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专题6函数的图像与性质

时间:2015-05-31

2001-2012 年福州中考数学试题分类解析汇编(12 专题) 专题 6:函数的图像与性质
选择题 1. (2001 年福建福州 4 分)二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示,下列结论: (1) c ? 0 其中正确的有【 A. 1 个 ( 2) b ? 0 】 C. 3 个 D. 4 个 (3) 4a ? 2b ? c ? 0 (4) (a ? c)2 ? b2

B. 2 个

【答案】 C。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】(1)∵图象与 y 轴交于 y 轴负半轴,则 c<0,正确。 (2)∵对称轴 x ? ?

b ? 1,开口向下,∴a<0,故 b>0,正确。 2a

(3)当 x=2 时,y<0,即 4a+2b+c>0,错误。 (4) (a ? c)2 ? b2 可化为(a-b+c)(a+b+c)<0, ∵当 x=1 时,a+b+c>0,当 x=-1 时,a-b+c<0,故 (a ? c)2 ? b2 正确。 故选 C。 2. (2002 年福建福州 4 分)如果反比例函数 y ? (A)

k 的图象经过点(-2,-1),那么 k 的值为【 x
(D)-2



1 2

(B)-

1 2

(C)2

【答案】 C。 【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,将(-2,-1)代入 y ? 故选 C。
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k k ,得 ?1 ? ,解得 k=2。 x ?2

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3. (2002 年福建福州 4 分)已知:二次函数 y=x +bx+c 与 x 轴相交于 A(x1 ,0)、B(x2 ,0)两点, 其顶点坐标为 P( ?
2

2

b 4c ? b 2 , ),AB=︱x1 -x2 ︱,若 S△APB =1,则 b 与 c 的关系式是【 4 2
(B)b -4c-1=0 (D)b -4c-4=0
2 2



(A)b -4c+1=0 (C)b -4c+4=0
2

4. (2003 年福建福州 4 分)反比例函数 y ? ?

4 的图象大致是【 x



(A) 【答案】 A。

(B)

(C)

(D)

【考点】反比例函数的图象。 【分析】根据反比例函数的图象性质并结合其比例系数 k 解答即可: ∵在反比例函数 y ? ?

4 中,-4<0,∴图象在二四象限。故选 A。 x


5. (2004 年福建福州 4 分)已知正比例函数 y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,则【 A、y 随 x 的增大而减小 B、y 随 x 的增大而增大
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C、当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小 D、无论 x 如何变化,y 不变

6. (2005 年福建福州课标卷 3 分)反比例函数 y= 反比例函数的图象上,则 n 等于【 A、10 【答案】 A。 【考点】曲线图上点的坐标与方程的关系。 B、5 C 、2 】 D、

k (k≠0)的图象经过点(2,5),若点(1,n)在 x

1 10

【分析】由题意得:k=xy,横纵坐标相乘得比例系数, ∵经过点(2,5),点(1,n),∴2×5=1×n,则 n=10。故选 A。 7. (2006 年福建福州大纲卷 3 分)如图是反比例函数 y ?

k 图象的一支,则 k 的取值范围是【 x



A.k>1 【答案】 C。

B.k<1

C.k<0

D.k>0

【考点】反比例函数的性质。 【分析】根据反比例函数 y ?

k 的性质:当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限;当 k<0 时,图象分 x

别位于第二、四象限。因此, ∵反比例函数 y ?

k 的图象的一支位于第二象限,∴k<0。故选 C。 x
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8. (2006 年福建福州课标卷 3 分)反比例函数 y ? A.-2 B.-1 C .0 D.1

n ?5 图象经过点(2,3),则 n 的值是【 x



2) , 10. (2007 年福建福州 3 分) 如图所示, 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点 (?1, 且与 x 轴
交点的横坐标分别为 x1,x 2 ,其中 ?2 ? x1 ? ?1 , 0 ? x 2 ? 1 ,下列结论:
2 ① 4a ? 2b ? c ? 0 ;② 2a ? b ? 0 ;③ a ? ?1 ;④ b ? 8a ? 4ac .

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其中正确的有【 A.1 个

】 B.2 个 C.3 个 D. 4 个

提示:抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是 x ? ?

