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2010年全国高中数学联赛江苏赛区(试卷、参考答案、评分细则)

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2010 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 填空题( 1.方程 9 + 1 ? 3 = 5 的实数解为
x x



2x x x 提示与答案: 提示与答案:x<0 无解; 当 x ≥ 0 时,原方程变形为 3 +3 -6=0,解得 3 =2,x=log32.

2.函数 y = sin x + cos x (x ∈ R ) 的单调减区间是
2 提示与答案: 提示与答案:与 f(x)=y =1+|sin2x|的单调减区间相同, [

.
kπ π kπ π + , + ], k ∈ Z. 2 4 2 2

3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC = 4 , AB ? BC = ?12 ,则 AB =

uuu uuur r

uuu uuu r r
uuu 2 r

uuu r

.

提示与答案 提示与答案: AB ? AC ? AB ? BC = AB = 16 ,得 AB = 4 .
4.函数 f ( x ) = ( x ? 2 )( x + 1) 在区间 [ 0, 2] 上的最大值是
2

uuu uuur r

uuu uuu r r

uuu r

,最小值是



提示与答案: 提示与答案:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0.
5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点,

其中 A = ( 4, 0 ) 、 B = ( 6,8 ) 、 C = ( 2, 4 ) ,则 R 的取值范围为



8 5 提示与答案: 提示与答案:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ 5 ,10]. 6.设函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x + 1) 与 f ( x ? 1) 都是关于 x 的奇函数,则函数

y = f ( x ) 在区间 [ 0,100] 上至少有

个零点.

提示与答案: 提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ( x ) 满足问题中的条件,且 f ( x ) 的 Z 一个零点恰为 x = 2k ? 1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. Z
7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意

两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 提示与答案: 提示与答案:不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以.



(第 7 题)

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中

镀 2 金 2 银的概率是
机密


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1 提示与答案:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为 . 提示与答案: 3 9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ∠ACB = ∠CBD , ∠ACD = ∠ADC = ∠BCD = ∠BDC

= θ ,且 cos θ =

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



提示与答案: 提示与答案:4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10.设复数列 { xn } 满足 xn ≠ a ? 1 , 0 ,且 xn +1 =

a xn .若对任意 n ∈ N* 都有 xn +3 = xn , xn + 1

则 a 的值是 提示与答案: 提示与答案:由 xn +1 =



a xn a xn + 2 a 2 xn +1 a 3 xn , xn +3 = = = 2 = xn xn + 2 + 1 ( a + 1) xn +1 + 1 ( a + a + 1) xn + 1 xn + 1
2

恒成立,即 a 2 + a + 1 xn ( xn + 1 ? a ) = 0 . 因为 xn ≠ a ? 1 或 0 ,故 a + a + 1 = 0 ,所以

(

)

1 3 a=? ± i. 2 2

二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 解答题( 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 上的三点.若 4

uuuu 3 uuu 4 uuu r r r x2 OM = OA + OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 + 2 y 2 = 1 上. 5 5 2
x12 x22 2 解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 4 +y1 =1, 4 +y22=1. 由 OM =

uuuu r

r r 3 uuu 4 uuu 3 4 3 4 OA + OB ,得 M(5x1+5x2,5y1+5y2). 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 3 x22 4 3 4 x1x2 即 ( +y12)( )2+( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4 x1x2 +y1y2=0. 4 …………………14 分

…………………6 分

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x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2 x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ………………20 分

所以

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12.已知整数列 {an } 满足 a3 = ?1 , a7 = 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am + am +1 + am + 2 = am am +1am + 2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n≤6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5.
? ?n-4,n≤4, 故 an =? n-5 ? ?2 , n≥5.

…………………6 分

…………………10 分

(2) 由(1)知,数列 {an } 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

…………………15 分

当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. …………………20 分

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ⊥ AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

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证明: 证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; …………………8 分 (2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, B G ∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, 由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. ∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, …………………20 分 …………………14 分 C A H F D E

14.求所有正整数 x , y ,使得 x 2 + 3 y 与 y 2 + 3 x 都是完全平方数. 解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11). …………………20 分 …………………15 分 ………………5 分

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