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导数与恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)

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导数与恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?min 2、能成立问题的转化: a ? f ? x ? 能成立 ? a ? f ? x ?min ; a ? f ? x ?能成立 ? a ? f ? x ?max 3、恰成立问题的转化: a ? f ? x ? 在 M 上恰成立 ? a ? f ? x ? 的解集为 M ? ?

? a ? f ? x ? 在 M 上恒成立 ? ? ? a ? f ? x ? 在CR M 上恒成立

另一转化方法:若 x ? D, f ( x) ? A 在 D 上恰成立,等价于 f ( x ) 在 D 上的最小值 f min ( x) ? A ,若

x ? D, f ( x) ? B 在 D 上恰成立,则等价于 f ( x) 在 D 上的最大值 f max ( x) ? B .
4、设函数 f ? x ? 、 g ?x ? ,对任意的 x1 ? a , b ,存在 x2 ? c , d ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f min ?x ? ? g min ?x ? 5、设函数 f ? x ? 、 g ?x ? ,对任意的 x1 ?

?

?

?

?

?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f max ?x? ? g max ?x?
? ? ? ? ? ?

6、设函数 f ? x ? 、 g ?x ? ,存在 x1 ? a , b ,存在 x2 ? c , d ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f max ?x ? ? g min ?x ? 7、设函数 f ? x ? 、 g ?x ? ,存在 x1 ? a , b ,存在 x2 ? c , d ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则 f min ?x ? ? g max ?x ? 8、 若不等式 上方; 9、 若不等式 下方;

? ?

f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上恒成立,等价于在区间 D 上函数 y ? f ? x ? 和图象在函数 y ? g ? x ? 图象

f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上恒成立,等价于在区间 D 上函数 y ? f ? x ? 和图象在函数 y ? g ? x ? 图象

1

二、经典题型解析 题型一、简单型 例 1、已知函数

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 , g ( x) ?

a ,其中 a ? 0 , x ? 0 . x

1)对任意 x ?[1,2] ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (构造新函数) 2)对任意 x1 ?[1,2], x2 ?[2,4] ,都有 简解: (1)由 x 2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (转化)

x3 ? x a x3 ? x 成立,只需满足 的最小值大于 a 即可.对 ? ( x ) ? ? 2ax ? 1 ? ? 0 ? a ? 2 2x 2 ? 1 x 2x ? 1

? ( x) ?

2x 4 ? x 2 ? 1 2 x3 ? x ? ? ( x ) ? ? 0 ,故 ? ( x) 在 x ? [1,2] 是增函数,? min ( x) ? ? (1) ? ,所以 求导, 2 2 2 (2 x ? 1) 3 2x ? 1

a 的取值范围是 0 ? a ?
例 2、设函数 h( x) ?

2 . 3

a 1 1 ? x ? b ,对任意 a ? [ ,2] ,都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒成立,求实数 b 的范围. x 2 4

分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最 值解决. 方法 1:化归最值, h( x) ? 10 ? hmax ( x) ? 10 ;

a ? x) 或 a ? ? x 2 ? (10 ? b) x ; x 1 1 方法 3:变更主元(新函数) , ? (a ) ? ? a ? x ? b ? 10 ? 0 , a ? [ ,2] x 2
方法 2:变量分离, b ? 10 ? (

a ( x ? a )(x ? a ) 求导, h?( x) ? 1 ? ? , (单调函数) a x2 x2 h( x ) ? ? x ? b x 1 1 由此可知, h( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 h( ) 与 h (1) 中的较大者. 4 4
简解:方法 1:对

1 ? 1 ? ? 39 7 1 ?h( ) ? 10 ?4a ? ? b ? 10 ?b ? ? 4a ?? 4 ?? ?? ,对于任意 a ? [ ,2] ,得 b 的取值范围是 b ? . 4 4 4 2 ? ? ? ?h(1) ? 10 ?1 ? a ? b ? 10 ?b ? 9 ? a

?1? 1,2? ,使得 f ( x1 ) ? g ?x2 ? , 例 3、已知两函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ? ? ? m ,对任意 x1 ? ?0,2? ,存在 x2 ? ? ?2?
2

x

则实数 m 的取值范围为 题型二、更换主元和换元法

答案: m ?

