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高三数学第一轮复习阶段性测试题11-算法、框图、复数、推理与证明

时间:2014-07-26


阶段性测试题十一(算法、框图、复数、推理与证明)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。) 1+2i 1.(2011· 辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数 z= i5 ,则它的共 轭复数- z 等于( A.2-i C.-2+i [答案] B 1+2i 1+2i [解析] z= i5 = i =2-i,故其共轭复数是 2+i. 2. (文)(2011· 辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出 的结果是( ) ) B.2+i D.-2-i

A.1320 C.11880 [答案] A

B.132 D.121

[解析] 运行过程依次为:i=12,x=1→x=12,i=11→x=132, i=10→x=1320,i=9,此时不满足 i≥10,输出 x 的值 1320. (理)(2011· 江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为 S= 20,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是( )

A.k=9 C.k<8 [答案] D

B.k≤8 D.k>8

[解析] 运行过程依次为 k=10,S=1→S=11,k=9→S=20,k =8→输出 S=20,此时判断框中的条件不满足,因此应是 k>8. a+3i 3.(文)(2011· 黄冈市期末)若复数 (a∈R,i 是虚数单位)是纯 1+2i 虚数,则实数 a 的值为( A.-2 C.-6 [答案] C [解析] ∵ R,
? ?a+6=0 ∴? ,∴a=-6,故选 C. ?3-2a≠0 ?

) B.4 D.6

a+3i ?a+3i??1-2i? a+6+?3-2a?i = = 是纯虚数,a∈ 5 1+2i ?1+2i??1-2i?

2+i (理)(2011· 温州八校期末)若 i 为虚数单位,已知 a+bi= (a,b 1-i ∈R),则点(a,b)与圆 x2+y2=2 的关系为( A.在圆外 B.在圆上 )

C.在圆内 [答案] A [解析] 1 ? a = ? 2 ? 3 ? ?b=2 ∵ a + bi =

D.不能确定

2+i ?2+i??1+i? 1 3 = = 2 + 2 i(a , b ∈ R) , ∴ 2 1-i



?1? ?3? ?1 3? 5 ∵?2?2+?2?2=2>2,∴点 P?2,2?在圆 x2+y2=2 外,故选 A. ? ? ? ? ? ?

4.(文)(2011· 合肥市质检)如图所示,输出的 n 为(

)

A.10 C.12 [答案] D

B.11 D.13

1 [解析] 程序依次运行过程为:n=0,S=0→n=1,S= 2×1-13 1 1 1 =-11→n=2,S= =-9,?? 2×2-13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴S=-11-9-7-5-3-1+1+3+5+7+9+11+13>0,此时 输出 n 的值 13. (理)(2011· 丰台区期末)已知程序框图如图所示,将输出的 a 的值

依次记为 a1,a2,?,an,其中 n∈N*且 n≤2010.那么数列{an}的通 项公式为( )

A.an=2· 3n-1 C.an=3n-1 [答案] A

B.an=3n-1 1 D.an=2(3n2+n)

[解析] 程序运行过程依次为 a=2,n=1,输出 a=2,即 a1=2, n=2,a=3×2=6,不满足 n>2010→输出 a=6,即 a2=2×3,n=3, a=3×6=18,仍不满足 n>2010→输出 a=18,即 a3=2×32??因此 可知数列{an}的通项公式为 an=2×3n-1(n≤2010). 5.(2011· 蚌埠二中质检)下列命题错误的是( )

A.对于等比数列{an}而言,若 m+n=k+S,m、n、k、S∈N*, 则有 am· an=ak· aS π? ? π ? ? B.点?-8,0?为函数 f(x)=tan?2x+4?的一个对称中心
? ? ? ?

