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高中数学 必修四 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 学案

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3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 (学案)
一、学习目标
1.熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 2.运用上述公式进行化简、求值、证明问题。

二、自主学习
(一).温故知新 1.和差角公式

cos?? ? ? ? ?
sin ?? ? ? ? ?

tan ?? ? ? ? ?
2.倍角公式

sin 2a = cos 2a = tan 2a =
三、合作探究

; ( S 2? ) = ; (T2? ) 知识点一 化简求值 = ; (C 2? )

例 1 求下列各式的值. π 5 (1)cos cos π; 12 12 1 2 (2) - cos215° . 3 3

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解答此类题目一方面要注意角的倍数关系;另一方面要注意函数名称的转

化方法,同角三角函数关系及诱导公式是常用方法. 知识点二 化简或证明

例 2 求证

3-4cos 2A+cos 4A =tan4 A. 3+4cos 2A+cos 4A

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利用倍角公式证明三角恒等式,关键是找到左、右两边式子中角间的倍角

关系,先用倍角公式统一角,再用同角三角函数基本关系式等完成证明. 知识点三 条件求值 π ? sin 2x-2sin2x 4 5π 7π -x =- , <x< ,求 例 3 若 cos? 的值. ?4 ? 5 4 4 1+tan x

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本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧,解题时首先要分析已知条

件和结论中各种角之间的相互关系,并根据这种关系 选择公式.

四、学以致用
训练 1 求值 (1)cos 20° · cos 40° · cos 80° ; 1). (2)tan 70° · cos 10° · ( 3tan 20° -

训练 2 化简

1+sin 2θ-cos 2θ . 1+sin 2θ+cos 2θ

π ? 5 π cos 2x 训练 3 已知 sin? ?4-x?=13,0<x<4,求 ?π ?的值. cos?4+x?

五、自主小测
π 1.函数 y=2cos2(x- )-1 是( 4 A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数
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) π B.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2

cos 2α 2 2.若 =- ,则 cos α+sin α 的值为( π 2 ? sin? ?α-4? A.- 7 2 1 B.- 2 1 C. 2 )

)

D.

7 2

π ? 1 ?2 ? 3.若 sin? ?6-α?=3,则 cos?3π+2α?的值为( 1 A.- 3 7 B.- 9 1 C. 3 )

7 D. 9

1-tan θ cos 2θ 4.若 =1,则 的值为( 2+tan θ 1+sin 2θ A.3 B.-3

C.-2 ) 15 5

1 D.- 2

1 5π θ 5.如果 cos θ = , <θ<3π,则 sin 的值是( 5 2 2 A.- 10 5 B. 10 5 C.-

D.

15 5

4 6.已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tan α=________. 3 π 0, ?,则 α=________. 7.已知 sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈? ? 2? 1-cos θ+sin θ θ 8.已知 tan =3,则 =______. 2 1+cos θ+sin θ 参考答案 1.A π π 2π [因为 y=2cos2(x- )-1=cos(2x- )=sin 2x 为奇函数,T= =π.] 4 2 2

cos2α-sin2α cos 2α 2 1 2.C [ = =- 2(sin α+cos α)=- .∴sin α+cos α= .] π 2 2 2 ? sin? ?α-4? 2 ? sinα-cos α? 3.B 2 2 π π π+2α? = - cos[π - ? π+2α? ] = - cos ? -2α? = - [1 - 2sin2 ? -α? ] = [cos ? ?3 ? ?3 ? ?3 ? ?6 ?

π 7 -α?-1=- .] 2sin2? ?6 ? 9 4.A 1-tan θ 1 [∵ =1,∴tan θ=- . 2 2+tan θ

?-1? cos2θ-sin2θ cos θ-sin θ 1-tan θ 1-? 2? cos 2θ ∴ = = = = =3.] 1? 1+sin 2θ ?sin θ+cos θ?2 cos θ+sin θ 1+tan θ ? - 1+? 2?
5π 1 1 5π θ 3π θ 5.C [∵ <θ<3π, cos θ = ,∴cos θ<0,cos θ=- .∵ < < ,∴sin <0. 2 5 5 4 2 2 2 θ 1-cos θ 3 θ 15 由 sin2 = = ,∴sin =- .] 2 2 5 2 5
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1 6.- 2 4 4 2tan α 解析 ∵tan(π+2a)=- ,∴tan 2α=- = , 3 3 1-tan2α 1 1 ∴tan α=- 或 tan α=2.又 α 在第二象限,∴tan α=- . 2 2 7. π 6

解析 ∵sin22α+sin 2αcos α-(cos 2α+1)=0.∴4sin2αcos2α+2sin αcos2α-2cos2α=0. π? 1 π 2 2 ∵α∈? ?0,2?.∴2cos α>0.∴2sin α+sin α-1=0.∴sin α=2(sin α=-1 舍).∴α=6. 8.3 θ 2sin2 +2sin 2 1-cos θ+sin θ 解析 = θ 1+cos θ+sin θ 2cos2 +2sin 2 θ cos 2 θ cos 2 θ 2sin 2 = θ 2 2cos θ θ? sin +cos 2 2? θ θ? cos +sin 2 2? θ? 2? θ =tan =3. θ? 2 2?

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