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高考数学临考练兵测试题20 文

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2011 届新课标版高考临考大练兵(文 20) 第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题所给的四个选项中只有一
个是正确的) 1.已知 A ? B , A ? C , B ? ?1, 2,3,5? , C ? ?0, 2, 4,8? ,则 A 可以是( A. ?1, 2? 2.复数 ( )

1 ? 3i 2 ) ?( 1? i A. ? 3 ? i

B. ?2, 4? ) B. ? 3 ? i

C. ?2?

D. ?4?

C. 3 ? i

D. 3 ? i

3.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么双曲线的离心率是( A. 2 B. 3 ) C.

3 ?1 5 ?1 D. 2 2 4.设 0 ? a ? 1 , m ? log a ( a 2 ? 1) , n ? log a (a ? 1) , p ? log a (2a ) ,则 m, n, p 的大小关
系是( ) B. m ? p ? n C. m ? n ? p D. p ? m ? n A. n ? m ? p

5.已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列 ?an ? ,若 a3 ? 8 , 且 a1 , a3 , a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( A. 13,12 B. 13,13 C. 12,13 ) D. 13,14 ) D. ) D.

7. ?ABC 的外接圆半径 R 和 ?ABC 的面积都等于 1,则 sin A sin B sin C ? (

3 3 1 B. C. 2 4 4 2 2 8.直线 x ? 7 y ? 5 ? 0 截圆 x ? y ? 1 所得的两段弧长之差的绝对值是(
A. A.

1 2
3? 2

?

9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出 i 的值是( A. 63 B. 31 C. 27 D. 15

4

B.

?

2

C. ? )

开始 S=0 i=1 是 S > 50 否 输出 i 结束 S= S2 + 1

?y ?1 ? 10.已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1 ,如果目标函数 ?x ? y ? m ?
z ? x ? y 的最小值是 ?1 ,那么此目标函数的最

i = 2 i+ 1

大值是( A. 1

) B. 2 C. 3 D. 5

11.下面给出四个命题: ①若平面 ? //平面 ? , AB, CD 是夹在 ? , ? 间的线 段,若 AB // CD ,则 AB ? CD ; ② a, b 是异面直线, b, c 是异面直线,则 a, c 一定是异面直线; ③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面 ? 垂直; ④平面 ? //平面 ? , P ? ? , PQ // ? ,则 PQ ? ? ; 其中正确的命题是( A.①② ) C.①②④ ) D. 48 D.①④

B.①②③

12.设 3a ? 4b ? m ,且 A. 12

1 1 ? ? 2 ,则 m ? ( a b

B. 2 3

C. 4 3

第Ⅱ卷
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.设 a ? 3 , b ? 5 ,若 a // b ,则 a ? b ? 14.已知 cos x ?
2

. .

3 ? , x ? (? , 0) ,则 tan 2 x ? 5 2

15.设抛物线 y ? 4 x 的准线为 l , P 为抛物线上的点, PQ ? l ,垂足 为 Q ,若 ?PQF 得面积与 ?POF 的面积之比为 3 :1 ,则 P 点坐标 是 .

16. 如图为一个棱长为 2cm 的正方体被过其中三个顶点的平面削去一个角 后余下的几何体,试画出它的正视图 .
(第16题)

三、解答题(本大题共 6 道小题,满分 70 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步
骤) 17. (本题满分 12 分) 某市投资甲、乙两个工厂,2008 年两工厂的产量均为 100 万吨,在今后的若干年内, 甲工厂的年产量每年比上一年增加 10 万吨,乙工厂第 n 年比上一年增加 2 年为第一年,甲、乙两工厂第 n 年的年产量分别为 an 万吨和 bn 万吨. (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的 2 倍,则将另一工厂兼并,问到哪一年 底,其中哪一个工厂被另一个工厂兼并.
n ?1

万吨,记 2008

18. (本题满分 12 分) 某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出 50 名学生,并统计了他们的数学 成绩(成绩均为整数,满分为 100 分) ,将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率 分布表: (Ⅰ) 将上面的频率分布表补充完整, 并估计本次考试全校 85 分以上学生的比 例; (Ⅱ)为了帮助成绩差的同学提高数 学成绩,学校决定成立“二帮一”小组, 即从成绩为 ?90,100? 中任选出两位同学, 共同帮助成绩在 ? 40,50 ? 中的某一个同学, 试列出所有基本事件;若 A1 同学成绩为 43 分, B1 同学成绩为 95 分,求 A1 、 B1 两同 学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率. 分 组 [ 40, 50 ) [ 50, 60 ) [ 60, 70 ) [ 70, 80 ) [ 80, 90 ) [ 90, 100 ] 合 计 4 0.08 频 数 2 3 14 15 频 率 0.04 0.06 0.28 0.30

19. (本题满分 12 分) 如 图 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 底面 是 菱形, 平 面

D1 C1 A1 B1 D C

AA1C1C ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证: BD ? AA1 ; (Ⅱ) 设 AB ? a ,?BAC ? 30 ,四边形 AA1C1C 的 面积为 3a 2 ,求棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积.
A

B

20. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e ? 为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点 3