C.若|a|=1,|b|=2,向量 a 与向量 b 的夹角为 120° ,则 b 在向 量 a 上的投影为 1 D.“sinα=sinβ”的充要条件是“α+β=(2k+1)π 或 α-β=2kπ (k∈Z)” [答案] C

m+n-2 k+S-2 [解析] 由等比数列通项公式知, am· an=a2 =a2 =a1qk 1q 1q
-1

· a1qS-1=akaS,故 A 正确; π kπ π 令 2x+4=kπ(k∈Z)得,x= 2 -8, π? ? π ? ? π 令 k=0 得 x=-8,∴?-8,0?是函数 f(x)=tan?2x+4?的一个对
? ? ? ?

称中心,故 B 正确; b 在 a 方向上的投影为|b|· cos〈a,b〉=2×cos120° =-1,故 C 错; 由 sinα=sinβ 得 α=2kπ+β 或 α=2kπ+π-β,∴α+β=(2k+1)π 或 α-β=2kπ(k∈Z),故 D 正确. 6. (2011· 安徽百校联考)已知正项等比数列{an}满足: a7=a6+2a5, 1 4 若存在两项 am、an,使得 aman=4a1,则m+n的最小值为( 3 A.2 25 C. 6 [答案] A [解析] ∵{an}为等比数列,an>0,a7=a6+2a5,∴a1q6=a1q5+ 2a1q4,∴q2-q-2=0,∴q=-1 或 2,∵an>0,
2 ∴q=2,∵ am· an=4a1,∴a1qm-1· a1qn-1=16a1 ,

)

5 B.3 D.不存在

1 4 1 ∴ qm + n - 2 = 16 ,即 2m + n - 2 = 24 ,∴ m + n = 6 ,∴ m + n = 6 (m + n 4m? 3 ? 1 4? 1? n 4m n)?m+n?=6?5+m+ n ?≥2,等号在m= n ,即 m=2,n=4 时成立,
? ? ? ?

故选 A. 7.(2011· 山东日照调研)二次方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正 根和一个负根的充分不必要条件是( )

A.a>0 C.a>1 [答案] D

B.a<0 D.a<-1

[解析] ∵方程 ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,∴
?a>0 ?a<0 ? 或? ,∴a<0,因此,当 a<-1 时,方程有一个正根和 ?f?0?<0 ?f?0?>0

一个负根,仅当方程有一个正根和一个负根时,不一定有 a<-1,故 选 D. 3 8 .观察等式: sin230° + cos260° + sin30° cos60° = 4 , sin220° + 3 3 cos250° +sin20° cos50° =4和 sin215° +cos245° +sin15° cos45° =4,?, 由此得出以下推广命题,则推广不正确的是( 3 A.sin2α+cos2β+sinαcosβ=4 3 B.sin2(α-30° )+cos2α+sin(α-30° )cosα=4 3 C.sin2(α-15° )+cos2(α+15° )+sin(α-15° )cos(α+15° )=4 3 D.sin2α+cos2(α+30° )+sinαcos(α+30° )= 4 [答案] A [解析] 观察已知等式不难发现, 60° -30° =50° -20° =45° -15° =30° ,推广后的命题应具备此关系,但 A 中 α 与 β 无联系,从而推 断错误的命题为 A.选 A. 9.(2011· 山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上,老师给出函数 x f ( x) = (x∈R),甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命 1+|x| 题: )

甲:函数 f(x)的值域为(-1,1); 乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2); x 丙:若规定 f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),则 fn(x)= 对任意 n 1+n|x| ∈N*恒成立 你认为上述三个命题中正确的个数有( A.3 个 C.1 个 [答案] A x [解析] 当 x>0 时,f(x)= ∈(0,1),当 x=0 时,f(0)=0,当 1+x x<0 时,f(x)= x ∈(-1,0),∴f(x)的值域为(-1,1),且 f(x)在(-∞, 1-x B.2 个 D.0 个 )