1 4

例 1、已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)(a为常数) 是实数集 R 上的奇函数,函数 g ? x ? ? ? f ( x) ? sin x 是区间 ? ?1,1? 上的减函数,

2

2 (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)若 g ( x) ? t ? ?t ? 1在x ? ? ?1,1? 上恒成立,求 t 的取值范围;

(Ⅱ)分析:在不等式中出现了两个字母: ? 及 t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然 可将 ? 视作自变量,则上述问题即可转化为在 ? ??, ?1? 内关于 ? 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。(Ⅱ)略解:
1? 上单调递减, ?g?(x) ? ? ? cos x ? 0 ?? ? ?cos x 在 ? ?1 , 1? 上恒 由(Ⅰ)知: f (x) ? x , ?g(x) ? ?x ? sin x , ? g(x) 在 ? ?1,

? g ( x)?max ? g (?1) ? ?? ? sin1, ? 只需 ?? ? sin1? t 2 ? ?t ? 1, ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )恒 , 成立, ?? ? ?1
2 成立,由上述②结论:可令 f ? ? ? ? (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0(? ? ?1) ,则 ?

t ?1 ? 0 t ? ?1 ? , ?? 2 ,而 2 ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0 ?t ? t ? sin1 ? 0 ?

t 2 ? t ? sin1? 0恒成立, ?t ? ?1 。

例 2、已知二次函数 解: 对 x ?

f ( x) ? ax2 ? x ? 1 对 x ? ?0,2? 恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。

?0,2? 恒有 f ( x) ? 0 即 ax2 ? x ? 1 ? 0 变形为 ax2 ? ?( x ? 1)

当 x ? 0 时对任意的 a 都满足 f ( x) ? 0 只须考虑 x ? 0 的情况

? ( x ? 1) 1 1 即a ? ? ? 2 要满足题意只要保证 a 比右边的最大值大就行。 2 x x x 1 1 1 1 1 1 1 g (t ) ? ?t 2 ? t ? ?(t ? ) 2 ? 现求 ? ? 2 在 x ? ?0,2?上的最大值。令 t ? ? t ? (t ? ) x x x 2 2 4 2 1 3 3 g (t ) max ? g ( ) ? ? 所以 a ? ? 2 4 4 3 2 又 f ( x) ? ax ? x ? 1 是二次函数? a ? 0 所以 a ? ? 且 a ? 0 4 a?
例 3、对于满足 0 ? a ? 4 的所有实数 a 求使不等式 x 答案:

2 ? ax ? 4x ? a ? 3都成立的 x 的取值范围

x ? ?1 或 x ? 3

题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来) 此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成 新函数的最值问题:若对于 x 取值范围内的任一个数都有 f ( x) ? g (a) 恒成立,则 g (a) ? 值范围内的任一个数都有 f ( x) ? g (a) 恒成立,则 g (a) ? 例 1、当 x ?

f ( x)min ;若对于 x 取

f ( x)max .
.

?1, 2? 时,不等式 x2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是
x 2 ? 4 .? m ? ?5 . x

解析: 当 x ? (1, 2) 时,由 x 2 ? mx ? 4 ? 0 得 m ? ?

例 2、 已知函数

? ? 2? ? ( a 为常数) 是实数集 R 上的奇函数, 函数 g ( x) ? ? x ? cos x 在区间 ? , f ( x) ? ln(e x ? a) ?3 3 ? ?
3

上是减函数. (Ⅰ)求 a 的值与 ? 的范围; (Ⅱ)若对(Ⅰ)中的任意实数 ? 都有 g ( x) ? ?t ? 1 在 ?

? ? 2? ? , 上恒成立,求实数 t 的取值范围. ?3 3 ? ?

(Ⅲ)若 m ? 0 ,试讨论关于 x 的方程 解: (Ⅰ) 、 (Ⅲ)略

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

(Ⅱ)由题意知,函数 g ( x) ? ? x ? cos x 在区间 ?

? ? 2? ? , 上是减函数. ?3 3 ? ?

? ? 1 ? 1 ? ? 2? ? ? g ( x) max ? g ( ) ? ? ? , g ( x) ? ?t ? 1 在 ? , ? 上恒成立 ? ?t ? 1 ? ? ? , 3 3 2 3 2 ?3 3 ?
?t ?

?
3

?

