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2016-2017学年安徽合肥一中高一上学期月考一数学试卷

时间:2017-04-11


2016-2017 学年安徽合肥一中高一上学期月考一数学试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1. 设集合 A ? ? 1,2,3?, B ? ?4,5?, M ? x x ? a ? b, a ? A, b ? B ,则 M 中的元素个数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) A. y1 ?

?

?

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 x?3

B. f ( x) ? x, g ( x) ?

x2

C. f ( x) ? 3 x 4 ? x 3 , F ( x) ? x3 x ? 1 D. f1 ( x) ? 2x ? 5 , f 2 ( x) ? 2x ? 5 3.在映射 f : A ? B 中, A ? B ? ( x, y) x, y ? R ,且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,则 与 A 中的元素 (?1,2) 对应的 B 中的元素为( ) A. (?3,1) C. (?1,?3) B. (1,3) D. (3,1) )

?

?

4.下图中函数图象所表示的解析式为(

3 x ? 1 (0 ? x ? 2) 2 3 C. y ? ? x ? 1 (0 ? x ? 2) 2
A. y ? 5.设函数 f ( x) ? ?

B. y ?

3 3 ? x ? 1 (0 ? x ? 2) 2 2

D. y ? 1 ? x ?1(0 ? x ? 2)

x ? 3, x ? 10, 则 f (6) 的值为( ) ? f ( f ( x ? 5)), x ? 10, ?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“合一函

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数” ,那么函数解析式为 y ? 2 x ? 1 ,值域为 ? 1,7? 的“合一函数”共有( )
2

A. 10 个 7.函数 f ( x ) ?

B. 9 个

C. 8 个

D. 4 个

2x ?1 ,则 y ? f [ f ( x)] 的定义域是( ) 3? x

A. x x ? R, x ? ?3

?

?
1? ? 2?

B. ? x x ? R, x ? ?3且x ? ? ?

? ?

5? 8? 8? 5?


C. ? x x ? R, x ? ?3且x ?

? ?

D. ? x x ? R, x ? ?3且x ? ? ?

? ?

a?b ? 8. 定义两种运算:
A.奇函数 C.既奇又偶函数

a 2 ? b 2 , a ? b ? ( a ? b) 2 , 则 f ( x) ?

2? x 是 ( 2 ? ( x ? 2)

B.偶函数 D.非奇非偶函数

9 . 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? (??,0](x1 ? x2 ) , 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 2 f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集是( ) ? 0 ,且 f (2) ? 0 ,则不等式 5x x2 ? x1
A. (??,?2) ? (2,??) C. (?2,0) ? (2,??)
2

B. (?2,0) ? (0,2) D. (??,?2) ? (0,2) )

10. 若函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3) , 且对实数 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a , 则 ( A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定

11 .函数 f ( x) 对任意正整数 m, n 满足条件 f (m ? n) ? f (m) f (n) ,且 f (1) ? 2 ,则

f (2) f (4) f (6) f (2016 ) ? ? ? ??? ? ?( f (1) f (3) f (5) f (2015 )
A. 4032 B. 1008 C. 2016



D. 2

1008

12.在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1,2] 上的 减函数,则 f ( x) ( )

A.在区间 [ ?2,?1] 上是增函数,在区间 [3,4] 上是增函数 B.在区间 [ ?2,?1] 上是减函数,在区间 [3,4] 上是减函数 C.在区间 [ ?2,?1] 上是减函数,在区间 [3,4] 上是增函数
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D.在区间 [ ?2,?1] 上是增函数,在区间 [3,4] 上是减函数

13.函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x 的值域是______. 14.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x ?1 ,若 f (?2) ? 2 ,求 f (2) ? ______.
3

15.若函数 y ?

x?7 的定义域为 R ,则 k ? ______. kx ? 4kx ? 3
2

16.已知函数 f ( x) ? ? ______.

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?4 x ? x , x ? 0
2

,若 f (2 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是
2

17.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 3x ? 18 ? 0 , B ? ? x (1)求 (CU B) ? A ;

?

?

? x?5 ? ? 0? . ? x ? 14 ?

