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【人教A版】2015年秋高中数学必修二:2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》ppt课件

时间:2017-02-14


2.1.1 平面

问题1:以上实物都给我们以平面的印象,那么,平面的含义是什么呢?

1、平面含义 几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几 何里的平面是无限延展的。 平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度)

问题2:在平面几何中,怎样画平面? 2、平面的画法 (1)一个平面画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2) 直线与平面相交,如图1(2)、(3);

a
D C

l
α
(2)

l
A
α
(3)

α
A
(1 )

B

β

图1

(3)两个相交平面: 画两个相交平面时,若一个平面的一部分被另一个平面遮住,应 把被遮住部分的线段画成虚线或不画(如图2).

β α

B α A

β

α B β a A 图 2 α a β B

A

王新敞
奎屯

新疆

问题3:清楚了平面的含义,会画水平放置的平面,那么平面如何表示呢?
3、平面的表示 (1)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等, 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示, 如平面AC、平面ABCD等。 (2)空间图形的基本元素是点、直线、平面
集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系, “ ? ”和“∩”的符号只能 用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用 几何语言. (平面 α 外的直线 a )表示 a ? ? (平面 α 外的直线 a )表示 a ? ? ? ? 或 a ?? ? A .

问题4:如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内? 直线l不一定在平面α内。 问题5:如果直线l与平面α有两个公共点呢?

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1:过一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论2:两条相交直线确定一个平面。 推论3:两条平行直线确定一个平面。

公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 符号表示:P ∈α ∩β ? α ∩β = l,且 P ∈l。 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据。

例 1 、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。

解 :左边的图中, α ∩β =l,a∩α =A,a∩β =B。 右边的图中, α ∩β =l,a ? α ,b ? β , a∩l=P,b∩l=P。

例2 不共面的四点可以确定几个平面?共点的三条直线可以确定几个平面?
解:不共面的四点可以确定4个平面(如三棱锥);共点的三条直线 可以确定1个或3个平面。

例 3 点 A ? 平面 BCD , E , F , G, H 分别是

A E B H D G F C P

AB, BC, CD, DA 上的点,若 EH 与 FG 交于
P (这样的四边形 ABCD 就叫做空间四边形) 求证: P 在直线 BD 上
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

证明:∵ EH ? FG ? P ,∴ P ? EH , P ? FG , ∵ E , H 分别属于直线 AB, AD , ∴ EH ? 平面 ABD ,∴ P ? 平面 ABD , 同理: P ? 平面 CBD , 又∵平面 ABD ? 平面 CBD ? BD , 所以, P 在直线 BD 上.

1.判断下列命题的真假,真的打“√” ,假的打“×” (1)可画一个平面,使它的长为 4cm,宽为 2cm. ( ) (2)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平面把空间分成两部分. ( ) 2 (3)一个平面的面积为 20 cm . ( ) (4)经过面内任意两点的直线,若直线上各点都在这个面内,那么这个面是平面. (



答案:(1)×(2)√(3)×(4)√

2.①一条直线与一个平面会有几种位置关系 . ②如图所示,两个平面?、?,若相交于一点,则会发生什么现象. ③几位同学的一次野炊活动,带去一张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚, 有一生提议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图 所示) ,问至少要几根木棍,才可能使桌面稳定??

? ?

答案: ①3种 ②相交于经过这个点的一条直线 ③至少3根

[反思小结,观点提炼] 请同学们总结下本节课所学习内容: 1.平面的概念; 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法; 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言 之间关系的转换 4.平面的基本性质

[作业精选,巩固提高] 试用集合符号表示下列各语句,并画出图形: (1)点 A 在平面 ? 内,但不在平面 ? 内; (2)直线 a 经过不属于平面 ? 的点 A,且 a 不在平面 ? 内; (3)平面 ? 与平面 ? 相交于直线 l ,且 l 经过点 P; (4)直线 l 经过平面 ? 外一点 P,且与平面 ? 相交于点 M
王新敞
奎屯 新疆

2.1.2空间中直线与直线之间的 位置关系

问题1:平面内两条直线的位置关系有? 有两种位置关系:直线相交、直线平行 问题2:平面内不平行的两直线必相交,问:空间内还成立否?

不一定成立,有可能既不平行也不相交,如下图 。

1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
.

2.异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
b

b

b

a

a
a

3.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分 (1)同在一个平面内:相交直线、平行直线 (2)不同在任何一个平面内:异面直线 按公共点个数分 (1)有一个公共点: 相交直线 (2)无公共点:平行直线、异面直线

注1:两直线异面的判别一 :

两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.

合作探究:如图是一个正方体的展开图,如果将它 还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 对?

答:共有三对

3.异面直线所成的角
异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作 直线 a′∥ a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
b

b′ a′
O

a

异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]

H

例1.下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC和BH是 相交 直线 ②BD和FH是 平行 直线 ③BH和DC是 异面 直线 (2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?

G

E F

D A B

C

例 2 如图,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.

(1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? (2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少? (3)哪些棱所在直线与直线 AA′垂直?

解: (1) 由异面直线的定义可知,棱 AD 、 DC 、 CC′ 、 DD′ 、 D′C′ 、 B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2) 由 BB′∥CC′ 可 知 , ∠B′BA′ 是 异 面 直 线 BA′ 和 CC′ 的 夹 角 , ∠B′BA′=45°, 所以直线BA′和CC′的夹角为45°. (3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线 AA′垂直.