1 ? 1 (? ? ? ?1) ,? t ? ? . 2? 3 2

题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) ) 例 1、若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是________ 解析:

y
y ?| x |

y ?| x |

y ? ax

y ? ax

x
O

对?

x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立、则由一次函数性质及图像知 ?1 ? a ? 1 ,即 ?1 ? a ? 1 。
x(4 ? x) 在 x ? [0,3] 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

例 2、不等式 ax ? 解:画出两个凼数 如图

y ? ax 和 y ? x(4 ? x) 在 x ? [0,3] 上的图象

4

y

y ? ax

0

3

x

a?

3 3

知当 x ? 3 时

y ? 3,

当a ?

3 3 x ? [0,3] 时总有 ax ? x(4 ? x) 所以 a ? 3 3

y
y ?| x |

y ?| x |

y ? ax

y ? ax

x
O

例 4、已知函数 是 .

? 3x ? 6,x ? ? 2 y ? f (x ) ? ? ,若 不 等 式 f ( x) ? 2 x? m恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 ??6 ? 3x ,x ? ? 2
y ? f ( x) y

解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 y ? 2 x ? m 及

y ? f ( x) 的图象,由于不等式 f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,所以函数 y ? 2 x ? m 的图象应总在函数 y ? f ( x) 的图象下方,因此,当
x ? ?2 时 , y ? ?4 ? m ? 0,所 以 m ? ?4, 故 m 的 取 值 范 围 是

y ? 2x ? m

?2

O

x

? ?4, ?? ? .
题型五、其它(最值)处理方法 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式

f ? x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; f ? x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B .
5

利用不等式性质
2 1、存在实数 x ,使得不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 有解,则实数 a 的取值范围为______。

2 2 解:设 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 1 ,由 f ? x ? ? a ? 3a 有解, ? a ? 3a ? f ? x ?min ,

又 x ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 3? ? ? x ? 1? ? 4 ,? a2 ? 3a ? 4 ,解得 a ? 4或a ? ?1。 2、若关于 x 的不等式

x ? 2 ? x ? 3 ? a 恒成立,试求 a 的范围 x ? 2 ? x ? 3 的最小值相同或比其最小值小即可,得 a ? ( x ? 2 ? x ? 3 )min

解:由题意知只须 a 比 由

x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 2 ? ( x ? 3) ? 5 所以 a ? 5

利用分类讨论 1、已知函数 解:由函数

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 在区间[-1,2] 上都不小于 2,求 a 的值。

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 的对称轴为 x=a

所以必须考察 a 与-1,2 的大小,显然要进行三种分类讨论 1) .当 a ? 2 时 f(x)在[-1,2]上是减函数此时 即 a?

f ( x) min = f(2)=4-4a+4 ? 2

3 2

结合 a ? 2,所以 a ? 2

2) .当 a ? ?1 时 f(x)在[-1,2]上是增函数,此时 f(-1)=1+2a+4 ? 2

f ( x) min = f(-1)=1+2a+4 ? 2 结合 a ? ?1 即 a ? ?
3) .当-1<a<2 时 即 a?

3 2

2 2 f ( x) m i n = f(a)= x ? 2a ? 4 ? 2
所以

2 或 a? ? 2

2?a?2

综上 1,2,3 满足条件的 a 的范围为:a ? ? 利用导数迂回处理 1、已知 f ( x ) ? 范围 解: f ( x) ? g ( x) 在[0,1] 上恒成立,即 即

3 或 a? 2 2

1 lg( x ? 1) g ( x) ? lg( 2 x ? t ) 若当 x ? [0,1] 时 f ( x) ? g ( x) 在[0,1]恒成立,求实数 t 的取值 2

x ? 1 ? 2 x ? t ? 0 在[0,1]上恒成立

x ? 1 ? 2 x ? t ? 0 在[0,1]上的最大值小于或等于 0

令 F ( x) ?

x ? 1 ? 2 x ? t 所以
6

F ' ( x) ?

1 1? 4 x ?1 ,又 x ? [0,1] 所以 F ' ( x) ? 0 即 F ( x) 在[0,1]上单调递减 ?2? 2 x ?1 2 x ?1


所以 F ( x) max ? F (0) ,即 F ( x) ? F (0) ? 1 ? t ? 0 2、已知函数 f ? x ? ? ln x ?

t ?1

1 2 ax ? 2 x ? a ? 0 ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围 2

解: 因为函数

2 f ? x ? 存在单调递减区间,所以 f ' ? x ? ? 1 ? ax ? 2 ? ? ax ? 2 x ? 1 ? 0 x x

? 0, ?? ? 有解.即 a ?
由 u ? x? ?