(Ⅱ)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1 、 A2 ,点 M 是椭圆上异于 A1 、 A2 的任意一点, 设直线 MA1 、 MA2 的斜率分别为 k MA1 、 k MA2 ,证明 k MA1 ? k MA2 为定值; (Ⅲ)设椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 , A1 、 A2 为长轴两个端点, M 为椭圆上异于 A1 、 A2 a 2 b2 的点, k MA1 、 k MA2 分 别 为 直 线 MA1 、 MA2 的 斜 率 , 利 用 上 面 ( Ⅱ ) 的 结 论
得 k MA1 ? k MA2 ? ( ) (只需直接填入结果即可,不必写出推理过程) .
2 2

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 8ln x , g ( x) ? ? x ? 14 x . (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 和函数 y ? g ( x ) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,求实数 a 的取 值

范围; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,求实数 m 的值.

四、选做题(本小题满分 10 分.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,
则按所做的第一题记分.作答时,在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑) 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图, 圆 O 的直径 AB ? 10 , 弦 DE ? AB 于点 H ,HB ? 2 . (Ⅰ)求 DE 的长; (Ⅱ)延长 ED 到 P ,过 P 作圆 O 的切线,切点为 C ,若
C

P

D

PC ? 2 5 ,求 PD 的长.
A O H B

23.选修 4—4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? , 曲线 C2 的极坐标方 程为 ? ?

E

?

(Ⅰ)将曲线 C1 、 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求弦 AB 的长.

4

( ? ? R) ,曲线 C1 、 C2 相交于点 A 、 B .

24.选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p .
2

(Ⅰ)如果不等式当 p ? 2 时恒成立,求 x 的范围; (Ⅱ)如果不等式当 2 ? x ? 4 时恒成立,求 p 的范围.

参考答案
一、选择题:CADDA BDCBC DB 二、13. ?15 (填对一个仅给 3 分) 14.

15. 2, ? 2 2 , 2, 2 2 (填对一个仅给 3 分) 16. (所画正视图必须是边长为 2cm 的正方形才给分) 三、17. (Ⅰ) an ? 10n ? 90 , bn ? 2n ? 98 (Ⅱ)2015 年底甲工厂将被乙工厂兼并。 18.(Ⅰ)第五行以此填入 第七行以此填入

?

? ?

?

24 7
(第16题)

……………6 分 ……………12 分 ……………2 分 ……………4 分 ……………6 分 ……………12 分

12

0.24
1

50

估计本次全校 85 分以上学生比例为 32 % (Ⅱ)

1 4
……6 分 (Ⅱ) V ?

19.(Ⅰ)略

3 3 a 2

……………12 分

20. (Ⅰ)椭圆方程

x2 y 2 ? ?1 3 2

……………4 分

(Ⅱ)证明:由椭圆方程得 A1 (? 3, 0) , A2 ( 3, 0) 设 M 点坐标 ( xo , yo )



xo 2 yo 2 2 ? ? 1 ? yo 2 ? (3 ? xo 2 ) 3 2 3

kMA1 ?

yo yo , k MA2 ? xo ? 3 xo ? 3
2 (3 ? xo 2 ) yo 2 2 ? 2 ?3 2 ?? xo ? 3 xo ? 3 3
……………10 分

kMA1 ? kMA2

? k MA1 ? k MA2 是定值
(Ⅲ) k MA1 ? k MA2 ? ?

b a

……………12 分

21. (Ⅰ)解: f '( x) ? 2 x ?

8 2( x ? 2)( x ? 2) ? x x

( x ? 0)

当 0 ? x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 2 时, f '( x) ? 0 ,

要使 f ( x) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 2

g ( x) ? ? x 2 ? 14 x ? ?( x ? 7) 2 ? 49
如使 g ( x) 在 (a, a ? 1) 上递增,必须 a ? 1 ? 7 ,即 a ? 6 由上得出,当 2 ? a ? 6 时 f ( x) , g ( x) 在 (a, a ? 1) 上均为增函数 ……………6 分 (Ⅱ)方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解 ? ? 设 h( x) ? 2 x ? 8ln x ? 14 x
2

?y ? m
2 ? y ? 2 x ? 8ln x ? 14 x

有唯一解

h '( x) ? 4 x ?

8 2 ? 14 ? (2 x ? 1)( x ? 4) x x

(x ?0)

h '( x), h( x) 随 x 变化如下表

x
h '( x)

(0, 4)

4

(4, ??)

?

0
极小值 ?24 ? 16 ln 2

?

h( x )

由于在 (0, ??) 上, h( x) 只有一个极小值,? h( x) 的最小值为 ?24 ? 16 ln 2 , 当 m ? ?24 ? 16 ln 2 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解. 四、选做题 22.(Ⅰ) DE ? 8
2 2

……………12 分

……5 分

(Ⅱ) PD ? 2

……10 分

23.(Ⅰ) x ? y ? 6 x ? 0 (Ⅱ) AB ? 3 2 24.(Ⅰ) x ? ?1 或 x ? 3 (Ⅱ) p ? ?1

x? y ?0
……10 分 ……5 分 ……10 分

……5 分


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