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北京大学附中2014届高三数学一轮复习 圆锥曲线与方程单元训练

时间:2014-02-23


北京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:圆锥曲线与方程
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 F 为抛物线 y ? ?

1 2 x 的焦点,与抛物线相切于点 P(-4,-4)的直线 l 与 x 轴的交点 4
) C.60° D.90°

为 Q,则 ?PQF 等于( A.30° 【答案】D 2.已知双曲线

B.45°

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, a 2 b2 ????? ???? ???? ? F1 F2 在 F1 P 上的投影的大小恰好为 | F1 P | 且它们的夹角为 ,则双曲线的离心率 e 为 6
) A.

(

2 ?1 2

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

【答案】C

y2 ? 1 长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积 3.若双曲线的顶点为椭圆 x ? 2
2

为 1,则双曲线的方程是( A. x ? y ? 1
2 2 2

)
2

B. y ? x ? 1

C. x ? y ? 2
2 2

D. y ? x ? 2
2 2

【答案】D 4.在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x2 ? 2 的两点,过这两点引一条割 线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点的 坐标为( ) A. (?2, ?9) B. (0, ?5) C. (2, ?9) D. (1, ?6) 【答案】A 5.抛物线 y ? 2 x 的准线方程是(
2

)

A. x ? ?

1 2

B. y ? ?

1 2

C. x ? ?

1 8

D. y ? ?

1 8
)

【答案】D 6.椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为 x=-4 ,则该椭圆的方程为( A.

x2 y2 + =1 16 12 x2 y2 + =1 8 4

B.

x2 y2 + =1 12 8 x2 y2 + =1 12 4

C.

D.

1

【答案】C 7.双曲线

x2 y2 1? 5 ,点 A 与 F 分别是双曲线的左顶 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b
) C.90° D.120°

点和右焦点,B(0,b) ,则∠ABF 等于( A.45° B.60° 【答案】C
2 8.方程 x= 1 ? ( y ? 1) 所表示的曲线是(

)

A.四分之一圆 C.半个圆 【答案】C

B.两个圆 D.两个半圆

9.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A.B,交其准线于点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为( )

3 x 2 9 C. y 2 ? x 2 【答案】B

A. y 2 ?

B. y 2 ? 3 x D. y 2 ? 9 x

10.抛物线 y ? ?4 x
2

的准线方程是( B. y ? ?1

) C. x ? 1 D. x ? ?1

A. y ? 1 【答案】C

11.已知 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,F 是抛物线的焦点,定点 A(4,1),则|PA|+|PF|的
2

最小值为( A. 5

) B. 2 C.

17

D.

10
)

【答案】A 2 2 12.动点在圆 x +y =1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点轨迹方程是( 2 2 2 2 A. (x+3) +y =4 B. (x-3) +y =1 3 2 2 2 2 1 C. (2x-3) +4y =1 D. (x+ ) +y = 2 2 【答案】C

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

2

13. 设 F1, F2 分别是以曲线

x2 y2 右焦点。 若双曲线上存在点 A, 使 ?F1 AF2 ? 90? , ? ? 1 的左、 a 2 b2


且 | AF1 |? 3 | AF2 | ,则双曲线离心率=

【答案】

10 2


14.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是 【答案】 ?1, ?

5 2
2 2

15.已知双曲线 C: x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点、右焦点分别为 A、F,它的左准线与 x 轴 a b 的交点为 B,若 A 是线段 BF 的中点,则双曲线 C 的离心率为____________. 【答案】 2 ? 1 16. 抛物线 C 的顶点在原点, 对称轴为 y 轴, 若过点 M(0,1)任作一条直线交抛物线 C 于 A(x1, y1),B(x2,y2),且 x1x2=-2,则抛物线 C 的方程为____________。 2 【答案】x =2y 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

C:
17.已知椭圆

x2 y2 1 ? 2 ?1 2 a b 经过点(0, 3 ) ,离心率为 2 ,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点

F 交椭圆于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 x=4 上的射影依次为点 D、K、E. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

???? ??? ? ???? ??? ? MA ? ? AF , MB ? ? BF (Ⅱ)若直线 l 交 y 轴于点 M,且 ,当直线 l 的倾斜角变化时,探
求 ? ? ? 的值是否为定值?若是,求出 ? ? ? 的值,否则,说明理由; (Ⅲ)连接 AE、BD,试探索当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点?若是, 请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.

