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求数列的通项公式列教案 例题 习题

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三.数列的通项的求法 铜鼓中学数学组 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 2 例 1. 等差数列 ?an ? 是递增数列, 前 n 项和为 S n , 且 a1 , a3 , a9 成等比数列,S 5 ? a5 . 求数列 ?an ? 的通项公式. 练一练:已知数列 3 1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 2.公式法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ? S ,(n ? 1) ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? S1 ? S ,(n ? 2) 。 n n ?1 ? 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ; ②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? 5 an ?1 ,求 an ; 3 f (1),(n ? 1) ? ? 。 an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ? 2 如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ,则 a3 ? a5 ? ______ 3.作商法:已知 a1 a2 4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 (n ? 2) ,则 an =________ ; 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n 5.累乘法:已知 ; an?1 a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? an an ?1 an ? 2 ? a2 ? a1 (n ? 2) 。 a1 如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an 6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 (1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。 ① an ? kan?1 ? b 解法:把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 元法转化为等比数列求解。 例 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . q ,再利用换 1? p ② an ? kan?1 ? bn 解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得: an?1 p an 1 a p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用 ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ? n n ?1 n q q q q q q q an ? kan?1 ? b 的方法解决.。 例 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 练一练①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ; ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ; (2)形如 an ? 例 7: a n ? an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1 练一练:已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an ; 数列通项公式课后练习 1 已知数列 ?an ? 中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=2(a n +1) (n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式。 ? 2 已知数列 ?an ? 中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +1 3 已知数列 ?an ? 中,a 1 =3,a n?1 = (n∈N ) ? 1 ? a n +1(n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式 2 4 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ? 的通项公式 5 已知数列 ?an ? 中,a n ≠0,a 1 = an 1 ,a n?1 = 2 1 ? 2an (n∈N ) 求 a n ? 6 设数列 ?an ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1 若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列,求 a n 7 设数列 ?an ? 中,a 1 =2,a n?1 =2a n +1 求通项公式 a n 8 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,2a n?1 = a n + a n ? 2 求 an 数列求和的方法 1、公式法: 2、倒序相加法: 例1、 已知函数 f ? x ? ? 2x 2x ? 2 (1)证明: f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1; 针对训练 3、求值: S ? 3、错位相减法: 例 2、已知 an ? n ? 2n?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 针对训练 4、求和: Sn 12 22 32 ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 ? 102 102 ? 12 ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ? nxn ? x ? 0, x ? 1? 1 ,求它的前 n 项和 Sn n(n ? 1) , 4、裂项相消法:例 3、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 1 1 1 , , , 1? 2 2 ? 3 3 ? 2 1 训练 5、求数列 , n

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