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【名师解析】陕西省西安市西北工业大学附中2015届高三上学期第一次适应性训练数学试卷(理科) (1)

时间:2015-04-11


陕西省西安市西北工业大学附中 2015 届高三 (上) 第一次适应性训练数学试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设全集为实数集 R,M={x|x >4},N={x|1<x≤3},则图中阴影部分表示的集合是(
2



A. {x|1﹣2≤x<1} B. {x|﹣2≤x≤2} C. {x|1<x≤2} D. {x|x<2} 【考点】 : Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 根据阴影部分可知,元素是由属于 N,但不属于 M 的元素构成. 【解析】 : 解:由图象可知,阴影部分的元素由属于 N,但不属于 M 的元素构成, 结合集合的运算可知阴影部分的集合为(?UM)∩ N. 2 ∵M={x|x >4}={x|x>2 或 x<﹣2}, ∴?UM={x|﹣2≤x≤2}, ∵N={x|1<x≤3}, ∴(?UM)∩ N={x|1<x≤2} 故选:C. 【点评】 : 本题主要考查利用 Venn 图表示集合的方法,比较基础. 2. (5 分)设 a∈R,i 是虚数单位,则“a=1”是“ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 根据纯虚数实数为 0,虚部不为 0,结合充要条件的定义,判断“a=1”与“ 得答案. 【解析】 : 解:∵ = , 为纯虚数”的充要关系,可 为纯虚数”的( )

∴“

为纯虚数”?“a=±1”, 为纯虚数”的充分不必要条件,

故“a=1”是“

故选:A. 【点评】 : 本题考查的知识点是充要条件,熟练掌握充要条件的定义是解答的关键. 3. (5 分)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣π<φ<π)图象的一部分(如图所示) ,则 ω 与 φ 的值分别为 ( )

A.

,﹣

B. 1,﹣

C.

,﹣

D.

,﹣

【考点】 : 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : 由 f(0)=﹣1,﹣π<φ<π,可求得 φ=﹣ ( , ) ;分 φ=﹣ 与 φ=﹣ 或 φ=﹣ ;利用 T= > ,且 T< ,可求得 ω∈

讨论,即可求得答案.

【解析】 : 解:∵f(0)=2sinφ=﹣1, ∴sinφ=﹣ ,又﹣π<φ<π, ∴φ=﹣ 或 φ=﹣ > ; ,且 T= × < ,

由图知,T= ∴ 又 <ω< ; ω+φ=π,

∴当 φ=﹣ 当 φ=﹣

时, 时,由

ω+φ=π,解得 ω= ω﹣ ,﹣ =π,得 ω= .

?( ∈(

, ) ,舍去; , ) .

∴ω 与 φ 的值分别为:

故选:A. 【点评】 : 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查识图与运算求解、等价转化思想与分类讨 论思想的综合应用,属于中档题. 4. (5 分)直线(a+1)x+(a﹣1)y+2a=0(a∈R)与圆 x +y ﹣2x+2y﹣7=0 的位置关系是( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
2 2



【考点】 : 直线与圆的位置关系. 【专题】 : 直线与圆. 2 2 【分析】 : 把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径 r,求出圆心到直线的距离 d,再根据 r ﹣d >0,可得 d<r, 可得直线和圆相交. 2 2 2 2 【解析】 : 解:圆 x +y ﹣2x+2y﹣7=0,即 (x﹣1) +(y+1) =9,表示以(1,﹣1)为圆心、半径等于 3 的圆. 圆心到直线的距离 d= = .

再根据 9﹣d =9﹣

2

=

,而 7a ﹣4a+7 的判别式△=16﹣196=﹣180<0,

2

故有 9>d ,即 d<3,故直线和圆相交, 故选:B. 【点评】 : 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现了转化的数学思想,属于基础题. 5. (5 分)如果执行如图的算法语句输出结果是 2,则输入的 x 值是( )

2

A. 0 B. 0 或 2 C. 2 D. ﹣1 或 2 【考点】 : 伪代码;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 由题意,算法语句是求函数 y= 的值,由算法语句输出结果是 2,可得结论.

