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向量的加法及其几何意义(赛课)

时间:2012-12-26


§2.2.1
教学目标:

向量的加法运算及其几何意义

1、 掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解 决问题的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 学法: 数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移 的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法,让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学过程: 一、复习回顾: 复习:向量的定义以及有关概念 二、创设情境,直观感知

1、思考: (1)思考 1:某人从 A 地向正东方向行走 2km 到 B 地,再由 B 地向正北方向 行走 3km 到 C 地,则这人两次行走的路程和位移各是多少? (2)思考 1:某对象从 A 地经 B 地到 C 地,两次位移 AB , BC 的结果,与 A 地直接到 C 地的位移 AC 的关系如何? (3) 思考 2:图 1 表示橡皮条在两个力的作用下, 沿着水平方向伸长了 EO。 图 2 表示橡皮条在一个力的作用下,沿着水平方向伸长了 EO。两图进行比较 F 与 F1,F2 之间的关系如何?
2、情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC C A B A B C

(2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC 三、归纳探索,形成概念: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定:a + 0-= 0 + a A B C

a

C a A + a b

a b a+b
b B

a b a+b



探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b |<| a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、b 同向, 且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时,若 | a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且

O b a b

a

A b a

| a + b |=| a |-| b |;若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. 尝试练习:填空 (1) BC ? CD ?

B

(2) AB

? BC ? CD

?

(4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到

n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a AB ? b ,则 OB ? a ? b . 课堂练习: 如图:已知 a 、 b ,用向量加法的三角形法则作出 a + b 。

4.平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,连对角。 课堂练习: 如图:已知 a 、 b ,用向量加法的平行四边形法则作出 a + b 。

四、类比猜想,探究性质 1、问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同?验证结果相同 从而得到:向量加法的交换律: a + b = b + a 2、向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD , a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 尝试练习:

(1 )AB ? BC

?

( 2 )AC ? CA ? ( 3 )AB ? BC ? CA ?

化简下列各式:
( 1 )PB ? OP ? OB ( 2 )( AB ? MB ) ? BO ? OM

例 2、长江两岸没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。如图,一艘船从长江南岸 A 点出发,以 5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h. (1) 字) ; (2) 度) 。 四、归纳小结,布置作业 1、向量加法的定义; 2、向量加法的两种法则; 3、向量加法的运算律。 作业: 求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到 试用向量表示江水的速度,船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数

书面作业:阅读教材第 80 页至第 83 页 课本第 91 页习题 2.2 A 组第 1、2、3 题


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