推导过程 提问: 已知椭圆的图形, 是怎么样建立直角坐标系的?类比求椭圆标准方程的方法由 学生来建立直角坐标系. 无理方程的化简过程仍是教学的难点,让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整 理的数学活动过程. 类比椭圆:设参量 b 的意义:第一、便于写出双曲线的标准方程;第二、 a , b, c 的关 系有明显的几何意义. 类 比 : 写 出 焦 点 在 y 轴 上 , 中 心 在 原 点 的 双 曲 线 的 标 准 方 程

?

?

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? . b2 a 2
(iii)例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 F ? ?5,0? ,F2 ? 5,0? , 双曲线上一点 P 到 F1 ,F2 距 1 离差的绝对值等于 6 ,求双曲线的标准方程. 分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a , b, c .

7

2 补充:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且 2 2 2 过点 A? 2,0? ;② 与⊙ C1 : x ? ? y ? 1? ? 1 和⊙ C2 : x ? ? y ? 1? ? 4 都外切;③ 与 2 2 2 2 ⊙ C1 : ? x ? 3? ? y ? 9 外切,且与⊙ C2 : ? x ? 3 ? ? y ? 1内切. 2 2

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动 圆 M 的半径为 r . ① ∵⊙ C 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外,∴ MC ? r ? 2 , MA ? r ,因此有

MA ? MC ? 2 ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方
程是 2 x ?
2

2 y2 ?1 x ? ? 2 ; 7

?

?

② ∵ ⊙ M 与 ⊙ C1 、 ⊙ C2 均 外 切 , ∴ MC ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 , 因 此 有 1

MC2 ? MC1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹是以 C2 、C1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方
程是 4 y ?
2

4 x2 ? ? 1? y ? 3 ?

3? ?; 4?

③ ∵ ? M 与 ? C1 外切,且 ? M 与 ? C2 内切,∴ MC1 ? r ? 3 , MC2 ? r ? 1,因 此 MC1 ? MC2 ? 4 ,∴点 M 的轨迹是以 C1 、C2 为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹

方程是

x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? . 4 5

例 2 已知 A , B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速 为 340m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时 间差,即可知 A , B 两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点 的轨迹方程. 扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察 点同时听到了一声巨响,正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各 观察点到该中心的距离都是 1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速 度为 340m / s ;相关点均在同一平面内) . 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东 比正西晚 4s ,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,建立直角坐标 系, A 、B 、C 分别是西、 设 东、 北观察点, A ? ?1020,0? ,B ?1020,0? ,C ? 0,1020? . 则

8

设 P ? x, y ? 为巨响发生点,∵ A 、C 同时听到巨响,∴ OP 所在直线为 y ? ? x ??①, 又因 B 点比 A 点晚 4s 听到巨响声,∴ PB ? PA ? 4 ? 340 ? 1360 ? m? .由双曲线定义 知 , a ? 680 , c ? 1020 , ∴ b ? 3 4 0 , ∴ P 点 在 双 曲 线 方 程 为 5

x2 y2 ? ? 1 ? x ? ?680? ? ? ② . 联 立 ① 、 ② 求 出 P 点 坐 标 为 6802 5 ? 3402
P ?6 8 0 5 , 6 8 0 5 .即巨响在正西北方向 680 10m 处.
探究:如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于 点 M ,且它们的斜率之积为 发现? 探究方法:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM ,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示, 由于直线 AM , BM 的斜率之积是

?

?

4 ,求点 M 的轨迹方程,并与§2.1.例 3 比较,有什么 9

4 ,因此,可以求出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 9

的轨迹方程. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过课件( a )的展示与操作,必须让学生认同:与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲 面所得截口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线; 必须让学生认同与体会: 双曲线的定义 及特殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是两条射线;必须让学生认同与理解:已知 几何图形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ? c2 ? a2 的意义,培养学生用对 称的美学思维来体现数学的和谐美;让学生认同与领悟:像例 1 这基础题配备是必要的, 但对定义的理解和使用是远远不够的,必须配备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充 题;例 2 是典型双曲线实例的题目,对培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点 解决问题有一定的帮助,但要准确判定爆炸点,必须对此题进行扩展,培养学生归纳、联 想拓展的思维能力. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际 例子,能用数学符号或自然语言的描述双曲线的定义,能正确且直观地绘作 图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化 为几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊 性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解