【答案】 (Ⅰ)依题意得 b= 3 , e ? ∴ 椭圆 C 的方程
x2 y2 ? ? 1. 4 3

c 1 2 2 2 ? , a ? b ? c ,∴ a=2,c=1, a 2

3

(Ⅱ)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在,设直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,求得 l 与 y 轴交 于 M(0,-k),又 F 坐标为 (1,0),设 l 交椭圆于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由? ? x2

? y ? k ( x ? 1),

消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , y2 ? 1, ? ? ?4 3

? x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又由 MA ? ? AF , ∴ ( x1 , y1 ? k ) ? ? (1 ? x1 , ? y1 ) ,

?? ?

x1 x , 同理? ? ? 2 , 1 ? x1 1 ? x2 x1 x x ? x ? 2 x1 ? x2 , ? 2 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2

?? ? ? ?

8 8k 2 /(3 ? 4k 2 ) ? 2 (4k 2 ? 12)/(3 ? 4 k 2 ) ?? ? 2 2 2 2 3 1 ? 8k /(3 ? 4k ) ? (4k ? 12)/(3 ? 4k )
8 . 3 (Ⅲ)当直线 l 斜率不存在时,直线 l⊥x 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相
所以当直线 l 的倾斜角变化时, ? ? ? 的值为定值 ? 交于 FK 的中点 N ?

?5 ? ?5 猜想, 当直线 l 的倾斜角变化时, AE 与 BD 相交于定点 N ? , 0 ? ,0? , ?, ?2 ? ?2 ?

证明:由(Ⅱ)知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,? D(4, y1 ), E (4, y2 ) , 当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 AE 过定点 N ? , 0 ? ,

?5 ?2

? ?

? l AE : y ? y2 ?

y2 ? y1 ? ( x ? 4) , 4 ? x1

当x?

5 y ? y1 ? 3 ? 2(4 ? x1 ) ? y2 ? 3( y2 ? y1 ) 时, y ? y2 ? 2 ? ? ?? 2 4 ? x1 ? 2(4 ? x1 ) ? 2?

?

2(4 ? x1 ) ? k ( x 2 ? 1) ? 3k ( x 2 ? x1 ) ?8k ? 2kx1 x2 ? 5k( x1 ? x2 ) ? 2(4 ? x1 ) 2(4 ? x1 )
? 8k (3 ? 4k 2 ) ? 2k (4k 2 ? 12) ? 5k ? 8k 2 ? 0. 2(4 ? x1 ) ? (3 ? 4k 2 )

?

4

∴点 N ? , 0 ? 在直线 l AE 上,同理可证,点 N ? , 0 ? 也在直线 l BD 上; ∴当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 ? , 0 ? ?,

?5 ?2

? ?

?5 ?2

? ?

?5 ?2

?

18. 已知双曲线 . (1)求双曲线的方程;

的右焦点是 F, 右顶点是 A, 虚轴的上端点是 B,



(2)设 Q 是双曲线上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若 直线 l 的斜率. 【答案】 (1)由条件知 , ,

,求





,代入

中得







.故双曲线的方程为 ,∴可设直线 l 的方程为 ,即 .设

. , 得

(2)∵点 F 的坐标为 令 ,得

,则由

,即

,即



,∴

,得





故直线 l 的斜率为



19.已知椭圆

x2 y 2 1 ? =1 ( a ? 3 )的离心率 e ? . 直线 2 a 3 2
,圆心为 .



)与曲线

交于

不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆

5

⑴求椭圆

的方程; ⑵若圆



轴相交于不同的两点

,且

的面积为

5 , 2

求圆

的标准方程.