(2)若集合 C ? x 2a ? x ? a ?1 ,且 B ? C ? B ,求实数 a 的取值范围. 18.在 1 到 200 这 200 个整数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的 整数共有多少个?并说明理由. 19.合肥市“网约车”的现行计价标准是:路程在 2km 以内(含 2km )按起步价 8 元 收取,超过 2km 后的路程按 1.9 元/ km 收取,但超过 10 km 后的路程需加收 50 % 的返 空费(即单价为 1.9 ? (1 ? 50%) ? 2.85 元/ km ). (1) 将某乘客搭乘一次 “网约车” 的费用 f ( x)(单位: 元) 表示为行程 x(0 ? x ? 60 , 单位: km )的分段函数; (2)某乘客的行程为 16 km ,他准备先乘一辆“网约车”行驶 8km 后,再换乘另一辆 “网约车”完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更 省钱?请说明理由. 20.已知

?

?

1 ? a ? 1 ,若函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 1 在区间 [1,3] 上的最大值为 M (a) ,最 3

小值为 N ( a ) ,令 g (a) ? M (a) ? N (a) . (1)求 g (a ) 的函数表达式; (2)判断并证明函数 g (a ) 在区间 [ ,1] 上的单调性,并求出 g (a ) 的最小值. 21.对于定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,若存在闭区间 [a, b] ? D 和常数 c ,使得对任 意 x1 ?[a, b] , 都有 f ( x1 ) ? c , 且对任意 x2 ? D , 当 x2 ?[a, b] 时, f ( x2 ) ? c 恒成立, 则称函数 f ( x) 为区间 D 上的“平底型”函数.
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1 3

(1)判断函数 f1 ( x) ? x ?1 ? x ? 2 和 f 2 ( x) ? x ? x ? 2 是否为 R 上的“平底型”函 数? (2)若函数 g ( x) ? mx ? 的值. 22 . 定 义 在 (?1,1) 的 函 数 f ( x) 满 足 : ① 对 任 意 x, y ? (?1,1) 都 有

x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数,求 m 和 n

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ;②当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .回答下列问题: 1 ? xy
(1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性,并说明理由; (3)若 f ( ) ?

1 5

1 1 1 1 ,试求 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 的值. 2 2 11 19

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:由题意可知, M ? ?5,6,7,8? ,所以 M 中的元素个数为 4 ,故选 B. 考点:集合的表示. 2.C 【解析】 试题分析:对于 A,两个函数的定义域不同,所以不是同一函数;对于 B,两个函数的值域不 同,不是同一函数;对于 C,两个函数的定义域、值域、对应法则完全相同,是同一函数, 符合题意;对于 D,两个函数的值域不同,不是同一函数;故选 C. 考点:函数的三要素. 3.A 【解析】 试题分析: x ? y ? ?1 ? 2 ? ?3, x ? y ? ?1 ? 2 ? 1 ,所以与 A 中的元素 (?1,2) 对应的 B 中的 元素为 (?3,1) ,故选 A. 考点:映射. 4.B 【解析】 试题分析:由图可知,当 x ? 1 时, y ? 选 B. 考点:函数表示与函数的图象. 5.D 【解析】 试题分析: f (6) ? f ( f (6 ? 5)) ? f (11) ? 11 ? 3 ? 8 ,故选 D. 考点:1.分段函数的表示;2.求函数值. 6.B 【解析】 试题分析:由 2 x ? 1 ? 1 得, x ? ?1 ,由 2 x ?1 ?7 ,得 x ? ?2 2 ,所以使值域为 ?1,7? 的
2 2

3 ,可排除 A、D,当 x ? 0 时, y ? 0 ,排除 C,故 2



















??1


? ,??

? 2?

? 2

??

? ?,

?

1

??

,

2 ?

??

1

2 ? ,

?

,

2

??1,1, 2 2? , ??1,1, ?2

2, 2 2 ,共 9 种可能性,故选 B.

?

考点:1.新定义问题;2.函数的定义域与值域. 7.D 【解析】

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2(2 x ? 1) ?1 2 f ( x) ? 1 试 题 分 析 : y ? f [ f ( x)] ? ,由 ? 3? x 2x ?1 3 ? f ( x) 3? 3? x 8 x ? ? ,故选 C. 5
考点:函数的定义域. 8.A 【解析】 试题分析:f ( x) ?