9

双曲线的简单几何性质
◆ 知识与技能目标 了解平面解析几何研究的主要问题: (1)根据条件,求出表示曲线的方程; (2)通过 方程,研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点、 渐近线的概念;掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题和探 究了解双曲线的第二定义,准线及焦半径的概念, 利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统 一定义. ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法,在本节课中不仅要注意通过对双 曲线的标准方程的讨论, 研究双曲线的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方 法的进一步地培养. ①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围;②由 方程的性质得到双曲线的对称性;③由圆锥曲线顶点的统一定义, 容易得出双曲线的顶点 的坐标及实轴、虚轴的概念;④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题; ⑤类比椭圆通过 P 的思考问题, 探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗 §2. 2 2. 56 双曲线的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质. 提问:研究双曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大 小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)双曲线的简单几何性质 ①范围:由双曲线的标准方程得,

y 2 x2 ? ? 1 ? 0 ,进一步得: x ? ?a ,或 b2 a 2

x ? a .这说明双曲线在不等式 x ? ?a ,或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究 双曲线的标准方程发生变化没有,从而得到双曲线是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称
中心; ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做 圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的 对称轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴; ④渐近线:直线 y ? ?

b x2 y 2 x 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线; a a b
c 叫做双曲线的离心率( e ? 1 ) . a

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 e ? (iii)例题讲解与引申、扩展

例 3 求双曲线 9 y ? 16 x ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、
2 2

渐近线方程. 分析:由双曲线的方程化为标准方程,容易求出 a , b, c .引导学生用双曲线的实半轴

10

长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子,但要注意焦点在 y 轴 上的渐近线是 y ? ?

a x. b

扩展:求与双曲线 离心率. 解法剖析:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线,且经过 A 2 3, ?3 点的双曲线的标准方及 16 9

?

?

3 x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x .①焦点在 x 轴上时,设所 4 16 9

求的双曲线为

1 x2 y2 3 ? 2 ? 1 ,∵ A 2 3, ? 点在双曲线上,∴ k 2 ? ? ,无解;②焦 2 4 16k 9k

?

?

点在 y 轴上时,设所求的双曲线为 ?

x2 y2 ? 2 ? 1 ,∵ A 2 3, ?3 点在双曲线上,∴ 16k 2 9k

?

?

k2 ?

1 5 y2 x2 ? ? 1 ,离心率 e ? .这个要进行分类 ,因此,所求双曲线的标准方程为 9 4 3 4 4

讨论,但只有一种情形有解,事实上,可直接设所求的双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? m ? m ? R, m ? 0 ? . 16 9
例 4 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1) , 它的最小半径为 12m ,上口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m .试选择适当的坐 标系,求出双曲线的方程(各长度量精确到 1m ) . 解法剖析:建立适当的直角坐标系,设双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题应注意两点:①注意建立直 a 2 b2
角坐标系的两个原则;②关于 a , b, c 的近似值,原则上在没有注 意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申: 如图所示, P 处堆放着刚购买的草皮, 在 现要把这些草皮沿着道路 PA 或 PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫,已知 AP ? 150m , BP ? 100m ,

BC ? 60m ,?APB ? 60? .能否在足球场上画一条“等距离”线,在“等距离”
线的两侧的区域应该选择怎样的线路?说明理由. 解题剖析:设 M 为“等距离”线上任意一点,则 PA ? AM ? PB ? BM , 即 BM ? AM ? AP ? BP ? 50 (定值) ,∴“等距离”线是以 A 、 B 为焦点的双曲线

11

的 左 支 上 的 一 部 分 , 容 易 “ 等 距 离 ” 线 方 程 为

x2 y2 ? ? 1? ?35 ? x ? ?25, 0 ? y ? 60 ? .理由略. 625 3750
例 5 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ?5,0? 的距离和它到直线 l : x ? 数

16 的距离的比是常 5

5 ,求点 M 的轨迹方程. 4
分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ?

? x ? 5?