+∞)上为增函数,因此,x1≠x2 时,一定有 f(x1)≠f(x2). ∵f(x)= x x ,f1(x)=f(x),∴f1(x)= ,又 fn(x)=f(fn-1(x)), 1+|x| 1+|x|

x 1+|x| ? x ? x ∴f2(x)=f(f1(x))=f?1+|x|?= = , |x| 1+2|x| ? ? 1+ 1+|x| x 1+2|x| ? x ? x f3(x)=f(f2(x))=f?1+2|x|?= = ?? |x| 1+3|x| ? ? 1+ 1+2|x| 可知对任意 n∈N*,fn(x)= x 恒成立,故选 A. 1+n|x|

10.(2011· 陕西宝鸡质检)如果函数 f(x)对任意的实数 x,存在常 数 M,使得不等式|f(x)|≤M(x)恒成立,那么就称函数 f(x)为有界泛函 数,下面四个函数:

①f(x)=1; ②f(x)=x2; x ③f(x)=(sinx+cosx)x; ④f(x)= 2 . x +x+1 其中属于有界泛函数的是( A.①② C.②④ [答案] D [解析] π? ? 对任意实数 x.∵sinx+cosx= 2sin?x+4?≤ 2,∴存在
? ?

) B.①③ D.③④

常数 M≥ 2,有|sinx+cosx|≤M 成立, ∴|x(sinx+cosx)|≤M|x|,即|f(x)|≤M|x|成立,∴③是有界泛函数; 1? 3 3 ? 又∵x2+x+1=?x+2?2+4≥4,
? ? ? 1 ? 4 4 ∴ ?x2+x+1? ≤3 ,∴存在常数 M≥ 3 ,使 ? ?

|x| ≤M(x) ,即 |x +x+1|
2

|f(x)|≤M|x|成立, 故④是有界泛函数,因此选 D. 11.(2011· 北京学普教育中心联考版)观察下列算式: 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,? 用你所发现的规律得出 22011 的末位数字是( A.2 C.6 [答案] D [ 解析 ] 观察发现, 2n 的末位数字以 4 为周期出现,依次为 B.4 D.8 )

2,4,8,6,2011 被 4 除的余数为 3,故 22011 的末位数字与 23 的末位数字 相同,故选 D. 12. (2011· 河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼

兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两 1 1 1 端的数均为n(n≥2), 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如1=2+ 1 1 1 1 1 1 1 ?, 则第 10 行第 4 个数(从左往右数)为( 2, 2=3+6, 3=4+12, 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 6 3 1 1 1 1 4 12 12 4 1 1 1 1 1 5 20 30 20 5 1 A.1260 1 C.504 [答案] B 1 1 1 1 [解析] 第 10 行第 1 个数为10,第 2 个数为9-10=90,第 9 行 1 1 1 1 1 1 第 1 个数为9,第 2 个数为8-9=72,∴第 10 行第 3 个数为72-90= 1 1 1 1 1 ,第 8 行第 1 个数为 ,第 2 个数为 360 8 7-8=56,故第 9 行第 3 个数 1 1 1 1 1 1 为56-72=252,∴第 10 行第 4 个数为252-360=840. 1 B.840 1 D.360 )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上)

13. (文)(2011· 江西吉安期末)请阅读下列材料: 若两个正实数 a1,
2 2 a2 满足 a1 +a2 2=1,那么 a1+a2≤ 2.证明:构造函数 f(x)=(x-a1) +

(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以 Δ≤0,从而得 4(a1+a2)2-8≤0,所以 a1+a2≤ 2.类比上述结论,若
2 2 n 个正实数满足 a1 +a2 2+?+an=1,你能得到的结论为________.

[答案] a1+a2+?+an≤ n(n∈N*) [解析] 构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+?+(x-an)2=nx2- 2(a1+a2+?+an)x+1, ∵f(x)≥0 对任意实数 x 都成立, ∴Δ=4(a1+a2+?+an)2-4n≤0, ∵a1,a2,?,an 都是正数,∴a1+a2+?+an≤ n. (理)(2011· 北京学普教育中心)我们知道,在边长为 a 的正三角形 3a 内任一点到三边的距离之和为定值 2 ,类比上述结论,在棱长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________. [答案] 6a 3

[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高;正 三角形的边类比空间正四面体的面, 正四面体内任一点到其四个面的 6a 距离之和等于正四面体的高 3 . 14.(2011· 湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个 1-3i 向量的横坐标、纵坐标,已知 z1=(1-2i)i 对应向量为 a,z2= 对 1-i 应向量为 b,那么 a 与 b 的数量积等于________. [答案] 3

[解析] z1=2+i 对应向量 a=(2,1), z2= -i 对应向量 b=(2,-1), ∴a· b=3.