1 x
2

?

1 2 2 x ? ? 0, ?? ? ? 能成立, 设 u ? x ? ? 2 ? . ? x x x
2

1 x2

?

2 ?1 ? ? ? ? 1? ? 1得, umin ? x ? ? ?1.于是, a ? ?1, x ?x ?

由题设 a ? 0 ,所以 a 的取值范围是 ?? 1,0? ? ?0,??? 3、已知函数 f ( x) ? x(ln x ? m), g ( x) ?

a 3 x ? x. 3

(Ⅰ)当 m ? ?2 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 m ? 解: (Ⅰ)略

3 时,不等式 g ( x) ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

3 a 3 3 时 , 不 等 式 g ( x) ? f ( x) 即 x ? x ? x(ln x ? ) 恒 成 立 . 由 于 x ? 0 , 2 3 2 1 1 3(ln x ? ) 3(ln x ? ) a 2 3 a 2 1 ?6 n l x 2 .令 h( x ) ? 2 , ? x ? 1 ? ln x ? , 亦即 x ? ln x ? , 所以 a ? 则 h?( x) ? , 2 2 x x 3 2 3 2 x3
( Ⅱ ) 当

m?

由 h?( x) ? 0 得 x ? 1 .且当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x ) ? 0 ,即 h( x) 在 (0,1) 上单调递增,在

(1, ??) 上单调递减,所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值 h(1) ?

3 ,也就是函数 h( x) 在定义域上的最大值.因此要 2

1 3(ln x ? ) 2 恒成立,需要 a ? 3 ,所以 a 的取值范围为 ? 3 , ?? ? . 使a ? ? 2 ? x 2 ?2 ?
注: 恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起, 是近几年高考的一个热门题型, 往往与函数的单调性、 极值、最值等有关。

小结:恒成立与有解的区别:
7

①不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? f max ( x) ? M?, x ? I 。即 f ? x ? 的上界小于或等于 M ; ②不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ? f min ( x) ? M?, x ? I 。 或 f ? x ? 的下界小于或等于 M ; ③不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? f min ( x) ? M?, x ? I 。即 f ? x ? 的下界大于或等于 M ; ④不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ? f max ( x) ? M , x ? I .。 或 f ? x ? 的上界大于或等于 M ;

8

三、恒成立、能成立问题专题练习
2 3 2 1、已知两函数 f ? x ? ? 7 x ? 28x ? c , g ? x ? ? 2 x ? 4 x ? 40 x 。

(1)对任意 x ? ? ?3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? )成立,求实数 c 的取值范围; (2)存在 x ? ? ?3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 c 的取值范围; (3)对任意 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围; (4)存在 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 c 的取值范围;

2、设 a ? 1 ,若对于任意的 x ? [a, 2a ] ,都有 ( ) (B) {a | a ? 2}

y ?[a, a2 ] 满足方程 loga x ? loga y ? 3 ,这时 a 的取值集合为

(A) {a |1 ? a ? 2}

(C) {a | 2 ? a ? 3}

(D) {2,3}

?x ? y ? 0 ? 3、若任意满足 ? x ? y ? 5 ? 0 的实数 x , y ,不等式 a( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 恒成立,则实数 a 的最大值是 ___ . ?y ? 3 ? 0 ?
4、不等式 sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? a ? 0 有解,则 a 的取值范围是 5、不等式 ax ?

x ? 4 ? x ? 在 x ??0,3? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

6、设函数 f ( x) ? ? (Ⅰ)求函数

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b (0 ? a ? 1 , b ? R) . 3

f ? x ? 的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式

f ? ? x ? ? a 成立,求 a 的取值范围。

→ → → 7、已知 A、B、C 是直线 ? 上的三点,向量OA,OB,OC满足: OA ? ?y ? 2f ??1?? ? OB ? ln?x ? 1? ? OC ? 0 . (1)求函数 y=f(x)的表达式; 2x (2)若 x>0,证明:f(x)>x+2;

9

(3)若不等式

1 2 x ? f x 2 ? m 2 ? 2bm ? 3 时, x ? ?? 1 , 1? 及 b ? ?? 1 , 1? 都恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

? ?