2

? y 2 ,到直线 l : x ?

16 的距离 5

d ? x?

16 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 5

引申:用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线 若 点 M ? x, y? 与 定 点 F ? c,0? 的 距 离 和 它 到 定 直 线 l : x ?

a2 的距离比是常数 c

e?

c ?c ? a ? 0? ,则点 M 的轨迹方程是双曲线.其中定点 F ?c,0? 是焦点,定直线 l : a

a2 a2 ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ? . x? 相应于 F 的准线;另一焦点 F c c
◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同 探究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学 世界观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:双曲线的简单几何性质,能由双曲线的 标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率;必须让学生认同与 理解:已知几何图形建立直角坐标系的两个原则,①充分利用图形对称性,②注意图形的 特殊性和一般性;必须让学生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计 算, 也可以不近似计算, ②要求近似计算的一定要按要求进行计算, 并按精确度要求进行, 没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理; 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的 轨迹问题,培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ◆能力目标 (1) 分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析 问题和解决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化 为几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养 学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解 决问题的一般的思想、方法和途径.

练习: 1、2、3、4、5 作业:第 3、4、6

12

抛物线
抛物线及标准方程
知识与技能目标 使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化 等方面的能力. 过程与方法目标 情感,态度与价值观目标 (1)培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。 (2)培养学生观察,实验,探究与交流的数学活动能力。 能力目标: (1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养; (2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问 题; (3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 (1) 复习与引入过程 回忆平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹,当 0< e<1 时是椭圆,当 e>1 时是双曲线,那么当 e=1 时,它又是什么曲线? 2.简单实验 如图 2-29,把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,一块三角板的一条直角边 紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A,截取绳子的长 等于 A 到直线 l 的距离 AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F; 用一支铅笔扣着绳 子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅 笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义, 教师总结. (2) 新课讲授过程 (i)由上面的探究过程得出抛物线的定义 《板书》平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (ii) 抛物线标准方程的推导过程 引导学生分析出:方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程 不仅具有较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离 的 2 倍. 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如 下):

13

将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形, 四种情形中 P>0;并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即:当对称轴 为 x 轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端为 y2;当对称轴为 y 轴时,方程等号的右 端为±2py,相应地左端为 x2.同时注意:当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半 轴上时,取负号. (iii)例题讲解与引申 例1 已知抛物线的标准方程是 y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程 已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程 解 因为 p=3,所以抛物线的焦点坐标是(3/2,0)准线方程是 x=-3/2 因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且 p/2=2,p=4,所以抛物线的标准方程是 x2=-8y 例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物 线的接受天线,经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为 4.8m 深度为 0.5m,求抛物 线的标准方程和焦点坐标。 解;设抛物线的标准方程是 y2=2px (p>0)。有已知条件可得,点 A 的坐标是(0.5, 2.4)代入方程,得 2.4=2p*0.5 即=5.76 所以,抛物线的标准方程是 y2=11.52x,焦点坐标是(2.88,0) 练习: 1、2、3、 作业: 1、2、3、4、

14

抛物线的几何性质
知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性 质. 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力 过程与方法目标 复习与引入过程 1.抛物线的定义是什么? 请一同学回答.应为:“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨 迹叫做抛物线.” 2.抛物线的标准方程是什么? 再请一同学回答.应为:抛物线的标准方程是 y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0), x2=2py(p>0)和 x2=-2py(p>0). 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来 研究它的几何性质.《板书》抛物线的几何性质 (2)新课讲授过程 (i)抛物线的几何性质 通过和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点? 学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线 重合,抛物线没有中心. (3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. (4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其 结果是应规定抛物线的离心率为 1.注意:这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把 圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了 (ii)例题讲解与引申 .例题 3 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点 的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方

因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得 p=4. 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x. 又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=-8(-3).

解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意

在抛物线上且|MF|=5,故

15

例 4 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、 两点, B 且 A(x1,y1)、B(x2,y2)(图 2-34).

2

证明:

(1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为:

此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y1y2=-p2.

