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利用数学归纳法解题举例

时间:2015-03-26

利用数学归纳法解题举例
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理 与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共 同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是 不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解 数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明 命题在 n=1(或 n 0 )时成立,这是递推的基础;第二步是假设在 n=k 时命题成立, 再证明 n=k+1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正 确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。 这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或 n≥n 0 且 n∈N)结论都正确”。由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳 的,属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时,关键是 n=k+1 时命题成立的推证,此步证明 要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控 解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数 n 有关的恒等式、代数不等 式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、 运用数学归纳法证明整除性问题
例 1.当 n∈N,求证:11n+1+122n-1 能被 133 整除。 证明:(1)当 n=1 时,111+1+1212×1-1=133 能被 133 整除。命题成立。 (2)假设 n=k 时,命题成立,即 11k+1+122k-1 能被 133 整除,当 n=k+1 时,
1/5

根据归纳假设,11k+1+122k-1 能被 133 整除。又

能被 133 整除。所

以,11(k+1)+122(k+1)-1 能被

133 整除,即 n=k+1 时,命题成立。 由(1),(2)命题时 n∈N 都成立。

点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质, 若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这 个数(或整式)整除。在由 n=k 时命题成立,证明 n=k+1 命题也成立时。要注 意设法化去增加的项,通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧。

二、

运用数学归纳法证明不等式问题

例 2.设 a n = 1×2 + 2×3 +…+ n(n ?1)

1 1)<a n < 2

(n+1) 2



(n∈N),证明: 1 n(n+ 2

【分析】与自然数 n 有关,考虑用数学归纳法证明。n=1 时容易证得,n=k

+1 时,因为 a k?1=a k + (k ?1)(k ? 2) ,所以在假设 n=k 成立得到的不等式中同

时加上 (k ?1)(k ? 2) ,再与目标比较而进行适当的放缩求解。

【解】 当 n=1 时,a n =

2 , 1 n(n+1)= 1 , 1

2

22

(n+1) 2 =2 ,

∴ n=1 时不等式成立。

假设当

n=k

时不等式成立,即:

1 2

k(k+1)<a

k

<

1 2

(k+1) 2



当 n=k+1 时, 1 k(k+1)+ 2

(k

? 1)( k

?

2)

<a

k ?1 <

1 2

(k+1)

2



(k ?1)(k ? 2) ,

1 k(k+1)+ (k ?1)(k ? 2) > 1 k(k+1)+(k+1)= 1 (k+1)(k+3)> 1 (k+1)(k+

2

2

2

2

2),

1 (k+1) 2 + (k ?1)(k ? 2) = 1 (k+1) 2 + k 2 ? 3k ? 2 < 1 (k+1) 2 +(k+ 3 )=

2

2

2

2

1 (k+2) 2 , 2

所以

1 2

(k+1)(k+2)

<a

k

<

1 2

(k+2)

2

,即

n=k+1

时不等式也成立。

综上所述,对所有的

n∈N,不等式

1 2

n(n+1)<a

n

<

1 2

(n+1)

2

恒成立。

2/5

【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,注意适当选用放缩法。 本题中分别将 (k ?1)(k ? 2) 缩小成(k+1)、将 (k ?1)(k ? 2) 放大成(k+ 3 )的两
2 步放缩是证 n=k+1 时不等式成立的关键。为什么这样放缩,而不放大成(k+2)。 这是与目标比较后的要求,也是遵循放缩要适当的原则。

三、

运用数学归纳法证明几何问题

例 3.平面内有 n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点.求证:这 n 条直线把平面分成 f(n)= n2 ? n ? 2 个部分.
2
解:(1)当 n=1 时,一条直线将平面分成两个部分,而 f(1) = 12 ? 1 ? 2 ? 2 , 2
∴命题成立. (2)假设当 n=k 时,命题成立,即 k 条直线把平面分成 f (k) = k 2 ? k ? 2 个部
2 分,则当 n=k+1 时,即增加一条直线 l,因为任何两条直线不平行,所以 l 与 k 条 直线都相交有 k 个交点;又因为任何三条不共点,所以这 k 个交点不同于 k 条直 线的交点,且 k 个交点也互不相同.如此这 k 个交点把直线 l 分成 k 十 1 段,每 一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加的平面分为 k+1.

∴n=k 十 1 时命题成立. 由(1),(2)可知,当 n∈N*时,命题成立.
四、 运用数学归纳法证明等式

例 4.是否存在常数 a,b,c,使等式



立。

3/5

证明:分别用 n=1,n=2,n=3 代入等式得:

再用数学归纳法证明,



即 13+23+33+……+n3= n2(n2+2n+1)。 (1)当 n=1 时,左边=右边=1,等式成立。 (2)假设 n=k 时(k≥1,k∈N)等式成立,则 n=k+1 时,

13+23+……+k3+(k+1)3= k2(k2+2k+1)+(k+1)3 (k+1)2[(k+1)2+2(k+1)+1]

(k+1)2(k2+4k+4)=

∴当 n=k+1 时,等式也成立。由(1),(2)可知,n∈N,原等式成立。

点评:这类开放型问题一般可采用 n 的特殊值,探求待定系数,然后再证明命 题成立。但证明方法不唯一,除数学归纳法外,有时还可使用其他方法。如本题 可先直接求的 13+23+33+……+n3 和。

五、利用数学归纳法证明数列问题



5.已知数列

8·1 12 ·32

,得,…,

(

2n

?

8·n 1)2 ·(2n

?

1)2

,…。S n 为其前

n

项和,

求 S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ,推测 S n 公式,并用数学归纳法证明。

【解】

计算得

S

1



8 9

,S

2



24 25

,S

3



48 49

,S

4



80 81



4/5

猜测

S

n



(2n ? (2n

1)2 ? ? 1)2

1

(n∈N)。

当 n=1 时,等式显然成立;

假设当

n=k

时等式成立,即:S

k



(2k ? (2k

1)2 ? ? 1)2

1





n=k+1

时,S

k

?1

=S

k



(2k

8·(k ? 1) ? 1)2 ·(2k ?

3)2

= (2k ? 1)2 ? 1 +

8·(k ? 1)

(2k ? 1)2 (2k ? 1)2 ·(2k ? 3)2

= (2k ? 1)2 ? (2k ? 3)2 ? (2k ? 3)2 ? 8·(k ? 1) (2k ? 1)2 ·(2k ? 3)2



(2k

? 1)2 (2k

? (2k ? 1)2

? 3)2 ? (2k ·(2k ? 3)2

?

1) 2



(2k ? 3)2 ? 1 (2k ? 3)2

,

由此可知,当 n=k+1 时等式也成立。 综上所述,等式对任何 n∈N 都成立。

【注】

把要证的等式

S

k

?1



(

2k ? (2k

3)2 ? ? 3)2

1

作为目标,先通分使分母含有(2k+

3) 2 ,再考虑要约分,而将分子变形,并注意约分后得到(2k+3) 2 -1。这样证 题过程中简洁一些,有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发, 用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是关于探索性 问题的常见证法,在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明, 结论不一定正确,即使正确,解答过程也不严密。必须要进行三步:试值 → 猜 想 → 证明。

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