? b 4ac ? b2 ? b ,顶点坐标是 ? ? , ? 2a 4a ? ? 2a

∵a<0,∴4ac-b <8a,即 b +8a>4ac。故④正确。 综上所述,正确的有 4 个。故选 D。 11. (2008 年福建福州 4 分)一次函数 y ? 2x ? 1 的图象大致是【
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2

2

】 5 / 29

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A.

B.

C.

D.

12.(2008 年福建福州 4 分) 已知抛物线 y ? x 2 ? x ? 1与 x 轴的一个交点为 (m, 0) , 则代数式 m2 ? m ? 2008 的值为【 A.2006 【答案】 D。 【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值,整体思想的应用。 【分析】∵抛物线 y ? x 2 ? x ? 1与 x 轴的一个交点为(m,0),∴ m 2 ? m ? 1=0 ,即 m2 ? m=1 。
2 ∴ m ? m ? 2008=1 ? 2008=2009 。故选 D。

】 B.2007 C.2008 D.2009

13. (2010 年福建福州 4 分)已知反比例函数 y ? 的图象在【 】

k (k≠0)的图象经过点(1,3) ,则此反比例函数 x
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A.第一、二象限

B.第一、三象限

C.第二、四象限

D.第三、四象限

14. (2010 年福建福州 4 分)已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则下列结论正确的是【
2



A.a>0 【答案】 D。

B.c<0

C.b2 -4ac<0

D.a+b+c>0

【考点】二次函数的性质和图象与系数的关系。 【分析】 A、由二次函数的图象开口向下可得 a<0,故选项错误; B、由抛物线与 y 轴交于 x 轴上方可得 c>0,故选项错误; C、由抛物线与 x 轴有两个交点可以看出方程 ax +bx+c=0 的根的判别式 b ﹣4ac>0,故选项错 误; D、把 x=1 代入 y=ax2 +bx+c 得:y=a+b+c,由函数图象可以看出 x=1 时二次函数的值为正,正 确。 故选 D。 15. (2011 年福建福州 4 分)如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是【 】
2 2

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A、 y ? x 2

B、 y ? 4 x

C、 y ? ? 3 x

D、 y ? 1 x 2

16. (2012 年福建福州 4 分)如图,过点 C(1,2)分别作 x 轴、y 轴的平行线,交直线 y=-x+6 于 A、 B k 两点,若反比例函数 y= (x>0)的图像与△ABC 有公共点,则 k 的取值范围是【 x 】

A.2≤k≤9 【答案】 A。

B.2≤k≤8

C.2≤k≤5

D.5≤k≤8

【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。 【分析】∵ 点 C(1,2),BC∥y 轴,AC∥x 轴, ∴ 当 x=1 时,y=-1+6=5;当 y=2 时,-x+6=2,解得 x=4。 ∴ 点 A、B 的坐标分别为 A(4,2),B(1,5)。 根据反比例函数系数的几何意义,当反比例函数与点 C 相交时,k=1×2=2 最小。 设与线段 AB 相交于点(x,-x+6)时 k 值最大, 则 k=x(-x+6)=-x2 +6x=-(x-3)2 +9。 ∵ 1≤x≤4,∴ 当 x=3 时,k 值最大,此时交点坐标为(3,3)。 因此,k 的取值范围是 2≤k≤9。故选 A。 二、填空题
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1. (2001 年福建福州 3 分)对于函数 y ? ?2x ? 1 , y 随 x 的增大而





3. (2004 年福建福州 3 分) 如果反比例函数图象过点 A (1, 2) , 那么这个反比例函数的图象在 限. 【答案】一、三。 【考点】待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数的性质。 ▲ 象

三 、解
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答题 1. (2001 年福建福州 12 分)如图,已知:正方形 OABC 的面积为 9,点 O 为坐标原点,点 A 在 x 轴上, 点 C 在 y 轴上, 点 B 在函数 y ?

k k (k ? 0, x ? 0) 的图象上,点 P(m, n) 是函数 y ? (k ? 0, x ? 0) 的图象上 x x

的任意一点,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 E、F 并设矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合部 分的面积为 S。 (1)求 B 点坐标和 k 的值; (2)当 S ?