【解析】 : 解:由题意,算法语句是求函数 y= 则 2 +1=2(x<1)或 x ﹣x=2(x≥1) ,解得 x=0 或 x=2. 故选 B.
x 2

的值,算法语句输出结果是 2,

【点评】 : 本题考查伪代码,考查学生的计算能力,确定算法语句是求函数 y=

的值是关键.

6. (5 分)若△ABC 的内角 A、B、C 满足 sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cosB=( A. B. C. D.



【考点】 : 余弦定理;正弦定理. 【专题】 : 计算题;不等式的解法及应用. 【分析】 : 由题意利用正弦定理,推出 a,b,c 的关系,然后利用余弦定理求出 cosB 的值. 【解析】 : 解:△ABC 的内角 A,B,C 满足 sinA:sinB:sinC=2:3:4, 由正弦定理可得 a:b:c=2:3:4, 则令 a=2x,则 b=3x,c=4x, 2 2 2 由余弦定理:b =a +c ﹣2accosB, 可得 cosB= = = ,

故选:D. 【点评】 : 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,考查计算能力,常考题型.

7. (5 分)已知向量 , 满足| |=3,| |=2

,且 ⊥( + ) ,则 在 方向上的投影为(



A. 3 B.

C. ﹣

D. ﹣3

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 由于 ⊥( + ) ,可得 ?( + )=0,解得 =﹣ 利用 在 方向上的投影= =即可得出.

【解析】 : 解:∵ ⊥( + ) , ∴ ?( + )= ∴ =﹣ =﹣9. = =﹣3. =0,

∴ 在 方向上的投影=

故选:D. 【点评】 : 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影,属于基础题. 8. (5 分) (2014?南海区模拟)某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是 边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )

A.

B.

C. 6 D . 4

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 根据三视图,还原成几何体,再根据长度关系,即可求得几何体的体积 【解析】 : 解:由三视图知,原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥 其中正方体的棱为 2,正四棱柱的底面边长为正方体的上底面,高为 1 ∴原几何体的体积为 故选 A 【点评】 : 本题考查三视图,要求能把三视图还原成原几何体,有比较好的空间想象力,能根据三视图找到原几何 体中的垂直平行关系和长度关系.属简单题 9. (5 分) (2012?海淀区二模)为了得到函数 y=log2 的图象,可将函数 y=log2x 的图象上所有的点的( )

A. 纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度

B. 纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 【考点】 : 函数的图象与图象变化. 【专题】 : 压轴题;函数的性质及应用. 【分析】 : 把给出的函数 y=log2 【解析】 : 解:函数 y=log2 = 变形为 y= ,从而看到函数自变量和函数值的变化. ,所以要得到函数 y=log2 的图象,可将函数 y=log2x

的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度. 故选 A. 【点评】 : 本题考查了函数的图象与图象变化, 解答此类问题的关键是看自变量 x 发生了什么变化, 然后再根据“左 加右减”的原则,是易错题.

10. (5 分)已知函数 f(x)= {an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是( )

, (a>0,且 a≠1) ,若数列{an}满足 an=f(n) , (n∈N ) ,且

+

A. (0,1) B. [ ,3) C. (1,3) D. (2,3)

【考点】 : 数列的函数特性. 【专题】 : 点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】 : 已知函数 f(x)= , (a>0,且 a≠1) ,若数列{an}满足 an=f(n) , (n∈N ) ,且
+

{an}是递增数列,可得函数 f(x)=

, (a>0,且 a≠1)为增函数,而且根据分段函数的性

质,可得函数在各段上均为增函数,根据一次函数和指数函数单调性,我们易得 a>1,且 3﹣a>0,且 f(2)<f (3) ,由此构造一个关于参数 a 的不等式组,解不等式组即可得到结论. 【解析】 : 解:因为函数 f(x)= 且{an}是递增数列, 所以 1<a<3 且 f(2)<f(3) , 2 因此 2(3﹣a)+2<a , 解得 a<﹣4 或 a>2, 所以实数 a 的取值范围是(2,3) . 故选:D. 【点评】 : 本题主要考查了分段函数, 属于中档题, 解答此题的关键是分析出函数 ( f x) = (a>0,且 a≠1)为增函数,而且结合分段函数的性质,可得函数在各段上均为增函数. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. , , (a>0,且 a≠1) ,数列{an}满足 an=f(n) , (n∈N ) ,
+

