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【恒心】2015届江苏省通州高级中学等五校高三12月第一次联考数学试题及参考答案【纯word版】_图文

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江苏省通州高级中学等五校 2015 届高三第一次联合考试 数学试卷 参考学校: 江苏省通州高级中学; 江苏省镇江第一中学; 江苏省太仓高级中学; 江苏省建湖高级中学; 江苏省阜宁中学 数学Ⅰ 一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在答卷纸相应的位置上. 1. 若集合 A ? {x ?2 ? x ? 3}, B ? {x x ? ?1或x ? 4} ,则集合 A 2. 设 i 是虚数单位,复数 B? ▲ . 1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 的值为 ▲ . 2?i 1 3. 函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 的单调递减区间为 ▲ . 2 4. 直线 l 经过 A( 3,1), B(m2 , 2)(m ? R) 两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 ▲ . 5. 在 ?ABC 中, ?A ? 90 ,且 AB ? BC ? ?1 ,则边 AB 的长为 ▲ . 6. 已知 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 2 7 ,则 tan ? ? 13 2 ▲ . 7. 直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x ? y ? 1相交于 A, B 两点, 则“ k ? 1 ”是“ ?OAB 的面积为 1 ”的 ▲ 条件. 2 (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一) 8.设 x, y, z 是空间的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x ? z ,且 y ? z ,则 x // y ” 为真命题的是 ▲ . (填所正确条件的代号) ①x, y, z 为直线; ③x, y 为直线, z 为平面; 9. 已知 f ( x) ? ? ②x, y, z 为平面; ④x 为直线, y, z 为平面. ?cos?x, x ? 0 4 ,则 f ( ) 的值为 ▲ . 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0 10. 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 3, AA1 ? 2 ,则四面体 A1BC1D 的体积为 ▲ . 11. 在△ ABC 中,已知 AB ? 5 , BC ? 2 , ?B ? 2?A ,则边 AC 的长为 ▲ . 12. 不等式 a ? mb ? ?b(a ? b) 对于任意的 a, b ? R ,存在 ? ? R 成立, 2 2 则实数 m 的取值范围为 ▲ . 2 13. 函数 f ( x) ? mx 2 ? (2 ? m) x ? n(m ? 0) ,当 ?1 ? x ? 1 时, | f ( x) |? 1 恒成立,求 f ( ) ? ▲ . 3 14. 数列 ?an ? 、 ?bn ? 都是等比数列,当 n ? 3 时, bn ? an ? n ,若数列 ?an ? 唯一, 则 a1 = ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) ?? ?? ? ? 已知函数 f ? x ? =2 3 sin ? x ? ? ? cos ? x ? ? ? sin ? 2 x ? 3? ? . 4? 4? ? ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)若将 f ? x ? 的图像向左平移 ? 4 个单位,得到函数 g ? x ? 的图像, 求函数 g ? x ? 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 2 ? 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ⊥PB 交 PB 于点 F . (1)证明: PA ∥ 平面 EDB ; (2)证明: PB ⊥ 平面 EFD . P E F D A B C 17.(本小题满分 14 分) 某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力,决定优 化产业结构,调整出 x (x∈N ? )名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为 3x ? ? 10 ? a ? ? 万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%. 500 ? ? (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最 多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的 年总利润,则 a 的取值范围是多少? 18.(本小题满分 16 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为圆 H . (1)求圆 H 的方程; (2)若直线 l 过点 C ,且被圆 H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (3)对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N , 使得点 M 是线段 PN 的中点,求圆 C 的半径 r 的取值范围. 19.(本小题满分 16 分) 函数 f ( x) ? (mx ? 1)(ln x ? 1) . (1)若 m ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,求实数 m 的取值范围; (3)设点 P (m, 0) , A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 满足 ln x1 ? ln x2 ? ln( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 ) , 判断是否存在实数 m ,使得 ?APB 为直角?说明理由. 20.(本小题满分 16 分) 2 若数列 {an } 的各项均为正数, ?n ? N * , an ?1 ? an an ? 2 ? t , t 为常数,且 2a3 ? a2

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