9 时,求点 P 的坐标; 2

(3)写出 S 关于 m 的函数关系式。

【答案】解:(1)依题意,设 B 点坐标 (x0 , x0 ) ? x0 > 0? , ∵ S正方形OABC ? x02 ? 9 ,∴ x 0 =3 ,即 B(3,3)。 ∵点 B 在函数 y ?

k (k ? 0, x ? 0) 的图象上,∴ k=9 。 x

(2)如图(1 ),若点 P 在点 B 上方,设 PE 与 CB 相交于点 H。 ∵ P(m, n) 在 y ?

9 上, x

∴ S矩形OEPE ? mn ? 9,S矩形OEHC ? 3m 。 ∵矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合部分的面积 S ? ∴ S矩形OEPE ? S矩形OEHC ? 解得 m ? ,n ? 6 。

9 , 2

9 9 ,即 9 ? 3m ? 。 2 2

3 2

?3 ? 6? 。 ∴点 P 的坐标为 ? , ?2 ?
如图 ( 2) , 若点 P 在点 B 下方, 根据反比例函数的对称性,

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? 3? 知此时点 P 的坐标为 ? 6, ? 。 ? 2? ?3 ? ? 3? 6 ? 或 ? 6, ? 。 综上所述,点 P 的坐标为 ? , ?2 ? ? 2?
(3)如图(1),若点 P 在点 B 上方,此时 0 ? m ? 3 ,由(2)知 S ? 9 ? 3m(0 ? m ? 3) 。 如图(2),若点 P 在点 B 下方,此时 m ? 3 , 此时, S ? 9 ? 3n ? 9 ? 3 ?

9 27 ? 9 ? (m ? 3) 。 m m

?9 ? 3m(0 ? m ? 3) ? 综上所述,S 关于 m 的函数关系式为 S ? ? 。 27 9 ? (m ? 3) ? m ?

2. (2002 年福建福州 10 分)已知:二次函数 y=x +bx+c(b、c 为常数). (1)若二次函数的图象经过 A(-2,-3)和 B(2,5)两点,求此二次函数的解析式; (2)若(1)中的二次函数的图象过点 P(m+1,n +4n),且 m≠n,求 m+n 的值. 【答案】解:(1)把 A(-2,-3)和 B(2,5)两点代入 y=x +bx+c 得
2 ? 2 ? 2 b ? c ?b ? 2 ? ? ? ??3 ? ,解得 ? 。 ? 2 c ? ? 3 5 ? 2 ? 2 b ? c ? ? ?
2 2

2

∴所求二次函数的解析式为 y=x2 +2x-3。 (2)∵二次函数图象过点 P(m+1,n +4n),
2

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3. (2003 年福建福州 12 分) 已知:如图,二次函数 y ? 2x 2 ? 2 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点 C。直线 x = m(m >1)与 x 轴交于点 D. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)在直线 x = m(m > 1)上有一点 P (点 P 在第一象限),使得以 P、D、B 为顶点的三角形与以 B、C、 O 为顶点的三角形相似,求 P 点坐标(用含 m 的代数式表示); (3)在(2)成立的条件下,试问:抛物线 y ? 2x 2 ? 2 上是否存在一点 Q,使得四边形 ABPQ 为平行四边 形?如果存在这样的点 Q,请求出 m 的值;如果不存在,请简要说明理由。

【答案】解:(1)在 y ? 2x 2 ? 2 中令 y=0,得 2x2 -2=0,解得,x= ? 1。 ∴点 A 为(-1,0),点 B 为(1,0)。 在 y ? 2x 2 ? 2 中令 x=0,得 y=-2,∴点 C 为(0,-2)。 (2)①当△PDB∽△COB 时,有

PD BD 。 ? OC OB PD m ? 1 ∵BD=m-1,OC=2,OB=1,∴ 。∴PD=2m-2。 ? 2 1
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【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的性质,平行四边形的判定,分 类思想的应用。 【分析】(1)根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,分别令 y=0 和 x=0,即可求出 A、B、C 三点的 坐标。 (2)分△PDB∽△COB 和△PDB∽△BOC 两种情况讨论即可。
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(3)分点 P1 为(m,2m-2)和点 P2 为(m,

m ?1 )两种情况讨论即可。 2

4. (2004 年福建福州 10 分)如图所示,L 1 和 L 2 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用 y(元)与 照明时间 x(小时)的函数关系图象,假设两种灯的使用寿命都是 2000 小时,照明效果一样.(费用= 灯的售价+电费) (1)根据图象分别求出 L 1 ,L 2 的函数关系式; (2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等? (3)小亮房间计划照明 2500 小时,他买了一个白炽灯和一个节能灯,请你帮他设计最省钱的用灯方法.