?3 ? x ? 0 ? 得 x ? ?3 且 ? 2x ?1 3? ?0 ? 3? x ?

2? x 4 ? x2 4 ? x2 2 ?2 ? x ? 2 , ? ? ,由 4 ? x ? 0 得, 2 ? ( x ? 2) 2 ? (2 ? x) 2 2 ? 2 ? x
4 ? x2 4 ? x2 ? , 其 定 义 域 为 [?2, 0) ? (0, 2] , 2 ? ?2 ? x? x

所 以 2 ? x ? 0 , 所 以 f ( x) ?

f (? x) ? ? f ( x) ,是奇函数,故选 A.
考点:1.新定义问题;2.函数的表示;3.函数的奇偶性. 【名师点睛】本题考查新定义下函数的表示与奇偶性问题,属中档题;对于新定义问题,要 认真阅读题目,正确理解新定义的含义,根据题意将问题进行适当转化,转化为熟悉的问题 求解,旨在考查学生的学习新知的能力与转化能力、运算求解能力. 9.D 【解析】 试题分析:对任意的 x1 , x2 ? (??,0](x1 ? x2 ) ,有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 等价于函数 f ( x) 在区 x2 ? x1

间 (??, 0] 上为减函数,又 f ( x ) 为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) ,函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 是为增函数,且 f (2) ? f (?2) ? 0 ,所以

2 f ( x) ? f (? x) f ( x) ?0? ? 0 ,当 x ? 0 时, 5x x f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 , ? 0 ? f ( x) ? 0 , 此时不等式的解集为 (??, ?2) , 当 x ? 0 时, x x

此时不等式的解集为 (0, 2) ,所以原不等式的解集为 (??,?2) ? (0,2) ,故选 D. 考点:1.函数的单调性;2.函数的奇偶性;3.函数与不等式. 10.A 【解析】 试题分析: 函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4 对称轴为 x ? ?1 , 又0 ? a ? 3, 所以 ?1 ?
2

1? a ? 0, 2

即 ?1 ?

x1 ? x2 ? 0 ,这说明 x1 到对称轴的距离比 x2 到对称轴的距离小,且抛物线的开口向 2

上,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故选 A. 考点:二次函数的性质.
答案第 2 页,总 9 页

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11.C 【解析】 试题分析: 因为函数 f ( x) 对任意正整数 m, n 满足条件 f (m ? n) ? f (m) f (n) , 令 n ? 1 有,

f (m ? 1) ? f (m) f (1) ,所以

f (m ? 1) ? f (1) ? 2 , f ( m)

所以

f (2) f (4) f (6) f (2016) ? ? ? ??? ? ? 1008 ? 2 ? 2016 ,故选 C. f (1) f (3) f (5) f (2015)

考点:抽象函数的应用. 【名师点睛】本题考查抽象函数的应用,属中档题;我们把没有给出具体解析式的函数称为 抽象函数, 由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解, 同时抽象函数又将函 数数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身,所参高考中不断出现. 12.D 【解析】 试题分析:由 f ( x) 在区间 [1,2] 上的减函数,由偶函数性质可知,函数在区间 [?2, ?1] 上是 增函数,由 f ( x) ? f (2 ? x) 知,函数和图象关于直线 x ? 1 对称,所以函数在区间 [0,1] 上 是增函数,在区间 [3,4] 上是减函数,故选 D. 考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性;3.函数图象的对称性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象的对称性,属中档题;判断 函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对称;在关于原点对称的条件下,再化简 解析式,根据 f (? x) 与 f ( x ) 的关系作出判断. 13. [0, 2] 【解析】 试题分析:函数的定义域为 [0, 4] ,当 x ? [0, 4] , ? x ? 4 x ?[0, 4] , ? x2 ? 4 x ?[0, 2] ,
2

所以 y ? 2 ? ? x2 ? 4 x ?[0, 2] ,所以应填 [0, 2] . 考点:函数的定义域. 14. 0 【解析】 试 题 分 析 : f (?2) ? f (2) ? a(?2) ? b(?2) ? ?2 ?1? a ? 2 ? 2b ? 2 ?1 ? 2 , 所 以
3 3

f( 2? ) ?2f ? ( ? 2 . )
3 4

0

考点:1.函数的表示;2.函数的奇偶性. 15. [0, )

答案第 3 页,总 9 页

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【解析】
2 试题分析:因为函数的定义域为 R ,所以关于 x 方程 kx ? 4kx ? 3 ? 0 无解,当 k ? 0 时, 2 方 程 无 解 , 符 合 题 意 ; 当 k ? 0 时 , 方 程 k x? 4

k?x 3 ?0 无 解

? ? 4k ?