1-3i ?1-3i??1+i? = =2 2 1-i

15.(2011· 辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为 整数的点称为格点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 k(k∈N*)个格点, 则称函数 f(x)为 k 阶格点函数,下列函数:①f(x)=sinx;②f(x)=3π(x
?1? - 1)2 + 2 ;③ f(x) = ?4? x ;④ f(x) = log0.5x ,其中是一阶格点函数的有 ? ?

________. [答案] ①② [解析] f(x)=sinx 通过的格点只有(0,0); f(x)=3π(x-1)2+2 经过 的格点只有(1,2);f(x)=log0.5x 经过的格点有(2n,-n),n=0,1,2?;
?1? f(x)=?4?x 经过的格点至少有(0,1),(-1,4),故填①②. ? ?

1 1 1 16.(2011· 杭州市质检)设 n 为正整数,f(n)=1+2+3+?+n, 3 5 计算得 f(2)=2,f(4)>2,f(8)>2,f(16)>3,观察上述结果,可推测一 般的结论为________. n [答案] f(2n)≥2+1 3 1 2 5 3 [解析] f(2)=2=2+1, f(4)=f(22)>2=2+1, f(8)=f(23)>2=2+1, 4 f(16)=f(24)>3=2+1,观察可见自变量取值为 2n 时,函数值大于或等 n n 于2+1,即 f(2n)≥2+1. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明,

证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、 泉港六校联考)设命题 p: 命题 f(x)=x3-ax-1 在区间[-1,1]上单调递 减;命题 q:函数 y=ln(x2+ax+1)的值域是 R,如果命题 p 或 q 为真 命题,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围. [ 解析 ] p 为真命题 ? f′(x) = 3x2 - a≤0 在 [ - 1,1]上恒成立 ?

a≥3x2 在[-1,1]上恒成立?a≥3, q 为真命题?Δ=a2-4≥0 恒成立?a≤-2 或 a≥2. 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题,
?a≥3 ? p 真 q 假?? ?a∈?, ? ?-2<a<2

p 假 q 真??

?a<3 ?a≤-2或a≥2

?a≤-2 或 2≤a<3,

综上所述:a∈(-∞,-2]∪[2,3). 18.(本小题满分 12 分)(2011· 广东高州市长坡中学期末)复数 z=
?1 3? ? - i?2 是一元二次方程 ax2+bx+1=0(a,b∈R)的根. 2 ? ?2

(1)求 a 和 b 的值; (2)若(a+bi)- u +u=z(u∈C),求 u. 1 3 [解析] (1)由题得 z=-2- 2 i, 因为方程 ax2+bx+1=0(a、b∈R)是实系数一元二次方程,所以 1 3 它的另一个根为-2+ 2 i.

b 3 1 3 ?+?- + i?=- - i ???-1 a 2 2 ? ? 2 2 ? 由韦达定理知:? ? 1 3 ?? 1 3? 1 ?- - i??- + i?= ?? 2 2 ? ? 2 2 ? a
? ?a=1 ?? . ?b=1 ?

?

?

?

?

1 3 (2)由(1)知(1+i)- u +u=-2- 2 i,设 u=x+yi(x,y∈R),则(1 1 3 +i)(x-yi)+(x+yi)=-2- 2 i, 1 3 得(2x+y)+xi=-2- 2 i,

?2x+y=-2 ∴? 3 x =- ? 2

1

?x=- 23 ,∴? 1 y = 3 - ? 2



3 2 3-1 ∴u=- 2 + 2 i. 19. (本小题满分 12 分)(2011· 山东省实验中学)已知 a>0, 命题 p:
? ?2x-2a,?x≥2a? 函数 y=ax 在 R 上单调递减,q:设函数 y=? ,函 ?2a,?x<2a? ?