5. (2004 年福建福州 13 分)如图所示,抛物线 y ? ? ? x ? m? 的顶点为 A,直线 l: y= 3x ? 3m 与 y 轴
2

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的交点为 B,其中 m>0. (1)写出抛物线对称轴及顶点 A 的坐标;(用含有 m 的代数式表示) (2)证明点 A 在直线 l 上,并求∠OAB 的度数; (3)动点 Q 在抛物线的对称轴上,在对称轴左侧的抛物线上是否存在点 P,使以 P、Q、A 为顶点的三角 形与△OAB 全等?若存在,求出 m 的值,并写出所有符合上述条件的 P 点坐标;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)对称轴为直线 x=m,顶点 A(m,0)。 (2)把 x=m 代入函数 y= 3x ? 3m ,得 y= 3m ? 3m =0, ∴点 A(m,0)在直线 l 上。 当 x=0 时,y=﹣ 3 m,∴B(0, ? 3 m),tan∠OAB= 3 。∴∠OAB=60°。 (3)①当∠AQP=90°,∠QAP=60°,AQ=OA=m,PQ=OB= 3 m, ∴P 点坐标为( m ? 3m ,-m)或( m+ 3m ,-m)。

1 3 1? 3 1+ 3 1 1 ∴P 点的坐标为( ,- )或( ,- )。 3 3 3 3
将 P 点的坐标代入抛物线的解析式可得 m= , ②当∠AQP=90°,∠QPA=60°,此时有一点 P 与 B 重合, ∴P 点坐标为(0, ? 3 m)或(2m, ? 3 m)。 将 P 点的坐标代入抛物线解析式得 m= 3 , ∴P 点的坐标为(0,-3)或( 2 3 ,-3)。 ③当∠APQ=90°,∠QAP=60°,PA=m,过 P 作 PC⊥AQ 于 C, 那么 PC=AP?sin60°=

3 1 m,AC= m, 2 2 3 1 3 1 m, ? m) m, ? m) 或 ( m+ 。 2 2 2 2
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∴P 点的坐标为 (m?

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2 , 3 2? 3 1 2+ 3 1 ∴P 点的坐标为( , ? )或( , ? )。 3 3 3 3
将 P 点的坐标代入抛物线解析式得 m= ④当∠APQ=90°, ∠AQP=60°, PA=OB= 3 m, 过 P 作 PD⊥AQ 与 D,那么 PD=AP?sin30°=

3 3 m,AD= m, 2 2 3 3 3 3 或 ( m+ 。 m, ? m) m, ? m) 2 2 2 2

∴P 点的坐标为 (m?

将 P 点的坐标代入抛物线解析式得 m=2,

, ? 3 )或( 2+ 3, ? 3 )。 ∴P 点的坐标为( 2 ? 3
1? 3 1+ 3 1 1 ,- )或( ,- );当 m= 3 时, 3 3 3 3 2? 3 1 2+ 3 1 2 P 点的坐标为(0,-3)或( 2 3 ,-3);当 m= 时,P 点的坐标为( , ? )或( , ? ); 3 3 3 3 3
综上所述,当 m= 时,P 点的坐标为(

1 3

, ? 3 )或( 2+ 3, ? 3 )。 当 m=2 时,P 点的坐标为( 2 ? 3

6. ( 2005 年福建福州大纲卷 12 分)百舸竞渡,激情飞扬.端午节期间,某地举行龙舟比赛.甲、乙两 支龙舟队在比赛时路程 y(米)与时间 x(分钟)之间的函数图象如图所示.根据图象回答下列问题: (1)1.8 分钟时,哪支龙舟队处于领先位置? (2)在这次龙舟赛中,哪支龙舟队先到达终点?先到达多少时间? (3)求乙队加速后,路程 y(米)与时间 x(分钟)之间的函数关系式.