2

?4 ? k

? 3

2

? 1k 6

3 3 ?k 1 2 ? 0 ?k 0? k? ?[0, ] . ,综上 4 4

考点:1.函数的定义域;2.函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数的定义域、函数与方程;属中档题;求函数的定义域,其实就是 以函数的解析式所含运算有意义为原则(如分母上有未知数的,分母不为 0 ,对数的真数大 于 0 ,涉及开方问题时,当开偶次方时,被开方数非负等) ,列出不等式或不等式组,然后 求出它们的解集即可. 16. (?2,1) 【解析】

? x 2 ? 4 x, x ? 0 试题分析:在直角坐标系内作出函数 f ( x) ? ? 的图象(如下图所示) ,由图象 2 ?4 x ? x , x ? 0
可 知 函 数 在

R

















f (2 ? a2 ) ? f (a) ? 2 ? a2 ? a ? a2 ? a ? 2 ? 0 ? ?2 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是
(?2,1) .

考点:1.二次函数;2.函数的单调性. 【名师点睛】本题考查二次函数、函数的单调性,属中档题;高考对二次函数图象与性质进 行单独考查的频率较低,多以选择真空题形式出现,主要的命题角度有:1.二次函数图象识 别问题;2.二次函数的最值问题;3.二次函数图象与其他图象公共点问题. 17. (1) x x ? 14或x ? ?5 ; (2) a ? ? 【解析】 试题分析: (1)分别化简集合 A 与 B 得 A ? x x ? 6或x ? ?3 , B ? x ? 5 ? x ? 14 ,求出集

?

?

5 . 2

?

?

?

?

答案第 4 页,总 9 页

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合 B 的补集,再求 (CU B) ? A 即可; (2) B ? C ? B ? C ? B ,分 C ? ? 与 C ? ? 讨论 求解即可. 试题解析: (1)∵ A ? x x ? 6或x ? ?3 , B ? x ? 5 ? x ? 14 , ∴ (CU B) ? A ? x x ? 14或x ? ?5 . (2) B ? C ? B ,则 C ? B . 当 C ? ? 时, 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ;

?

?

?

?

?

?

? ?2a ? a ? 1, ? a ? 1, 5 ? ? 当 C ? ? 时, ? a ? 1 ? 14, ? ? a ? 13, ? ? ? a ? 1 , 2 5 ? 2a ? ?5 ? a ? ? ? ? 2 ? 5 综上 a ? ? . 2
考点:1.不等式的解法;2.集合间的关系与集合的运算. 【名师点睛】本题考查不等式的解法、集合间的关系与集合的运算,属容易题;集合问题常 见类型及解题策略:1.离散型数集或抽象集合间的运算,常借助 Venn 图求解;2.连续型数 集的运算,常借助数轴求解;3.已知集合的运算结果求集合,借助数轴或 Venn 图求解;4. 根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解. 18. 54 个. 【解析】 试题分析:先分别找出 1 到 200 中 2 的倍数的个数, 3 的倍数的个数, 5 的倍数的个数,由 集合个数的运算关系求之即可. 试题解析: 方法一: 集合 A 表示 1 到 200 中是 2 的倍数的数组成的集合, 集合 B 表示 1 到 200 中是 3 的倍数的数组成的集合,集合 C 表示 1 到 200 中是 5 的倍数的数组成的集合,

Card ( A) ? 100, Card ( B) ? 66, Card (C ) ? 40, Card ( A ? B) ? 33, Card ( A ? C ) ? 20 , Card ( B ? C ) ? 13, Card ( A ? B ? C ) ? 6 , Card ( A ? B ? C ) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card (C ) ? Card ( A ? B) ? Card ( B ? C ) ? Card ( A ? C )

? Card ( A ? B ? C ) ? 146,所以 200 ? 146 ? 54 .
方法二:用韦恩图解也可. 考点:1.集合间的关系;2.集合的运算.