数 y>1 恒成立,若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 a 的取值范围. [解析] 若 p 为真命题,则 0<a<1,若 q 为真命题,即 ymin>1, 1 又 ymin=2a,∴2a>1,∴q 为真命题时 a>2, 又∵p∨q 为真,p∧q 为假,∴p 与 q 一真一假. 1 若 p 真 q 假,则 0<a≤2;若 p 假 q 真,则 a≥1. 1 故 a 的取值范围为 0<a≤2或 a≥1.

20.(本小题满分 12 分)(2011· 北京学普教育中心)已知复数 z1= sin2x+λi,z2=m+(m- 3cos2x)i,λ、m、x∈R,且 z1=z2. (1)若 λ=0 且 0<x<π,求 x 的值; π? ? 1 (2)设 λ=f(x),已知当 x=α 时,λ=2,试求 cos?4α+3?的值.
? ?

[解析] (1)∵z1=z2,
? ?sin2x=m ∴? , ? ?λ=m- 3cos2x

∴λ=sin2x- 3cos2x, 若 λ=0 则 sin2x- 3cos2x=0 得 tan2x= 3, ∵0<x<π,∴0<2x<2π, π 4π ∴2x=3或 2x= 3 , π 2π ∴x=6或 3 . (2)∵λ=f(x)=sin2x- 3cos2x
?1 ? π? ? 3 =2? sin2x- cos2x?=2sin?2x-3?, 2 ? ? ?2 ?

1 ∵当 x=α 时,λ=2, π? 1 π? 1 ? ? ∴2sin?2α-3?=2,∴sin?2α-3?=4,
? ? ? ? ?π ? 1 sin?3-2α?=-4, ? ?

π? π? ? ? ∵cos?4α+3?=cos2?2α+6?-1
? ? ? ?

π? ? ?π ? =2cos2?2α+6?-1=2sin2?3-2α?-1,
? ? ? ?

π? ? ? 1? 7 ∴cos?4α+3?=2×?-4?2-1=-8.
? ? ? ?

21.(本小题满分 12 分)(2011· 山东临沂质检)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 中点.

(1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1. [解析] (1)证明:如图,连结 AB1,设 AB1∩A1B=O,则 O 为 AB1 中点,连结 OD, ∵D 为 AC 中点,

在△ACB1 中,有 OD∥B1C. 又∵OD?平面 A1BD,B1C?平面 A1BD, ∴B1C∥平面 A1BD. (2)证明:∵AB=B1B,ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴ABB1A1 为正 方形,∴A1B⊥AB1, 又∵AC1⊥平面 A1BD,A1B?平面 A1BD, ∵AC1⊥A1B, 又∵AC1?平面 AB1C1,AB1?平面 AB1C1,AC1∩AB1=A, ∴A1B⊥平面 AB1C1,

又∵B1C1?平面 AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又∵A1A⊥平面 A1B1C1,B1C1?平面 A1B1C1, ∴A1A⊥B1C1, ∵A1A?平面 ABB1A1,A1B?平面 ABB1A1,A1A∩A1B=A1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1. 22.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 山东省实验中学)函数 f(x)=lnx 1 1 +ax-a(a 为常数,a>0). (1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值. ax-1 [解析] f′(x)= ax2 (x>0).

(1)由已知得 f′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 1 即 a≥x 在[1,+∞)上恒成立, 1 又∵当 x∈[1,+∞)时,x ≤1, ∴a≥1,即 a 的取值范围为[1,+∞). (2)当 a≥1 时,∵f′(x)>0 在(1,2)上恒成立,f(x)在[1,2]上为增函 数,∴f(x)min=f(1)=0, 1 当 0<a≤2时,∵f′(x)<0 在(1,2)上恒成立,这时 f(x)在[1,2]上为 减函数, 1 ∴f(x)min=f(2)=ln2-2a. 1 1 1 当2<a<1 时,∵x∈[1,a)时,f′(x)<0;x∈(a,2]时,f′(x)>0,
?1? 1 ∴f(x)min=f?a?=-lna+1-a. ? ?

