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椭圆的简单几何性质(第一课时)教案

时间:2012-07-01


椭圆的简单几何性质(第一课时)教案
(科目:数学 时间:2011 年 12 月 6 日第二节 地点:昌宁二中高 98 班教室)

【授课教 师】李光俊 【授课班级】昌宁二中高二年级 98 班 【教学目标】
1、知识目标:⑴掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) 。 ⑵能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题。 2、能力目标:培养学生的解析几何观念,培 养学生观察、概括能力,以及分析问题、 解决问题的能力。 3、情感目标:培养学生对待知识的科学态度和主动探 索精神,激发学生学习激情,提 高学生数学素养,培养学生对立统一的辩证唯物主义思想。

【教学重点】
椭圆的简单几何性质。

【教学难点】
椭圆的简单几何性质的应用。

【教学方法】
尝试教学法

【教具准备】
多媒体电脑课件

【教学过程】
一、思考并回答下列问题: 1.椭圆的定义 在平面内,到两定点 F1、F2 的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的动点的轨迹叫做椭圆。
| PF 1 | ? | PF 2 |? 2 a ( 2 a ? | F1 F 2 |)

2.椭圆的标准方程 当焦点在 X 轴上时 当焦点在 Y 轴上时 3.椭圆中 a,b,c 的关系:
x a y a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 2 b 2 2 a ?b ?c

?

x

2

4.平面解析几何研究的两个主要问题是什么? (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程。 (2)通过方程,研究平面曲线的性质。
1

二、椭圆的简单几何性质(以
1.椭圆的范围: 由
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 为例)

?

y b

2 2

?1

?

x a

2 2

? 1和

y b

2 2

?1

-a≤x≤a,

-b≤y≤b 知

椭圆落在 x=±a, y= ± b 组成的矩形

y x
巩固练习题 1.椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的范围是 ? 3 ? x ? 3 , ? 2 ? y ? 2

o

9
2 2

4
2 2

巩固练习题 2. 椭圆 m x ? n y ? 1( m ? 0 , n ? 0 ) 的范围是 ?

1 m

? x ?

1 m

,?

1 n

? y ?

1 n

2.椭圆的对称性: 从图形上看,椭圆关于 x 轴、y 轴、原点对称。 从方程上看: (1)以-x 代 x 方程不变,椭圆关于 y 轴对称; (2)以-y 代 y 方程不变,椭圆关于 x 轴对称; (3)以-x 代 x,同时以-y 代 y 方程不变,椭圆关于原点成中心对称。 坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 巩固练习题 3.若方程 y ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 ) 所表示的曲线关于 y 轴对称,则 b ?

0

巩固练习题 4.在下列方程所表示的曲线中,关于 x 轴、y 轴都对称的是( D A.x =y B.x +2xy+y=0 3.椭圆的顶点: 在
x a
2 2
2 2

)

C.x -4y =5x

2

2

D.9x +y =4

2

2

?

y b

2 2

? 1 ( (a ? b ? 0) 中

令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y 轴的交点? 令 y=0,得 x=?,说明椭圆与 x 轴的交点? 顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,叫做椭圆的顶点。 长轴、 短轴: 线段 A1A2、 1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, B 它们的长分别为 2 a 和 2 b , a、b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 巩固练习题 5. 椭圆的一个顶点为 A ( 2 , 0 ) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的标准方程
2



x

2

? y

2

?1或

y

2

?
2

x

2

?1
2

4

16

4

巩固练习题 6.椭圆 x ? my

? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为

( C A.
1 2

)

B.2

C.

1 4
c a

D.4

4.椭圆的离心率 e(刻画椭圆扁平程度的量) 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比: e ? 叫做椭圆的离心率。

[1]离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以 0<e <1 [2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b 就越小,椭圆就越扁. 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b 就越大,椭圆就越圆. 3)特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭圆方程变为(?)
a ?b
2 2 2 2

[3]e 与 a,b 的关系:

e?

c a

?

a

2

?
3 2

1?

b a

巩固练习题 7.椭圆 x ? my
2

2

? 1 的离心率为

,则 m 的值为( C )
1 4

A. 2 或

1 2

B. 2

C.

1 4

或4

D.

巩固练习题 8.求适合下列条例的椭圆方程: (1)经过点 P(-3,0) ,Q(0,-2) (2)长轴长等于 20,离心率等于
3 5

三、目标检测
1. 椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于

( D.16

A



m

4

A.5 或 3

B.5

C.8

2.椭圆的一个顶点和一个焦点在直线 x ? 3 y ? 6 ? 0 上,则此椭圆的标准方程是 ( A.
x
2

D



?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

40 x
2

4 y
2

36 x
2

40 y
2

C.

?

? 1或

?

y

2

?1

D.

x

2

?

? 1或

x

2

?

y

2

?1

40

36

36

40

40

4

36

40

3.下列椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?为什么?
3

(1) 9 x ? y ? 1
2 2

(2)

x

2

?

y

2

?1

16

12

4.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ? (2) 焦点在 y 轴上, c ? 3 , e ?
1 3 3 5

; .

四、课堂小结
1.椭圆的简单几何性质 标准方程
x a
2 2 2 2 2 2 2 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )

y a

?

x b

? 1( a ? b ? 0 )

范围

|x|≤ a,|y|≤ b

|y|≤ a,|x|≤ b

对称性

关于 x 轴、 轴成轴对称; y 关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)

关于 x 轴、y 轴成轴对称; 关于原点成中心对称 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a)

顶点坐标

焦点坐标

(c,0)、(-c,0)

(0 , c)、(0, -c)

半轴长

长半轴长为 a, 短半轴长为 b. a>b
e ? c a ( 0 ? e ? 1)

长半轴长为 a, 短半轴长为 b. a>b
e ? c a ( 0 ? e ? 1)

离心率

(e 越接近于 1 越扁)
a
2

(e 越接近于 1 越扁)
a
2

a、b、c 的关系

?b ?c
2

2

?b ?c
2

2

2. 椭圆中的有四个基本量 a,b,c,e,可以知二求二。 3.椭圆有“四线” (两条对称轴、两条准线)“六点” , (两个焦点,四个顶点)“两形” , (中 心,焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形).要注意它们之 间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间的距离.

五、课外作业
《优化探索》 课时作业八

4


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