8, (0 ? x ? 2) ? ? 19. (1) f ( x) ? ? 4.2 ? 1.9 x, (2 ? x ? 10) ; (2) 该乘客换乘比只乘一辆车更省钱. ?2.85 x ? 5.3, (10 ? x ? 60) ?
【解析】 试题分析: (1) 根据题意分别求出第个区间上费用的计算方式, 写成分段函数形式即可; (2)
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分别计算只乘一辆车的车费与换乘 2 辆车的车费,比较大小即可. 试题解析: (1)由题意得,车费 f ( x) 关于路程 x 的函数为:

8, (0 ? x ? 2) 8, (0 ? x ? 2) ? ? ? ? f ( x) ? ? 8 ? 1.9( x ? 2), (2 ? x ? 10) ? ? 4.2 ? 1.9 x, (2 ? x ? 10) ?8 ? 1.9 ? 8 ? 2.85( x ? 10), (10 ? x ? 60) ?2.85x ? 5.3, (10 ? x ? 60) ? ?
(2)只乘一辆车的车费为: f (16) ? 2.85?16 ? 5.3 ? 40.3 (元) , 换乘 2 辆车的车费为: 2 f (8) ? 2 ? (4.2 ? 1.9 ? 8) ? 38.8 (元) , ∵ 40.3 ? 38.8 ,∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱. 考点:1.函数建模问题;2.分段函数的表示. 【名师点睛】本题考查函数建模问题、分段函数的表示,属中档题;分段函数是一种重要函 数,是高考命题热点,由于分段函数在不同定义域上具有不同的解析式,在处理分段函数问 题时应对不同区间进行分类求解,然后整合,这恰好是分类讨论的一种体现.

1 1 1 ? ?a ? 2 ? a ( 3 ? a ? 2 ), 1 1 1 20. (1) g (a) ? ? ; (2) g (a ) 在 [ , ] 上是减函数,在 ( ,1] 上是 1 1 3 2 2 ?9a ? 6 ? ( ? a ? 1) a 2 ? 1 增函数, g (a ) 有最小值 . 2
【解析】 试题分析: (1)由题意可知抛物线对称轴为 x ? 时, M (a) ? a ? 1,当 1 ?

1 1 1 ? [1,3] ,所以 N ( a ) ? 1 ? ,当 2 ? ? 3 a a a

1 ? 2 时, M (a) ? 9a ? 5 ,分别计算 g (a) ? M (a) ? N (a) ,写 a 1 1 1 成分段函数即可; (2)由(1)先讨论 g (a ) 在 [ , ] 的单调性,再讨论 g (a ) 在 ( ,1] 上的 3 2 2
单调性,即可求函数 g (a ) 的最小值.

1 1 ? a ? 1, ∴ f ( x) 的图像为开口向上的抛物线, 且对称轴为 x ? ? [1,3] , 3 a 1 ∴ f ( x) 有最小值 N ( a ) ? 1 ? . a 1 1 1 当 2 ? ? 3 时, a ? [ , ] , f ( x) 有最大值 M (a) ? f (1) ? a ? 1 ; a 3 2 1 1 当 1 ? ? 2 时, a ? ( ,1] , f ( x) 有最大值 M (a) ? f (3) ? 9a ? 5 ; a 2 1 1 1 ? ?a ? 2 ? a ( 3 ? a ? 2 ), ∴ g (a) ? ? 1 1 ?9a ? 6 ? ( ? a ? 1) a 2 ?
试题解析: (1) ∵

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(2)设

1 1 1 ? a1 ? a2 ? ,则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(1 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ) , 3 2 a1a2
1 1 3 2

∴ g (a ) 在 [ , ] 上是减函数. 设

1 1 ? a1 ? a2 ? 1 ,则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(9 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ) , 2 a1a2
1 2
1 1 时, g (a ) 有最小值 . 2 2

∴ g (a ) 在 ( ,1] 上是增函数.∴当 a ?