11. (5 分)某商场在销售过程中投入的销售成本 x 与销售额 y 的统计数据如表: 销售成本 x(万元) 3 4 6 7 销售额 y(万元) 25 34 49 56 根据上表可得,该数据符合线性回归方程:y=bx﹣9.由此预测销售额为 100 万元时,投入的销售成本大约为 10.9 万元 . 【考点】 : 线性回归方程. 【专题】 : 计算题;概率与统计. 【分析】 : 由题意, = 【解析】 : 解:由题意, = = =41; =5; = =5; =41;代入 y=bx﹣9 可得 b=5;再令 y=100 求 x 即可.

故 41=5b﹣9; 故 b=10; 故当 y=100 时,100=10x﹣9; 解得 x=10.9; 故答案为:10.9 万元. 【点评】 : 本题考查了线性回归方程的求法与应用,属于基础题. 12. (5 分)若函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x +x f′ (1) ,则
3 2

= ﹣4 .

【考点】 : 定积分. 【专题】 : 导数的概念及应用. 【分析】 : 先根据导数的运算法则求导,再求出 f′ (1)=﹣3,再根据定积分的计算法计算即可. 【解析】 : 解:∵f(x)=x +x f′ (1) , 2 ∴f′ (x)=3x +2xf′ (1) , ∴f′ (1)=3+2f′ (1) , ∴f′ (1)=﹣3, 3 2 ∴f(x)=x ﹣3x , ∴ =( )| =4﹣8=﹣4,
3 2

故答案为:﹣4. 【点评】 : 本题主要考查了导数的运算法则和定积分的计算,属于基础题. 13. (5 分)如果长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点都在半径为 3 的球的球面上,那么该长方体表面积的最大值等于 72 . 【考点】 : 棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 设出长方体的三度,求出长方体的对角线的长就是确定直径,推出长方体的表面积的表达式,然后求出 最大值. 【解析】 : 解:设长方体的三度为:a,b,c,球的直径就是长方体的对角线的长, 2 2 2 2 2 2 2 由题意可知 a +b +c =6 =36,长方体的表面积为:2ab+2ac+2bc≤2a +2b +2c =72;当 a=b=c 时取得最大值,也就是 长方体为正方体时表面积最大. 故答案为:72.

【点评】 : 本题考查长方体的外接球的知识,长方体的表面积的最大值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力; 注意利用基本不等式求最值时,正、定、等的条件的应用. 14. (5 分)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b = 123 . 【考点】 : 类比推理;等差数列的通项公式. 【专题】 : 规律型. 【分析】 : 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,所求值为数列中的第十项.根据数列的递推规律求解. 【解析】 : 解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…, 其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项. 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为 123, 即 a +b =123, . 故答案为:123. 【点评】 : 本题考查归纳推理,实际上主要为数列的应用题.要充分寻找数值、数字的变化特征,构造出数列,从 特殊到一般,进行归纳推理. 三、 【选修 4-5 不等式选讲】 (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) 15. (5 分)若 x,y 为正整数,满足 =1,则 x+y 的最小值为 36 .
10 10 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

【考点】 : 基本不等式. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 利用基本不等式即可求得答案. 【解析】 : 解:∵x,y 为正整数,满足 ∴x+y=(x+y)?( + )=4+16+ + =1, ≥36(当且仅当 x=12,y=24 时取“=”)

故答案为:36. 【点评】 : 本题考查基本不等式,考查整体代换思想,属于中档题. 四、 【几何证明选做题】 (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 16. (2014?郴州二模) 如图, AB 是半圆 O 的直径, 点 C 在半圆上, CD⊥AB, 垂足为 D, 且 AD=5DB, 设∠COD=θ, 则 tanθ 的值为 .