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7. (2005 年福建福州大纲卷 13 分)已知:抛物线 y=x2 ﹣2x﹣m(m>0)与 y 轴交于点 C,C 点关于抛物 线对称轴的对称点为 C′点. (1)求 C 点,C′点的坐标(可用含 m 的代数式表示); (2)如果点 Q 在抛物线的对称轴上,点 P 在抛物线上,以点 C,C′,P,Q 为顶点的四边形是平行四边 形,求 Q 点和 P 点的坐标(可用含 m 的代数式表示); (3)在(2)的条件下,求出平行四边形的周长.

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8. (2005 年福建福州课标卷 13 分)已知:抛物线 y=x2 ﹣2x﹣m(m>0)与 y 轴交于点 C,C 点关于抛物 线对称轴的对称点为 C′点. (1)求 C 点,C′点的坐标(可用含 m 的代数式表示); (2)如果点 Q 在抛物线的对称轴上,点 P 在抛物线上,以点 C,C′,P,Q 为顶点的四边形是平行四边 形,求 Q 点和 P 点的坐标(可用含 m 的代数式表示); (3)在(2)的条件下,求出平行四边形的周长.

【答案】解:(1)∵ y ? x 2 ? 2x ? m= ? x ?1? ?1 ? m
2

∴所求对称轴为直线 x=1。 在 y ? x 2 ? 2x ? m 中,令 x=0,得 y=-m 。∴C(0,-m)
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∵C 、C′关于 x=1 对称,∴C′(2,-m)。 (2)如图所示, ①当 P′Q∥CC′且 P′Q=2 时,P′横坐标为 3,代 入二次函数解析式求得 P′(3,3﹣m)。 ②当 P′Q∥CC′且 PQ=2 时, P 横坐标为﹣1,代入 二次函数解析式求得 P(﹣1,3﹣m)。 ③因为 CC′⊥Q'P″,当 Q′F=P″F,CF=C'F 时, P″为二次函数顶点坐标,为(1,﹣1﹣m), 由于 P″和 Q′关于直线 CC′对称,所以 Q′纵坐标为 2(﹣m)+1+m=﹣m+1, 得 Q′(1,1﹣m)。 所以满足条件的 P、Q 坐标为 P(﹣1,3﹣m),Q(1,3﹣m);P′(3,3﹣m),Q (1,3﹣m);P″(1,﹣1﹣m),Q′(1,1﹣m)。 (3)①∵Q 点纵坐标为 3﹣m,C 点纵坐标为﹣m,∴CW=3﹣m+m=3, 又∵WQ=1,∴CQ= 12 +32 = 10 。 又∵CC′=2,∴平行四边形 CC′P′Q 周长为(2+ 10 )×2=4+2 10 。 ②同理,平行四边形 CC′QP 周长也为 4+2 10 。 ③∵CF=

1 1 ,FQ= [1-m-(-1-m)]=1,CQ′= 12 +12 = 2 。 2 2

∴平行四边形 CC′P′Q 周长为 4 2 。 ∴所求平行四边形周长为 4+2 10 或 4 2 。

9. (2006 年福建福州大纲卷 13 分)对于任意两个二次函数: y1 =a1 x2 +b1 x+c1 ,y2 =a2 x2 +b2 x+c2 , (a1 a2 ≠0) ,
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当|a1 |=|a2 |时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线 .现有△ABM, A(-1,0) ,B(1,0) ,记过 三点的二次函数抛物线为“C□□□ ”(“□□□”中填写相应三个点的字母) (1)若已知 M(0,1), △ABM≌ △ ABN(图 1),请通过计算判断 CABM 与 CABN 是否为全等抛物线; (2)在图 2 中,以 A、B、M 三点为顶点,画出平行四边形. ① 若已知 M(0,n) ,求抛物线 CABM 的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与 CABM 全等的 抛物线解析式. ② 若已知 M(m ,n) ,当 m、n 满足什么条件时,存在抛物线 CABM ?根据以上的探究结果,判断是否存在过 平行四边形中三个顶点且能与 CABM 全等的抛物线.若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□ ”;若不存 在,请说明理由.