考点:1.二次函数;2.分段函数的表示;3.函数的单调性与最值. 21. (1) f1 ( x) 是“平底型”函数, f 2 ( x) 不是“平底型”函数;(2) m ? 1, n ? 1 . 【解析】 试题分析: (1)分区间去掉绝对值符号,分别讨论 f1 ( x) 与 f 2 ( x) 的性质与“平底型”函数 定义对照即可; (2) 函数 g ( x) ? mx ?

x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数等价于存在区间

2 2 [a, b] ? [?2,??) 和常数 c , 使得 mx? x2 ? 2x ? n ? c 恒成立, 即 x ? 2 x ? n ? (mx? c)

? m 2 ? 1, ? 恒成立,亦即 ?? 2m c ? 2, ,解之即可. ? c2 ? n ?
试题解析: (1)对于函数 f1 ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,当 x ?[1,2] 时, f1 ( x) ? 1 . 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f1 ( x) ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 1恒成立,故 f1 ( x) 是“平底型”函数. 对于函数 f 2 ( x) ? x ? x ? 2 ,当 x ? (??,2] 时, f 2 ( x) ? 2 ; 当 x ? (2,??) 时, f 2 ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 , 所以不存在闭区间 [ a, b] ,使当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 2 恒成立,故 f 2 ( x) 不是“平底型”函 数. (2)因为函数 g ( x) ? mx ?

x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数,则
2

存在区间 [a, b] ? [?2,??) 和常数 c ,使得 mx? x ? 2x ? n ? c 恒成立.

? m 2 ? 1, ? m ? 1, ?m ? ?1, ? ? ? 2 2 所以 x ? 2 x ? n ? (mx? c) 恒成立,即 ?? 2m c ? 2, 解得 ?c ? ?1, 或 ? c ? 1, . ? n ?1 ? n ?1 ? c2 ? n ? ? ?
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? m ? 1, ? 当 ?c ? ?1, 时 , g ( x) ? x ? x ?1 . 当 x ? [?2,?1] 时 , g ( x) ? ?1 ; 当 x ? (?1,??) 时 , ? n ?1 ?
g ( x) ? 2 x ? 1 ? ?1恒成立,此时, g ( x) 是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数.

?m ? ?1, ? 当 ? c ? 1, 时,g ( x) ? ? x ? x ? 1 .当 x ? [?2,?1] 时,g ( x) ? ?2 x ? 1 ? 1 ; 当 x ? (?1,??) ? n ?1 ?
时, g ( x) ? 1 恒成立,此时, g ( x) 不是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数. 综上分析, m ? 1, n ? 1 为所求. 考点:1.新定义问题;2.绝对值的意义. 22. (1)奇函数; (2)单调递减; (3) 1 . 【解析】 试题分析: (1)令 x ? y ? 0 可得 f (0) ? 0 ,再令 y ? ? x 可得 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即可判 断函数的奇偶性; (2) 设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (

x1 ? x2 ) ,由不等式性 1 ? x1 x2

质得

x1 ? x2 x ?x ? 0 ,所以 f ( 1 2 ) ? 0 ,即可判断函数的单调性; ( 3 )由已知可求得 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

1 1 1 5 1 1 5 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,而 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 1 即可. 2 11 19 13 5 5 13
试题解析: (1)令 x ? y ? 0 得 f (0) ? 0 ,令 y ? ? x 则 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (?1,1) 上是奇函数. (2)设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f (

x1 ? x2 ), 1 ? x1 x2

而 x1 ? x2 ? 0,0 ? x1 x2 ? 1 ,则 故 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减. (3) f ( ) ? f (

x1 ? x2 x ?x ? 0 ,所以 f ( 1 2 ) ? 0 , 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

1 2

1 1 5 1 1 5 ) ? f ( ) ? f ( ) , f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 1. 11 19 13 5 5 13

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1 1 ? 1 1 1 1 1 法二: (3)由于 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) ? f ( 2 5 ) ? f ( ) , 1 2 5 2 5 3 1? 2?5 1 1 1 1 1 1 f ( )? f ( ) ? f ( ), f ( )? f ( ) ? f ( ), 3 11 4 4 19 5 1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 f ( ) ? 2 ? ? 1. 2 11 19 5 2
考点:1.抽象函数的应用;2.函数的奇偶性;3.函数的表示与求值.

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