【考点】 : 直角三角形的射影定理. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 求 tanθ 的值,可转化为解三角形 OCD,根据相交弦定理,不难求出 CD 与半径的关系,根据已知也很 容易出出 OD 与半径的关系. 【解析】 : 解:令圆 O 的半径为 R,即 OA=OB=OC=R ∵AD=5DB∴OD= R,AD= R,BD= R

由相交弦定理可得:CD =AD?BD= ∴CD=

2

∴tanθ=

=

故答案为: 【点评】 : 如果题目中出现有一条弦(特别是直径) ,被分成成比例的两条线段时,可考虑使用相交弦定理.如果 该弦为直径,则还可以结合垂径定理进行解答. 五、 【坐标系与参数方程选做题】 (共 1 小题,每小题 0 分,满分 0 分) 17. 圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=4cosθ, ρ=﹣4sinθ, 则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 x﹣y+2=0



【考点】 : 简单曲线的极坐标方程. 【专题】 : 坐标系和参数方程. 【分析】 : 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出它们的圆心坐标,再用截距式式求的经过两圆圆心的直线方程. 【解析】 : 解:∵圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=4cosθ,ρ=﹣4sinθ, 2 2 2 2 ∴它们的直角坐标方程分别为 (x﹣2) +y =4,x +(y+2) =4. 故这两个圆的圆心分别为(2,0) 、 (0,﹣2) , 再用截距式式求的经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 + =1,即 x﹣y+2=0,

故答案为:x﹣y+2=0. 【点评】 : 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,用截距式求直线的方程,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 18. (12 分)已知数列{an}的各项都是正数,前 n 项和是 Sn,且点(an,2Sn)在函数 y=x +x 的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn.

【考点】 : 数列的求和;数列递推式. 【专题】 : 综合题;等差数列与等比数列. 【分析】 : (Ⅰ)由点(an,2Sn)在函数 y=x +x 的图象上,可得 2Sn=an +an,递推得 2Sn﹣1=an﹣1 +an﹣1(n≥2) ,两 式相减整理可得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0,由 an+an﹣1≠0,可知 an﹣an﹣1=1,符合等差数列的定义,即可求数列 {an}的通项公式; (Ⅱ)求出 bn= = ﹣ ,即可求 Tn.
2 2 2 2

【解析】 : 解: (Ⅰ)∵点(an,2Sn)在函数 y=x +x 的图象上, 2 ∴2Sn=an +an, 2 ∴2Sn﹣1=an﹣1 +an﹣1(n≥2) . 2 2 两式相减得 2an=an ﹣an﹣1 +an﹣an﹣1. 整理得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, ∵an+an﹣1≠0, ∴an﹣an﹣1=1(常数) . ∴{an}是以 1 为公差的等差数列. 2 2 又 2S1=a1 +a1,即 a1 ﹣a1=0,解得 a1=1,

∴an=1+(n﹣1)×1=n; (Ⅱ)2Sn=n +n,∴bn=
2

= ﹣

, )=1﹣ =

∴Tn=b1+b2+…+bn=(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣

【点评】 : 本题主要考查数列与函数,涉及了等差数列通项及前 n 项和,正确运用裂项法是关键. 19. (12 分)已知锐角△ABC 中的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,定义向量 ,且 (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)如果 b=4,求△ABC 的面积的最大值. 【考点】 : 平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 【专题】 : 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 【分析】 : (Ⅰ)由 ,得 =0,即(2sinB, )?(cosB,cos2B)=0,利用正弦倍角公式、和差角公式 .

