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2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质_图文

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2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y 2 ? 2px (p ? 0) y 2 ? ?2px (p ? 0) p ( , 0) 2 p (? , 0) 2 p x?? 2 p x? 2 x2 ? 2py (p ? 0) p (0, ) 2 p (0, ? ) 2 p y?? 2 x 2 ? ?2py (p ? 0) p y? 2 类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可 以讨论抛物线的哪些几何性质? 1. 掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等 几何性质;(重点) 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨 论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形; (重点、难点) 3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的 结合与转化. 探究点 抛物线的简单几何性质 抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的 标准方程 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 研究它的一些简单几何性质. (1) 1.范围 因为p>0,由方程(1)可知,对于抛物线(1) 上的点M (x,y),x≥0,所以这条抛物线在y轴的右 侧,开口方向与x轴正向相同. 当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸. 2.对称性 以-y代y,方程(1)不变,所以这条抛物线关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方 程(1)中,当y=0时,x=0,因此抛物线(1)的顶点 就是坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距 离之比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物 线的定义可知,e=1. 5.通径 过焦点而垂直于对称轴的 弦AB,称为抛物线的通径. |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图. 2p越大,抛物线张口越大. y A O y2=2px ? p ? ? , p? ?2 ? 2p F B ?p ? ? ,? p ? ?2 ? x 6.焦半径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛 物线的焦半径. 焦半径公式: y P p PF ? x0 ? 2 O F x 抛物线的几何性质 方程 图 形 范围 对称性 y2=2px (p>0) y l O y2=-2px (p>0) y l O x2=2py (p>0) y F l x∈R y≥0 x x2=-2py (p>0) y l O F x F x O F x x≥0 y∈ R x≤0 y∈R x∈R y≤0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 (0,0) e=1 顶点 离心率 【提升总结】 (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以 无限延伸,但没有渐近线; (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; (4)抛物线的离心率e是确定的,为1; (5)抛物线的通径为2p, 2p越大,抛物线的张口越大. 【例1】已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点M(2, ? 2 2 ),求它的标准方程. 解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且 经过点M(2,? 2 2),所以可设它的标准方程为 y ? 2 px ( p ? 0). 2 因为点M在抛物线上,所以 即p=2. (?2 2) ? 2 p 2, 2 2 因此,所求抛物线的标准方程是 y ? 4 x. 【例2】斜率为1的直线l 经过抛物线y ? 4x的焦点, 且与 2 抛物线相交于A, B两点,求线段AB的长. 分析:由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直 线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物 线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两 点间的距离公式可以求出∣AB|.这种方法虽然思 路简单,但是需要复杂的代数运算. 下面,我们介绍另外一种方法——数形结合的方法. l 如图,设A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ). y 由抛物线的定义可知, AF 等于 点A到准线的距离 AA? .设 AA? ? d A , 而d A ? x1 ? 1, 于是 AF ? d A ? x1 ? 1.同理, BF ? BB? ? d B ? x 2 ? 1, 于是得 A′ A F B x O B′ AB ? AF ? BF ? x 1 ? x 2 ? 2 . 由此可见,只要求出点 A, B 的横坐标之和 x1 ? x 2 , 就可以求出 AB . 如图,设 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ), A, B 解: 到准线 l的距离分别为 d A ,d B .由抛 物线的定义可知 y l A′ A F B x AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x 2 ? 1, 于 是 AB ? AF ? BF ? x 1 ? x 2 ? 2 . O B′ 将(1)代入方程y ? 4x, 得 (x ? 1) ? 4x, 2 2 化 简 得 x 2 ? 6x ? 1 ? 0. 由求根公式得 x1 ? 3 ? 2 2 , x 2 ? 3 ? 2 2 , 于 是 AB ? x 1 ? x 2 ? 2 ? 8 . 所 以 , 线 段 AB 的 长 是 8 . 利用根与系数的关系可以 直接求出x1 ? x 2 ? 6. 还可以如 何求x1+x2? 如上题,求证:以AB为直径的圆和这抛物线的 准线相切. 分析:运用抛物 y C H D E F A B O 线的定义和平面 几何知识来证比 x 较简捷. 证明:如图,设AB的中点为E,过A,E,B分别向准 线m引垂线AD,EH,BC,垂足分别为D,H,C, 则

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