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2011年吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)

时间:2012-02-29


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2011 年长春市高中毕业班第二次调研测试



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,其 中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B) = P ( A) + P ( B ) . 如果 A 、 B 相互独立,那么 P ( AB) = P ( A) ? P ( B ) . 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ,
k 概率为 Pn ( k ) = Cn p k (1 ? p ) n ? k .

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 选择题, 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 ....
是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1. 已知复数

a ?i ? i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上,则实数 a 的值为 i

2.

A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 已知集合 M = { x | ?3 < x < 0} , N = { x | ?1≤x≤1} ,则图中阴影部分表示的集合为 B. ( ?3, ?1) A. [ ?1,1) U M C. (?∞, ?3] U [?1, +∞ ) D. ( ?3,1] N 若点 P (cos α ,sin α ) 在直线 y = ?2 x 上,则 sin 2α + 2cos 2α = A. ?

3.

14 5

B. ?

7 5

C. ?2

D.

4 5

4.

已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, S n 是 {an } 的前 n 项和,且 9S3 = S6 ,则数列 { 项和为 A.

1 } 的前 5 an

85 32

B.

31 16

C.

15 8

D.

85 2

开始 T = 1, S = 0 输入x x ≤ 60?

5.

y2 设 F1 、 F2 分别是双曲线 x 2 ? = 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 9 uuur uuuu r uuur uuuu r PF1 ? PF2 = 0 ,则 PF1 + PF2 =
A. 2 2 B. 10 C. 4 2 D. 2 10



6.

是 S = S+ 1 在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折叠,其正视图和俯 视图如图所示. 此时连结顶点 B、D 形成三棱锥 B-ACD,则其侧视图的面积 T = T+ 1 为 否 T 12 12 > 1000? B. A. B A 正视图 5 25 是
D
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C

输出S
俯视图

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结束

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C. 7.

72 25

D.

144 25

某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为 x 分钟. 有 1000 名小学生参加了此项调查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是 680,则 平均每天做作业的时间在 0~60 分钟内的学生的频率是 A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32 8. 用 1、2、3、4、5、6 组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数 1、3、5 有且只有两个相邻, 则不同的排法种数为 A. 18 B. 108 C. 216 D. 432 1 9. 已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ( ?∞, 0] 上是减函数, f ( ) =2, 且 则不等式 f (log 4 x) > 2 的 2 解集为 1 A. (0, ) U (2, +∞) B. (2, +∞ ) 2 2 2 C. (0, D. (0, ) U ( 2, +∞) ) 2 2 10. 气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n 天

n
的维修保养费为

10

+ 4.9(n ∈ N*) 元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用
P N D A B C

的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 A. 600 天 B. 800 天 C. 1000 天 D. 1200 天 11. 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形,且 PD 垂直于 uuur 1 uuu r 底面 ABCD , PN = PB ,则三棱锥 P ? ANC 与四棱锥 3 P ? ABCD 的体积比为 A. 1:2 B. 1:3 C. 1:6

D. 1:8

12. 设 f ( x ) 的定义域为 D ,若 f ( x ) 满足下面两个条件,则称 f ( x ) 为闭函数. ① f ( x ) 在 D 内是单调函数;②存在 [ a, b ] ? D ,使 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域为 [ a , b ] . 如果 f ( x) = 2 x + 1 + k 为闭函数,那么 k 的取值范围是 A. ?1 < k ≤ ?

1 2

B.

1 ≤ k <1 2

C. k > ?1

D. k <1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 若命题“ ?x ∈ R, 2 x ? 3ax + 9 < 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是
2

.

14. 21 ×1 = 2, 22 ×1× 3 = 3 × 4, 23 × 1× 3 × 5 = 4 × 5 × 6, 24 ×1× 3 × 5 × 7 = 5 × 6 × 7 × 8, … 依此类推, 第 n 个等式为 15. 给出下列六种图象变换方法: 1 ①图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变; 2 ②图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变; .

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π π ③图象向右平移 个单位; ④图象向左平移 个单位; 3 3 2π 2π ⑤图象向右平移 个单位;⑥图象向左平移 个单位. 3 3 x π 请用上述变换中的两种变换,将函数 y = sin x 的图象变换到函数 y=sin( + )的图象,那么这 2 3 两种变换的序号依次是 (填上一种你认为正确的答案即可). ... 16. 已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F 与椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点重合,它们在 a2 b2
.

第一象限内的交点为 T ,且 TF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 在海岛 A 上有一座海拔 1km 的山峰,山顶设有一个观察站 P .有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午 11:00 时, 测得此船在岛北偏东 15° 、 俯角为 30° 的 B 处, 11:10 到 时,又测得该船在岛北偏西 45° 、俯角为 60° 的 C 处. (1) 求船的航行速度; (2) 求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离. 18. (本小题满分 12 分) A 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥ 平面 ABC ,
P 北 C A 东 B

A1

AB = BC = CA = AA1 , D 为 AB 的中点. D (1) 求证: BC1 ∥平面 DCA1 ; C1 C (2) 求二面角 D ? CA1 ? C1 的平面角的余弦值. B B1 19. (本小题满分 12 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测 试, 成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后, 分成 6 组画出频率分 布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28, 0.30.第 6 小组的频数是 7. (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中 毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不合格的人 ...
数,求 X 的分布列及数学期望; (3) 经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现甲、乙各投掷一次,求甲比乙投掷远 的概率. 20. (本小题满分 12 分)

3 3 x和y=? x 上的两个动 3 3 点,线段 AB 的长为 2 3 , D 是 AB 的中点. (1) 求动点 D 的轨迹 C 的方程. (2) 过点 N (1, 0) 作与 x 轴不垂直的直线 l ,交曲线 C 于 P 、 Q 两点,若在线段 ON 上存在点 M (m, 0) ,使得以 MP 、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形,试求 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)
已知 A 、 B 分别是直线 y = 已知函数 f ( x ) =

x ?1 . ex

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值;

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(2) 若函数 y = g ( x ) 对任意 x 满足 g ( x ) = f (4 ? x ) ,求证:当 x > 2 , f ( x) > g ( x); (3) 若 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,求证: x1 + x2 > 4. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E, E EF 垂直 BA 的延长线于点 F.求证: (1) ∠DEA = ∠DFA ; (2) AB2=BE ? BD-AE ? AC.
F A D

O

B

C 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相

? 同的长度单位,建立极坐标系. 设曲线 C 参数方程为 ? x = 3 cos θ ( θ 为参数) ,直线 l 的极 ? ? y = sin θ ?
坐标方程为 ρ cos(θ ? ) = 2 2 . 4 (1) 写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2) 求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知 f ( x) = 1 + x 2 ,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

π

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答案* 选择:ABCBDCDDABCA 非选择题 13.[ ? 2 2 ,2 2 ] 14.2n×1×3×……(2n-1)=(n+1)·…(2n-1)·2n 15.④② 16.

2 ?1
(2)

17.(1)2 21 km/h 18.证明略 19.(1)36 人 20.(1)

70 7

(2) (2) (0,

x2 + y2 = 1 9

8 ) 9

21.证明略 22.证明略

x2 23.(1) + y2 = 1 3

(2)3 2

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