可求得 B 值; 2 2 (Ⅱ)利用余弦定理可得 16=a +c ﹣ac,利用基本不等式可得 ac 的最大值,从而可得△ABC 的面积的最大值; 【解析】 : 解: (Ⅰ) 因为 ,所以 =0,即(2sinB, , )?(cosB,cos2B)=0,

所以 2sinBcosB+ cos2B=sin2B+ cos2B=2sin(2B+60°)=0, 又△ABC 为锐角三角形,所以 2B+60°=180°,解得 B=60°; (Ⅱ)由余弦定理得,b =a +c ﹣2accos60°,即 16=a +c ﹣ac, 2 2 则 16=a +c ﹣ac≥2ac﹣ac=ac,当且仅当 a=c 时取等号, 所以△ABC 的面积 ,
2 2 2 2 2

所以△ABC 的面积的最大值是 4 . 【点评】 : 本题考查平面向量数量积的运算、两角和与差的正弦函数,考查基本不等式求函数最值. 20. (12 分) (2012?辽宁)如图,直三棱柱 ABC﹣A′ B′ C′ ,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′ ,点 M,N 分别为 A′ B 和 B′ C′ 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ ACC′ ; (Ⅱ)若二面角 A′ ﹣MN﹣C 为直二面角,求 λ 的值.

【考点】 : 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 【专题】 : 计算题;证明题;转化思想.

【分析】 : (I)法一,连接 AB′ 、AC′ ,说明三棱柱 ABC﹣A′ B′ C′ 为直三棱柱,推出 MN∥AC′ ,然后证明 MN ∥平面 A′ ACC′ ; 法二,取 A′ B′ 的中点 P,连接 MP、NP,推出 MP∥平面 A′ ACC′ ,PN∥平面 A′ ACC′ ,然后通过平面与平面平 行证 MN∥平面 A′ ACC′ . (II)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB、AC、AA′ 为 x,y,z 轴,建立直角坐标系,设 AA′ =1,推出 A,B,C, A′ , B′ , C′ 坐标求出 M, N, 设 = (x1, y1, z1) 是平面 A′ MN 的法向量, 通过 , 取 ,

设 =(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,由

,取

,利用二面角 A'﹣MN﹣C

为直二面角,所以

,解 λ.

【解析】 : (I)证明:连接 AB′ 、AC′ , 由已知∠BAC=90°,AB=AC, 三棱柱 ABC﹣A′ B′ C′ 为直三棱柱, 所以 M 为 AB′ 中点, 又因为 N 为 B′ C′ 的中点, 所以 MN∥AC′ , 又 MN?平面 A′ ACC′ , 因此 MN∥平面 A′ ACC′ ; 法二:取 A′ B′ 的中点 P,连接 MP、NP, M、N 分别为 A′ B、B′ C′ 的中点, 所以 MP∥AA′ ,NP∥A′ C′ , 所以 MP∥平面 A′ ACC′ ,PN∥平面 A′ ACC′ , 又 MP∩ NP=P,因此平面 MPN∥平面 A′ ACC′ , 而 MN?平面 MPN, 因此 MN∥平面 A′ ACC′ . (II)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB、AC、AA′ 为 x,y,z 轴,建立直角坐标系,如图, 设 AA′ =1,则 AB=AC=λ,于是 A(0,0,0) ,B(λ,0,0) ,C(0,λ,0) ,A′ (0,0,1) ,B′ (λ,0,1) ,C′ (0,λ,1) . 所以 M( ) ,N( ) ,

设 =(x1,y1,z1)是平面 A′ MN 的法向量,



,得



可取



设 =(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,



,得



可取



因为二面角 A'﹣MN﹣C 为直二面角, 所以 ,
2

即﹣3+(﹣1)×(﹣1)+λ =0, 解得 λ= .

【点评】 : 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法, 并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以 通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明. 21. (12 分)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得 到如下的 2×2 列联表:已知从全部 210 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . (Ⅰ)请完成下面的 2×2 列联表,并判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关”; (Ⅱ)从全部 210 人中有放回抽取 3 次,每次抽取 1 人,记被抽取的 3 人中的优秀人数为 ξ,若每次抽取的结果是 相互独立的,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 优秀 非优秀 总计 甲班 20 乙班 60 合计 210 附:x = P=(x ≥k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 【考点】 : 独立性检验;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (I)假设 H0:“成绩与班级无关”.由于从全部 210 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 ,可得优秀的人
2 2 2

数=
2

.即可得到乙班优秀的人数,甲班非优秀的人数,利用 K =

计算

出 K 与 6.635 比较即可得出结论. (II)由题意可知:ξ~B(3, ) ,即可得出其分布列和数学期望. 【解析】 : 解: (I)假设 H0:“成绩与班级无关”. ∵从全部 210 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 ,

∴优秀的人数=

=60.