【答案】解:(1)设抛物线 CABM 的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? c , ∵抛物线 CABM 过点 A(-1,0),B(1,0),M(0,1),

?0 ? a ? b ? c ? a ? ?1 ? ? ∴ ?0 ? a ? b ? c ,解得 ? b ? 0 。 ?1 ? c ?c ? 1 ? ?
∴抛物线 CABM 的解析式为 y ? ?x 2 ? 1 。 同理可得抛物线 CABN 的解析式为 y ? x 2 ? 1 。 ∵|-1|=|1|,∴CABM 与 CABN 是全等抛物线。 (2)①设抛物线 CABM 的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? c , ∵抛物线 CABM 过点 A (-1,0) ,B(1,0),M(0,n),

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10. (2006 年福建福州大纲卷 13 分) 对于任意两个二次函数: y1 =a1 x2 +b1 x+c1 ,y2 =a2 x2 +b2 x+c2 , (a1 a2 ≠0) , 当|a1 |=|a2 |时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线 .现有△ABM, A(-1,0) ,B(1,0) ,记过 三点的二次函数抛物线为“C□□□ ”(“□□□”中填写相应三个点的字母) (1)若已知 M(0,1), △ABM≌ △ ABN(图 1),请通过计算判断 CABM 与 CABN 是否为全等抛物线; (2)在图 2 中,以 A、B、M 三点为顶点,画出平行四边形. ① 若已知 M(0,n) ,求抛物线 CABM 的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与 CABM 全等的 抛物线解析式. ② 若已知 M(m ,n) ,当 m、n 满足什么条件时,存在抛物线 CABM ?根据以上的探究结果,判断是否存在过 平行四边形中三个顶点且能与 CABM 全等的抛物线.若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□ ”;若不存 在,请说明理由.

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【答案】解:(1)设抛物线 CABM 的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? c , ∵抛物线 CABM 过点 A(-1,0),B(1,0),M(0,1),

?0 ? a ? b ? c ? a ? ?1 ? ? ∴ ?0 ? a ? b ? c ,解得 ? b ? 0 。 ?1 ? c ?c ? 1 ? ?
∴抛物线 CABM 的解析式为 y ? ?x 2 ? 1 。 同理可得抛物线 CABN 的解析式为 y ? x 2 ? 1 。 ∵|-1|=|1|,∴CABM 与 CABN 是全等抛物线。 (2)①设抛物线 CABM 的解析式为 y ? ax 2 ? bx ? c , ∵抛物线 CABM 过点 A(-1,0),B(1,0),M(0, n),

?0 ? a ? b ? c ?a ? ? n ? ? ∴ ?0 ? a ? b ? c ,解得 ?b ? 0 。 ?n ? c ?c ? n ? ?
∴抛物线 CABM 的解析式为 y ? ?nx 2 ? n 。 ∴与 CABM 全等的抛物线有:

y ? nx2 ? n,y ? n ? x ?1? ,y ? n ? x ? 1? 。
2 2

②当 n≠0 且 m≠±1 时, 存在抛物线 CABM , 与 CABM 全等的抛 物线有:CABN ,CAME ,CBMF 。 【考点】新定义,二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程 的关系,平行四边形的性质。 【分析】(1)应该是全等抛物线,由于这两个抛物线虽然开口方向不同,但是开口大小一样,因此二
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次项的绝对值也应该相等.可用待定系数法求出两抛物线的解析式,然后进行判断即可。 (2)与(1)相同都是通过构建平行四边形来得出与△ABM 全等的三角形,那么过与△ABM 全等 的三角形的三个顶点的抛物线都是与 CABM 全等的抛物线。 11. (2007 年福建福州 10 分)李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查.了解到商店为了激励营业员 的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息: 营业员 月销售件数(件) 月总收入(元) 小俐 200 1400 小花 150 1250

假设月销售件数为 x 件,月总收入为 y 元,销售每件奖励 a 元,营业员月基本工资为 b 元. (1)求 a , b 的值; (2)若营业员小俐某月总收入不低于 1800 元,那么小俐当月至少要卖服装多少件?

12. (2007 年福建福州 14 分)如图,已知直线 y ? 横坐标为 4. (1)求 k 的值;

k 1 x 与双曲线 y ? (k ? 0) 交于 A,B 两点,且点 A 的 x 2

k (k ? 0) 上一点 C 的纵坐标为 8,求 △AOC 的面积; x k (3)过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y ? (k ? 0) 于 P,Q 两点(P 点在第一象限),若由点 A,B,P, x
(2)若双曲线 y ? Q 为顶点组成的四边形面积为 24,求点 P 的坐标.