8、设 f ?x ? ? px ? (I)

q p ? 2 ln x ,且 f ?e? ? qe ? ? 2 (e 为自然对数的底数) x e

求 p 与 q 的关系;

(II)若 f ?x ? 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; (III)设 g?x ? ?

2e ,若在 ?1 , e? 上至少存在一点 x 0 ,使得 f ?x 0 ? ? g?x 0 ? 成立, 求实数 p 的取值范围. x

10

课后作业答案:
3 2 1、解析: (1)设 h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? 3x ? 12 x ? c ,问题转化为 x ? ? ?3,3? 时, h ? x ? ? 0 恒成立,故 hmin ? x ? ? 0 。

2 令 h? ? x ? ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ,得 x ? ?1 或 2 。由导数知识,可知 h ? x ? 在 ? ?3, ?1? 单调递增,在 ? ?1, 2? 单调

? 单 调 递 增 , 且 h ? ?3? ? c ? 4 5, h ? x ?极大值 ? h ? ?1? ? c ? 7 , h ? x ?极小值 ? h ? 2? ? c ? 20 , h ? 3? ? c ? 9 , ? 递 减 , 在 ?2 , 3
hm i n? x? ? h ? ?3? ? c ?4 5,由 c ? 45 ? 0 ,得 c ? 45 。

(2)据题意:存在 x ? ? ?3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,即为: h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? 0 在 x ? ? ?3,3? 有解,故 hmax ? x ? ? 0 , 由(1)知 hmax ? x ? ? c ? 7 ? 0 ,于是得 c ? ?7 。 (3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成 立,不等式的左右两端函数的自变量不同, x1 , x2 的取值在 ? ?3,3? 上具有任意性,?要使不等式恒成立的充要条
??x ? [ ?3,3] ? 。≧ f ? x ? ? 7 ? x ? 2?2 ? c ? 28, x ? ??3,3? ? f ? x ?max ? f ? ?3? ? 147 ? c , 件是: f max ( x) ? g min ( x),
2 ≧ g ? ? x ? ? 6 x ? 8x ? 40 ? 2 ? 3x ? 10?? x ? 2 ? ,? g ? ? x ? ? 0 在区间 ? ?3,3? 上只有一个解 x ? 2 。

? g ? x ?min ? g ? 2 ? ? ?48 ,? 147 ? c ? ?48 ,即 c ? 195 . (4)存在 x1 , x2 ? ? ?3,3? , 都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? , 等价于

fmin ? x1 ? ? gmax ? x2 ? ,由(3)得 fmin ? x1 ? ? f ? 2? ? ?c ? 28 ,

gmax ? x2 ? ? g ? ?3? ? 102 , ?c ? 28 ? 102 ? c ? ?130
点评:本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使 用其成立的充要条件。 2、B。解析:由方程 log a

x ? log a y ? 3 可得 y ?

a3 a 2 a3 ,对于任意的 x ? [a, 2a ] ,可得 ? ? a 2 ,依题意 x 2 x

? a2 ?a ? 得? 2 ?a?2。 ?a 2 ? a 2 ?

2 a ? 1? y 3 25 2 2 2 x y ,由线性规划可得 1 ? ? 。 3、答案: 。解析:由不等式 a( x ? y ) ? ( x ? y) 可得 ? x 2 13 y x
sin x ? 2? ? 3? ? ?2 , 4、 解: 原不等式有解 ? a ? sin 2 x ? 4sin x ? 1 ? ?sin x ? 2? ? 3 ? ?1 ? sin x ? 1? 有解, 而? 所以 a ? ?2 。 ?? ? min
2

2

11

5、解:画出两个凼数

y ? ax 和 y ? x ? 4 ? x ? 在 x ??0,3?
3,a ?
3 3
y

上的图象如图知当 x ? 3 时 y ?

y ? ax

当a ?

3 x ? 0,3 , ? ? 时总有 ax ? x ? 4 ? x ? 所以 a ? 3 3 3

0

3

x

6、解: (Ⅰ)

f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 (1 分)

令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x ) 的单调递增区间为(a,3a) 令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x ) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? ) (4 分) ?当 x=a 时, f ( x ) 极小值= ? 当 x=3a 时, f ( x ) 极小值=b.

