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2.2 极坐标系与直角坐标的互化1 课件 (人教A版选修4-4)

时间:2014-08-30


复习一、极坐标系:
在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向(通常取逆时针 O 方向)。

X

这样就建立了一个极坐标系。

复习二、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况 P
[1]给定(?,?),就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M,但却 有无数个极坐标与之对应。
原因在于:极角有无数个。
如果限定ρ>0,0≤θ<2π
M O (ρ,θ)… X

那么除极点(?=0,?可以取任意值)外,平 面内的点和极坐标就可以一一对应了。

[1]建立一个极坐标系需要哪些要素

极点;极轴;长度单位;角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式? 无数,极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式?

有。(ρ,2kπ+θ)

2.极坐标和直角坐标的互化

思考 平面内的一点既可以用 直 角 坐 标 表示 , 也可以用极坐 标表示 .那么 , 这两种坐标之间 有什么关系呢 ?

极坐标和直角坐标的互化

平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )

这个点如何用极坐标表示?

在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位

y

M (1, 3)

θ
O
x

点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)

M ( 2, ∏ / 3)

?? 1 ? ( 3 )?2
2 2

3 tan? ? ? 3 1

在直角坐标系中, 以原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标 系中取相同的长度单位

设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x
2 2 2

y

M

?

y
N

x=ρcosθ, y=ρsinθ

?
O

x

x

图1 ? 14

互化公式的三个前提条件:
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半

轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.

例1. 将点M的极坐标

2? (5, ) 3

5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( ? , 2 2

化成直角坐标. 2? 5 ?? 解: x ? 5 cos 3 2 2? 5 3 y ? 5 sin ? 3 2

例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
2 2

(? 3, ?1)

(? 1 )?2 解: ? ? ( ? 3 ) ?
?1 3 tan? ? ? ? 3 3 7? 因为点在第三象限, 所以 ? ? 6 7? 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6

π π 例3 已知两点(2, ),(3, )
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.

3

π 解:∠AOB =
6

B
A

2

推广: 在极坐标下,任意两点P 1 ( ?1 , ?1 ), P 2 ( ?2 ,? 2 )

o

x

之间的距离可总结如下:
2 2 PP ? ? ? ? 1 2 1 2 ? 2 ?1 ? 2 cos(?1 ? ? 2 )

12页练习3:

小结:直角坐标与极坐标互化公式

y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x
2 2 2

y

M

x=ρcosθ, y=ρsinθ
O

?

y
N

?

x

x

图1 ? 14

作业:12页4,5

思考:极坐标系中,点A的极坐标是(3, ) 6

?

11? (3, ) (1)点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7? (3, ) (2)点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5? ? (3, ) (3)点A关于直线 ?= 的对称点的极坐标是_______ 6 2

对称性

( ? ,? )关于极轴的对称点为 ( ? ,2? ? ? )

关于极点的对称点为 (?,? ? ? )
关于过极点且垂直与极 轴的直线的对称点 为( ? , ? ? ? )


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