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高中数学知识重组、网络建构系列之函数与导数:专题一 导数的概念与几何意义

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专题一 导数概念和几何意义 ? 主干知识互联,提纲挈领 1.导数的概念 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? 为函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的导 ?x ?x 数,记作 f ? ? x0 ? 或 y? x ? x ,即 f ? ? x0 ? ? lim 0 f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 称函数 f ? x = lim ( ) D x? 0 f ( x +D x) - f ( x) 为 f ( x) 的导数函数,简称为导函数. D x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c 为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 3.导数的几何意义 f′(x)=0 f′(x)=nxn-1 f′(x)=cosx f′(x)=-sinx f′(x)=axlna f′(x)=ex f′(x)= f′(x)= 1 xln a x 1 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数 f ? ? x0 ? 就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线和斜率,即 k ? f ? ? x0 ? .相应地,切线方程为 y ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? . ? 重点难点突破,抓住核心 导数的概念 方法规律提升,融会贯通 利用定义求函数导数的一般步骤: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ; 第二步,求平均变化率 考向 1 【例 1】 【人教新课标 A 版选修 2-2 第 6 页例 1】 ? 将原油精炼为汽油、 柴油、 塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果在第 x h 时,原油 的温度(单位:℃)为 y ? f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 【解析】在第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变 化率就是 ?y f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ; ? ?x ?x 第三步,取极限得导数 f? ( 2) 和 f? ( 6) f ? ? x0 ? ? lim ,根据导数的定义, 2 f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?y f ? 2 ? ?x ? ? f ? 2 ? 4?x ? ? ?x ? ? 7?x ? ? ? ?x ? 3 ?x ?x ?x , ? f ? ? 2 ? ? lim ?y ? ?3 f ? 6 =5 ?x ? 0 ?x ,同理可得 ( ) , 故在第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率 分别为 - 3 与 5 ,它说明在第 2 h 附近,原油温度 大约以 3° C / h 的速度下降; 在第 6 h 附近, 原油 温度大约以 5° C / h 的速度上升. 一般地, f ? ? x0 ? 反映了原油温度在时刻 x0 附近 的变化情况. 考向 2 求曲线的切线方程 ? 方法规律提升,融会贯通 1.曲线的切线的求法:若已知曲线过点 切的直线方程. 【分

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