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2015年高考第一轮复习数学:2.6 二次函数

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2.6 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法: y=ax2+bx+c;y=a(x-x1) (x-x2) ;y=a(x-x0)2+n. (2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值为 M,最小值 为 m,令 x0= 若- 1 (p+q). 2 b <p,则 f(p)=m,f(q)=M; 2a b b 若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a b b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- )=m; 2a 2a b 若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m. 2a ●点击双基 1.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,如果 f(x1)=f(x2) (其 中 x1≠x2) ,则 f( A.- C.c 解析:f( x1 ? x2 )等于 2 b a 4ac ? b 2 D. 4a B.- b 2a x1 ? x2 4ac ? b 2 b )=f(- )= . 4a 2 2a 答案:D 2.二次函数 y=x2-2(a+b)x+c2+2ab 的图象的顶点在 x 轴上, 且 a、b、c 为△ABC 的三边长,则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2 2 2 解析:y=[x-(a+b) ] +c +2ab-(a+b) =[x-(a+b) ]2+c2 -a2-b2. ∴顶点为(a+b,c2-a2-b2). 由题意知 c2-a2-b2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案:B 3.已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函 数,则 f(1)的范围是 A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25 解析:由 y=f(x)的对称轴是 x= ∞)上递增,由题设只需 m m ,可知 f(x)在[ ,+ 8 8 m ≤-2 ? m≤-16, 8 ∴f(1)=9-m≥25. 答案:A 4. 函数 f ( x ) =2x2 - 6x+1 在区间[- 1 , 1 ]上的最小值是 ___________,最大值是___________. 解析:f(x)=2(x- 3 2 7 )- . 2 2 当 x=1 时,f(x)min=-3;当 x=-1 时,f(x)max=9. 答案:-3 9 5.(2003 年春季上海)若函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b] 的图象关于直线 x=1 对称,则 b=__________. 解法一:二次函数 y=x2+(a+2)x+3 的图象关于直线 x=1 对称, a?2 =1.∴a=-4.而 f(x)是定义 2 a?b 在[a,b]上的,即 a、b 关于 x=1 也是对称的,∴ =1.∴b=6. 2 说明二次函数的对称轴为 1,即- 解法二:∵二次函数 y=x2+( a+2) x+3 的对称轴为 x=1,∴ f ( x)可表示为 f( x)=(x-1)2+c,与原二次函数的表达式比较对 应项系数,可得 a+2=-2.∴a=-4,b 的计算同解法一. 解法三:∵二次函数的对称轴为 x=1,∴有 f(x)=f(2-x) , 比较对应项系数,∴a=-4,b 的计算同解法一. 答案:6 ●典例剖析 【例 1】 设 x、y 是关于 m 的方程 m2-2am+a+6=0 的两个实根, 则(x-1)2+(y-1)2 的最小值是 A.-12 1 4 3 D. 4 B.18 C.8 剖析:由Δ =(-2a)2-4(a+6)≥0,得 a≤-2 或 a≥3. 于是有(x-1)2+(y-1)2=x2+y2-2(x+y)+2=(x+y)2-2xy -2(x+y)+2=(2a)2-2(a+6)-4a+2=4a2-6a-10=4(a- 2 3 ) 4 - 49 . 4 由此可知,当 a=3 时, (x-1)2+(y-1)2 取得最小值 8. 答案:C 深化拓展 Δ ≥0 是二次方程有实根的隐含条件. 【例 2】 (2004 年江苏,13)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的 部分对应值如下表: x y -3 6 -2 0 2 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 则不等式 ax +bx+c>0 的解集是______________. 解析:由表知 y=a(x+2) (x-3) ,又 x=0,y=-6,代入知 a=1. ∴y=(x+2) (x-3). 答案:{x|x>3 或 x<-2} 【例 3】 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与直线 y=25 有 公共点,且不等式 ax2+bx+c>0 的解是- 1 1 <x< ,求 a、b、c 的 2 3 取值范围. 解:依题意 ax2+bx+c-25=0 有解,故Δ =b2-4a(c-25)≥0. 又不等式 ax2+bx+c>0 的解是- 1 1 <x< , 2 3 1 1 b c ∴a<0 且有- =- , =- . 6 a 6 a 1 1 ∴b= a,c=- a. 6 6 ∴b=-c,代入Δ ≥0 得 c2+24c(c-25)≥0. ∴c≥24.故得 a、b、c 的取值范围为 a≤-144,b≤-24,c≥ 24. 评述:二次方程 ax2+bx+c=0,二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0) 与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象联系比较密切,要注意利用图象的直 观性来解二次不等式和二次方程的问题. ●闯关训练 夯实基础 1.下图所示为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,则|OA|·| OB|等于 y A O B x A. c a B.- D.无法确定 c a C.± c a 解析:|OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|=| c c |=- (∵a<0,c>0). a a 答案:B 2.已知 f(x)=x2-2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值 3

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