3 3 a ? b; 4
(6 分)

(Ⅱ)由| f ?( x ) |≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.①(7 分) ≧0<a<1,?a+1>2a.? ?

f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2在[a ? 1, a ? 2] 上是减函数. (9 分)

f ?( x) max ? f ?(a ? 1) ? 2a ? 1. f ?( x) min ? f (a ? 2) ? 4a ? 4.

于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价于

?? a ? 4a ? 4, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ?a ? 2a ? 1.
又 0 ? a ? 1, ?

4 ? a ? 1. 5

→ → → → → → 7、解:(1)≧OA-[y+2f /(1)]OB+ln(x+1)OC=0,?OA=[y+2f /(1)]OB-ln(x+1)OC 由于 A、B、C 三点共线 即[y+2f /(1)]+[-ln(x+1)]=1…………………2 分

?y=f(x)=ln(x+1)+1-2f /(1) 1 1 f /(x)=x+1,得 f /(1)=2,故 f(x)=ln(x+1)…………………………………4 分 2x 1 2(x+2)-2x x2 (2)令 g(x)=f(x)-x+2,由 g/(x)=x+1- (x+2)2 =(x+1)(x+2)2 ≧x>0,?g/(x)>0,?g(x)在(0,+≦)上是增函数………………6 分 故 g(x)>g(0)=0

12

2x 即 f(x)>x+2………………………………………………………………8 分 1 (3)原不等式等价于2x2-f(x2)≤m2-2bm-3 1 1 2x x3-x 令 h(x)=2x2-f(x2)=2x2-ln(1+x2),由 h/(x)=x-1+x2=1+x2………10 分 当 x∈[-1,1]时,h(x)max=0,?m2-2bm-3≥0
? ?Q(1)=m2-2m-3≥0 令 Q(b)=m2-2bm-3,则? ?Q(-1)=m2+2m-3≥0 ?

得 m≥3 或 m≤-3………12 分

8、解:(I)

q p 1 ? 1? f ? e ? ? pe ? ? 2ln e ? qe ? ? 2 ? ? p ? q ? ? e ? ? ? 0 而 e ? ? 0 ,所以 p ? q e e e? e ?
p p 2 px 2 ? 2 x ? p ? 2 ln x , f ? ? x ? ? p ? 2 ? ? …… 4 分 x x x x2
(0,+?) 内为单调函数,只需 h(x) 在 (0,+?) 内满足:h(x)

(II) 由 (I) 知 f ? x ? ? px ? 令h

? x ? ? px2 ? 2x ? p ,要使 f ? x ? 在其定义域
………… 5 分

≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ① 当 p ? 0 时,

px2 ? 0 , ? 2x ? 0 ? h ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 (0,+?) 内为单调递减,故 p ? 0 ;

② 当 p ? 0 时, h

? x ? ? px2 ? 2x ? p ,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为 x ?

1 ? ?0 , ? ??, p

? hmin ? x ? ? h ? ?

1 ?1? 1 ? ? p ? ,只需 p ? p ? 0 ,即 p≥1 时, h(x)≥0, f ? ? x ? ? 0 , p ? p?

f (x) 在 (0,+?) 内为单调递增,故 p≥1 适合题意. ………… 9 分

综上可得,p≥1 或 p≤0 (III) ? ≧

2e g(x) = x 在 [1,e] 上是减函数 即 g(x) ? [2,2e] ………… 10 分

x = e 时,g(x)min = 2,x = 1 时,g(x)max = 2e

① p≤0 时,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2,不合题意。 1 ② 0 < p < 1 时,由 x ? [1,e] ? x- x ≥0 1 1 ?f(x)=p (x- x )-2lnx≤x- x -2lnx ? 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式,故在 [1,e] 递增 ………… 12 分

1 1 1 f (x)≤x- x -2ln x≤e- e -2ln e = e- e -2 < 2,不合题意。

③ p≥1 时,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增,f (1) = 0 < 2,又 g(x) 在 [1,e] 上是减函数 ? 本命题 ? f (x)max > g(x)min = 2,x ? [1,e]

13

1 ? f (x)max = f (e) = p (e- e )-2ln e > 2

4e ? p > e 2-1

………… 13 分

4e 综上,p 的取值范围是 (e 2-1 ,+?) ………… 14 分

14


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