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(3)∵ 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形,∴OP=OQ,OA=OB。 ∴四边形 APBQ 是平行四边形。∴ S?POA ? S平行四边形APBQ ? ? 24 ? 6 。

1 4

1 4

8? ? 设点 P 的横坐标为 m ( m > 0 且 m ? 4) , 则 P ? m, ? 。 m? ?
过点 P、A 分别做 x 轴的垂线,垂足为 E、F, ∵点 P、A 在双曲线上,∴ S?POE ? S?AOF ? 4 。 若 0< m <4,如图, ∵ S?POE ? S梯形PEFA ? S?POA ? S?AOF , ∴ S梯形PEFA ? S?POA ? 6 。 ∴ (2 ?

1 2

8 ) ? (4 ? m) ? 6 ,解得 m = 2, m = - 8(舍去) 。 m
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13. (2010 年福建福州 14 分)如图 1,在平面直角坐标系中,点 B 在直线 y=2x 上,过点 B 作 x 轴的垂 线,垂足为 A,OA=5.若抛物线 y= x 2 +bx+c 过点 O、A 两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)若 A 点关于直线 y=2x 的对称点为 C,判断点 C 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)如图 2,在(2)的条件下,⊙O1 是以 BC 为直径的圆.过原点 O 作 O1 的切线 OP,P 为切点(P 与点 C 不重合) ,抛物线上是否存在点 Q,使得以 PQ 为直径的圆与 O1 相切?若存在,求出点 Q 的横坐标;若 不存在,请说明理由.

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又∵AB⊥x 轴,由勾股定理得 OB=5 5 。 ∵SRt△OAB =

1 1 AE?OB= OA?AB,∴AE=2 5 。∴AC=4 5 。 2 2 CD AD AC 。 ? ? OA AB OB

∵∠OBA+∠CAB=90°,∠CAD+∠CAB=90°,∴∠CAD=∠OBA。 又∵∠CDA=∠OAB=90°,∴△CDA∽△OAB。∴ ∴CD=4,AD=8。∴C(-3,4) 。

1 5 ? ?3?2 ? ? ?3? ? 4 。 6 6 1 5 ∴点 C 在抛物线 y= x 2 ? x 上。 6 6
当 x=-3 时, y= (3)抛物线上存在点 Q,使得以 PQ 为直径的圆与⊙O1 相切。 过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F,连接 O1 P,过点 O1 作 O1 H⊥x 轴于点 H。
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∴CD∥O1 H∥BA。∴C(-3,4) ,B(5,10) 。 ∵O1 是 BC 的中点,∴由平行线分线段成比例定理得 AH=DH= ∴OH=OA﹣AH=1。 同理可得 O1 H=7。∴点 O1 的坐标为(1,7) 。 ∵BC⊥OC,∴OC 为⊙O1 的切线。 又∵OP 为⊙O1 的切线,∴OC=OP=O1 C=O1 P=5。 ∴四边形 OPO1 C 为正方形。∴∠POF=∠OCD。 又∵∠PFO=∠ODC=90°,∴△POF≌△OCD(AAS) 。 ∴OF=CD,PF=OD。∴P(4,3) 。 设直线 O1 P 的解析式为 y=kx+b(k≠0) , 把 O1 (1,7) 、P(4,3)分别代入 y=kx+b,

1 AD=4。 2

4 ? k= ? ? ?k+b=7 ? 3 得? ,解得 ? 。 ?4k+b=3 ?b= 25 ? 3 ?
∴直线 O1 P 的解析式为 y= ? x+

4 3

25 。 3

若以 PQ 为直径的圆与⊙O1 相切,则点 Q 为直线 O1P 与抛物线的交点,可设点 Q 的坐

4 25 ? n= ? m+ ? ? 3 3 标为(m,n) ,则有 ? 。 1 5 ?n= m2 ? m ? 6 ? 6
?3 ? 209 25 1 2 5 2 。 = m ? m ,整理得 m +3m-50=0,解得 m= 2 3 6 6 ?3+ 209 ?3 ? 209 ∴点 Q 的横坐标为 或 。 2 2
∴ ? m+

4 3

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中,根据直角三角形面积的不同表示方法,可求出 CE 的长,进而可得到 AC 的长;过 C 作

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