∴乙班优秀的人数=60﹣20=40, 甲班非优秀的人数=210﹣60﹣60=90. ∴K = ∴P(K ≥6.635)≈0.01. 因此假设不成立. 故认为“成绩与班级有关”; (II)由题意可知:ξ~B(3, ) . ∴P(ξ=i)= ∴Eξ= = . (i=0,1,2,3) .
2 2

=12.218>6.635,

【点评】 : 本题考查了独立性检验、二项分布列及其数学期望,属于中档题. 22. (13 分)已知函数 f(x)=ax +1(a>0) ,g(x)=x +bx. (1)若曲线 y=g(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b,c 的值; (2)当 a +b=0 时,求函数 f(x)+g(x)在区间(﹣∞,﹣1]上的最大值. 【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (1)根据曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值 相等,切点处的斜率相等,故可求 a、b 的值; (2)根据 a +b=0,构建函数,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在 区间(﹣∞,﹣1]上的最大值. 2 【解析】 : 解: (1)f(x)=ax +1(a>0) ,则 f′ (x)=2ax,k1=2a, 3 2 g(x)=x +bx,则 g′ (x)=3x +b,k2=3+b, 由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ① 又 f(1)=a+1=c,g(1)=1+b=c, ∴a+1=1+b,即 a=b,代入① 式可得:a=3,b=3.c=4. 2 2 2 3 2 (2)由 a +b=0 得 b=﹣a ,设 h(x)=f(x)+g(x)=ax +1+x ﹣a x. 则 h′ (x)=3x +2ax﹣a =(x+a) (3x﹣a) ,令 h′ (x)=0,解得:x=﹣a<0 或 x= >0, x (﹣∞,﹣a) ﹣a (﹣a,0) h′ ( x) + ﹣ h(x) 单调递增 极大值 单调递减 ∴原函数在(﹣∞,﹣a) )单调递增,在(﹣a,0)单调递减, 2 ① 若﹣1≤﹣a,即 0<a≤1 时,此时函数在区间(﹣∞,﹣1]单调递增,最大值为 h(﹣1)=a +a; 3 ② 若﹣1>﹣a,即 a>时,最大值为最大值为 h(﹣a)=a +1 2 综上所述:当 a∈(0,1]时,最大值为 h(﹣1)=a +a; 3 当 a∈(1,+∞)时,最大值为 h(﹣a)=a +1. 【点评】 : 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导 函数.综合性较强. 23. (14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,其左、右焦点分别为 F1,F2,短轴长为 2 在椭圆 C 上,且满足△PF1F2 的周长为 6. .点 P
2 2 2 2 2 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点(﹣1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,试问在 x 轴上是否存在一个定点 M,使得 为定值?若存在,求出该定值及点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值与范围问题. ? 恒

【分析】 : (I)由题意知:

,由此能求出椭圆 C 方程.

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) .设直线 l 的方程为:y=k(x+1) (k 存在)联立 得: (4k +3)x +8k x+4k ﹣12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在 ,使得 .
2 2 2 2



【解析】 : 解: (I)由题意知:



解得



∴椭圆 C 方程为: (II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) . 设直线 l 的方程为:y=k(x+1) (k 存在) 联立 ,得: (4k +3)x +8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2

则 又

= 而

=

=

=

=

为定值.

只需 解得: ,从而

, = .

当 k 不存在时, 此时,当 故:存在 时, ,使得 . =

【点评】 : 本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的点的判断与求法,解题时要认真审题,注意向量的数量积的 合理运用.


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