【答案】(1)∵椭圆 .

的离心率

,



.

解得

∴ 椭圆

的方程为



(2)依题意,圆心为







.

∴ 圆

的半径为



∵ 圆



轴相交于不同的两点

,且圆心



轴的距离





,即



∴ 弦长 . ∴ 的面积 .

.

∴ 圆

的标准方程为
2

20.过 x 轴上动点 A(a,0) 引抛物线 y ? x ? 1 的两条切线 AP 、 AQ , P 、 Q 为切点. (1)若切线 AP , AQ 的斜率分别为

k1



k2

,求证:

k1 ? k2

为定值,并求出定值;

(2)求证:直线 PQ 恒过定点,并求出定点坐标;

? 最小时,求 AQ ? AP 的值. (3)当 ??? | PQ |

S ?APQ

???? ??? ?

6

【答案】 (1) y ' ? 2 x , l AP : y ? 2 x p ( x ? a) , 即 y p ? 2 x p ( x p ? a ) ,即 y p ? 2 x p a ? 2 , 同理 yQ ? 2 xQ a ? 2 ,所以 lQP : y ? 2 xa ? 2 。联立 PQ 的直线方程和抛物线方程可得:

x2 ? 2 xa ? 1 ? 0 ,所以 x p xQ ? ?1, x p ? xQ ? 2a ,所以 k1 ? k2 ? 2 x p ? 2 xQ ? ?4
(2)因为 lQP : y ? 2 xa ? 2 ,所以直线 PQ 恒过定点 (0, 2) (3) S?APQ ? PQ ?

S ?APQ d 2a 2 ? 2 a2 ? 1 d 2 ? ? ? ? ,所以 ??? ,设 t ? 4a ? 1 ? 1 , 2 2 2 | PQ | 2 2 4a ? 1 4a ? 1

? ? 所以 ???

S ?APQ

| PQ | ???? ??? ? ? ( x p ? a, y p ) ? ( xQ ? a, yQ ) ? x p xQ ? a( x p ? xQ ) ? a 2 ? y p yQ AQ ? AP 因为
因为 y p yQ ? (2 x p a ? 2)(2 xQ a ? 2) ? 4a x p xQ ? 4 ? 4a( x p ? xQ ) ? 4a ? 4
2 2

t2 ? 3 3 2 ,当且仅当 t ? 3 取等号,即 a ? ? 。 ? 2 4t 2

所以 AQ ? AP ? 3a 2 ? 3 ?

???? ??? ?

9 2S
?2 3 ? ? ? 3 , 0 ? ,渐近线方程为 y ? ? 3x . ? ?

21.双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F ? (Ⅰ)求双曲线 C 的方程;

(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB 为直 径的圆过原点。 【答案】 (Ⅰ)易知 双曲线的方程是 3x ? y ? 1 .
2 2

(Ⅱ)① 由 ?
2

? y ? kx ? 1, ?3 x ? y ? 1,
2 2

得 3? k

?

2

?x

2

? 2kx ? 2 ? 0 ,

由 ? ? 0, 且3 ? k ? 0 ,得 ? 6 ? k ?

6, 且 k ? ? 3 .

7

设 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? ,因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB ,所以

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
又 x1 ? x2 ?

?2k 2 , x1 x2 ? 2 , 2 k ?3 k ?3
2

所以 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1 , 所以

2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1. k ?3
2

22.已知椭圆

,经过点(3,—2)与向量(—1,1)平行的直

线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 M 点,又 (I)求椭圆 C 长轴长的取值范围;

(II)若

,求椭圆 C 的方程. 点.

【答案】 (I)设直线 l 与椭圆 C 交于 由





由韦达定理,知

得 对方程①由

④ ⑤

将④代入⑤,得意 又由 及④,得

因此所求椭圆长轴长的取值范围是 (II)由(I)中②③得,

8

⑥ 联立④⑥,解得

∴椭圆 C 的方程为

9


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