综上,f(x)在[1,2]上的最小值为 1 1 ①当 0<a≤2时,f(x)min=ln2-2a; 1 1 ②当2<a<1 时,f(x)min=-lna+1-a. ③当 a≥1 时,f(x)min=0. (理)(2011· 丹东四校协作体联考)设数列{an}满足:a1=2,an+1= 1 an+a (n∈N*).
n

(1)证明:an> 2n+1对 n∈N*恒成立; (2)令 bn= an (n∈N*),判断 bn 与 bn+1 的大小,并说明理由 . n

[解析] (1)证法 1:当 n=1 时,a1=2> 2×1+1,不等式成立, 假设 n=k 时,ak> 2k+1成立, 1 1 2 当 n=k+1 时,a2 k+1=ak + 2+2>2k+3+ 2>2(k+1)+1. a a
k k

∴n=k+1 时,ak+1> 2?k+1?+1时成立, 综上由数学归纳法可知,an> 2n+1对一切正整数成立. 证法 2:当 n=1 时,a1=2> 3= 2×1+1,结论成立; 假设 n=k 时结论成立,即 ak> 2k+1, 1 当 n=k+1 时,由函数 f(x)=x+x(x>1)的单增性和归纳假设有 ak
+1

1 =ak+a > 2k+1+
k

1 , 2k+1 1 ≥ 2k+3, 2k+1 1 1 )2≥2k+3? ≥0, 2k+1 2k+1

因此只需证: 2k+1+ 而这等价于( 2k+1+

显然成立,所以当 n=k+1 是,结论成立;

综上由数学归纳法可知,an> 2n+1对一切正整数成立. 1 2 证法 3:由递推公式得 an =a2 n-1+2+ 2 , an-1
2 a2 n-1=an-2+2+

1 1 2 2 2 ,a2=a1+2+ 2, a1 an-2

1 1 2 2 上述各式相加并化简得 a2 n=a1 +2(n-1)+ 2+?+ 2 >2 +2(n a1 an-1 -1)=2n+2>2n+1(n≥2), 又 n=1 时,an> 2n+1显然成立,故 an> 2n+1(n∈N*). bn+1 an+1 n ? 1? n (2)解法 1: b = =?1+a2? n? n+1 n an n+1 ?
? 1 ? <?1+2n+1? ?

2?n+1? n n = ? n+1 ?2n+1? n+1 1? 1 ? ?n+ ?2- 2? 4 ? 1 n+2



2 n?n+1? = 2n+1

<1,

又显然 bn>0(n∈N*),故 bn+1<bn 成立. 解法 2:bn+1-bn= = = ≤ = = an+1 an - n n+1

1 ? an 1 ? ?an+ ?- an? n n+1? an an 1 [ n-( n+1- n)a2 n] n?n+1? 1 [ n-( n+1- n)(2n+1)](由(1)的结论) n?n+1?

1 [ n( n+1+ n)-(2n+1)] n?n+1?? n+1+ n?an 1 [ n?n+1?-(n+1)] n?n+1?? n+1+ n?an



1 ( n- n+1)<0, n? n+1+ n?an

所以 bn+1<bn. 解法 a2 a2 n+1 n 2 2 3:bn+1-bn= - n+1 n

2 ? an 1 ? 2 1 ?a + 2+2?- = n+1? n an ? n

2n+1? 1 a2 1 1 ? 1 ? n? ?2+ 2- ?< ?2+ ? - = n ? 2n+1 n+1? an n ? n+1? = 1? 1 ? 1 -n?<0, ? n+1?2n+1 ?

2 故 b2 n+1<bn,因此 bn+1<bn.


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