或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p2. 综合上述有 y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,

练习: 1、2、3、4、

作业:5、6

16

圆锥曲线与方程
王新敞
奎屯 新疆

复习小结

教学目的: 1 通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的 区别与联系 2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是解析几何的 基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、 化归的数学思想以 及“应用数学”的意识 3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质 教学难点:做好思路分析,引导学生找到解题的落足点 教学过程: 一、 复习引入 椭圆、双曲线:
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奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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新疆

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新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
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新疆

王新敞
奎屯

新疆

名 称









线

y

图 象
O

x

平 面 内 到 两 定 点 F1 , F2 的 距 离 的 _______ (________) 的动点的轨迹叫 椭圆 即 MF ? MF2 ? _____ 1
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奎屯 新疆

平 面 内 到 两 定 点 F1 , F2 的 距 离 的 ______________(___________)的动 点的轨迹叫双曲线 即_______________
王新敞
奎屯 新疆

定 义 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是_______, 当 2 a =2 c 时, 轨迹是____________ 当 2 a ﹤2 c 时,轨迹__________ 标准方 程 焦点在 x 轴上时: ____________ 焦点在 y 轴上时:_____________

当____________时,轨迹是双曲线 当____________时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在 焦点在 x 轴上时:______________ 焦点在 y 轴上时:_____________

a, b, c
的关 系 范 顶 坐 围 点 标

对称性 渐近线 离心率
17

抛物线:
y

图 形
l

F O

x

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)
p (0,? ) 2

x?

p 2
王新敞
奎屯 新疆

二、讲解范例: 例 1 根据下列条件,写出椭圆方程 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8; ⑵ 和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点,且经过点(2,-3); ⑶ 中心在原点,焦点在 x 轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较 近顶点的距离是 10- 5
王新敞
奎屯 新疆

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a2=b2+c2 及 已知条件确定 a2、b2 的值进而写出标准方程 解 ⑴ 焦点位置可在 x 轴上,也可在 y 轴上,
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奎屯 新疆

因此有两解:

x y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12

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奎屯

新疆

⑵ 焦点位置确定,且为(0, ? 5 ) ,设原方程为

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0),由已知条件 a2 b2

?a 2 ? b 2 ? 5 y2 x ? ? ?1 有? 9 ? a 2 ? 15, b 2 ? 10 ,故方程为 4 15 10 ? 2 ?1 ? 2 b ?a
⑶ 设椭圆方程为

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奎屯

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x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0) a2 b2
及 a2=b2+c2,解得 b= 5, a ? 10 ,

由题设条件有 ?

?b ? c ?a ? c ? 10 ? 5

故所求椭圆的方程是

x y2 ? ?1 10 5

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18

例 2 中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横 坐标为

1 ,求椭圆的方程 2

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奎屯

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分析:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点 坐标公式,求出中点的横坐标,再由 F1(0, 50 )知,c= 50 ,? a ? b ? 50 ,最
2 2

后解关于 a、b 的方程组即可

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奎屯

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x2 y2 解:设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
由 F1(0, 50 )得 a ? b ? 50
2 2

把直线方程 y ? 3x ? 2 代入椭圆方程整理得:

(a 2 ? 9b 2 ) x 2 ? 12b 2 x ? b 2 (4 ? a 2 ) ? 0
设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则由根与系数的关系得:

12b 2 x1 ? x 2 ? 2 , a ? 9b 2
又 AB 的中点横坐标为

x ? x2 1 6b 2 1 ? 2 ? ,? 1 2 2 2 2 a ? 9b

? a 2 ? 3b 2 ,与方程 a 2 ? b 2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b 2 ? 25
故所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 75 25

2 例 3 已知抛物线方程为 y ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且

被抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值. 解:设 l 与抛物线交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式 |AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 | 2
k

y

A

O

M B

x

则有 ( y1 ? y2 ) ? 9 . 2
2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p( x ? 1). ?

?

p

19

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ?
2

3 4

王新敞
奎屯

新疆

三、小结 : (1)直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种 (2)可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系 但有一解不一定是相 切,要根据斜率作进一步的判定 四、课后作业:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

五、板书设计(略)

王新敞
奎屯

新疆

六、课后记:采用数形结合、类比联想(椭圆) 、启发诱导的教学方法,注重思维能力的 培养和学生动手操作的能力的训练。

20


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