例 3.如图,正方体 ABCD-EFGH 中如图,正方体 ABCD-EFGH 中 O 为侧面 ADHE 的中心,求 (1)BE 与 CG 所成的角? (2)FO 与 BD 所成的角?

H E F

G

D A 解:(1)如图:∵CG∥BF, ∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角, 又 ? BEF中∠EBF =450 ,所以BE与CG所成的角为450 (2)连接FH, ∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB ∴四边形HFBD为平行四边形, ∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的 角。 连接HA、AF,易得FH=HA=AF,∴△AFH为等边△, 又依题意知O为AH中点, ∴∠HFO=300 即FO与BD所成的夹角 是300 B

C

1、已知a,b,c是三条直线,且a//b,a与c的夹角为θ, 那么b与c夹角为 ___________ (答案:θ) 2、判断: ①两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行. ②两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行. ③两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行. (答案: × × √) 3 、如图,已知空间四边形 ABCD 中,点 E 、 F 、 G 、 H 分别是边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点,试判断四边形 EFGH 是什么四边形,并证 明你的结论。
A H E D B F G C

证明:连结 BD ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点 ∴EH 是△ABD 的中位线

1 BD 2 1 同理,FG∥BD,且 FG= BD 2
∴EH∥BD,且 EH= ∴EH∥FG,且 EH=FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形

4、如图,已知长方体 ABCD-EFGH 中, AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2 ①求 BC 和 EG 所成的角是多少度? ②求 AE 和 BG 所成的角是多少度?

H E D A B

F

(答案: 450 ; 600 )

[反思小结,观点提炼] 本节课我们学习了哪些知识? 异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。

空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线 异面直线的画法:用平面来衬托 异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角 公理4(平行公理):在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相 等或互补.
异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求

[作业精选,巩固提高] (1) (必做) :复查并修改《课前预习》 ,补充完善学案 (2) (分层达标) :课本习题 2.1 A 组 3、4.

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4空间中平面与平面之间的位置关系

观察长方体,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系?

直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种位置关系。

得到如下结论: (1)如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. (2)如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. (3)如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. (4)直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.
(5) 直线在平面内 a?α

直线与平面相交

a∩α=A

直线与平面平行

a∥α

问题 2:观察长方体, 你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,平面 ABCD 与 A?B ?C ?D ? 具有怎 样的位置关系?平面 ABCD 与 AB B ?A? 的位置关系呢?

两个平面之间有两种位置关系: (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 α L

β α ∥β

α

β

α ∩β = L

例1 若两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.
解:如图,另一条直线与平面 α 的位置关系是在平面内或与平面相交.

用符号语言表示为:若 a∩b=A,b ? α,则 a ? α 或 a∩α=A.

例 2 若直线 a 不平行于平面 α,且 a ? α,则下列结论成立的是( ) A.α 内的所有直线与 a 异面 B.α 内的直线与 a 都相交 C.α 内存在唯一的直线与 a 平行 D.α 内不存在与 a 平行的直线
分析:如图,若直线 a 不平行于平面 α,且 a ? α,则 a 与平面 α 相交.

例如直线 A′B 与平面 ABCD 相交,直线 AB、CD 在平面 ABCD 内,直线 AB 与直线 A′B 相交,直线 CD 与直线 A′B 异面,所以 A、B 都不正确;平面 ABCD 内不存在与 a 平行 的直线,所以应选 D. 答案:D

例3 求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线 ,则这条直线在这个平面内.
已知:l∥ ? ,点 P∈ ? ,P∈m,m∥l 求证: m ? ? . 证明:设 l 与 P 确定的平面为 ? ,且 ? ? ? = m′,则 l∥m′. 又知 l∥m, m ? m ? ? P , 由平行公理可知,m 与 m′重合. 所以 m ? ? .

1、下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3
分析:如图,

我们借助长方体模型,棱 AA1 所在直线有无数点在平面 ABCD 外,但棱 AA1 所在直线 与平面 ABCD 相交,所以命题①不正确; A1B1 所在直线平行于平面 ABCD,A1B1 显然不平行于 BD,所以命题②不正确; A1B1∥AB,A1B1 所在直线平行于平面 ABCD,但直线 AB ? 平面 ABCD,所以命题③不 正确; l 与平面 α 平行,则 l 与 α 无公共点,l 与平面 α 内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案:B

2、不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,且 A ? α,给出以下三个命题: ①△ABC 中至少有一条边平行于 α;②△ABC 中至多有两边平行于 α;③△ABC 中只可能有 一条边与 α 相交. 其中真命题是_____________.
分析:如图,三点 A、B、C 可能在 α 的同侧,也可能在 α 两侧,

其中真命题是①. 答案:①

3、若直线 a ? α,则下列结论中成立的个数是( (1)α 内的所有直线与 a 异面 (2)α 内的直线与 a 都相交 (3)α 内存在唯一的直线与 a 平行 (4)α 内不存在与 a 平行的直线 A.0 B.1 C.2

)

D.3

分析:∵直线 a ? α,∴a∥α 或 a∩α=A. 如图,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选 A.

答案:A 点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型) ,另外考 虑问题要全面即注意发散思维.

4、α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( ) A.α、β都平行于直线l、m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β
分析:如图,分别是 A、B、C 的反例.

答案:D

[反思小结,观点提炼] 本节主要学习直线与平面的位置关系,直线与平面的位置关系有三种: ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点.

[作业精选,巩固提高] 课本习题 2.1 A 组 7、8.


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