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圆的方程练习题

时间:2013-04-07

圆的方程练习题
1.方程 x 2 ? y 2 ? 4mx ? 2 y ? 5m ? 0 表 示圆的充要条件是 A. ( D. m ? 1 ) )

1 ? m ?1 4

B. m ?

1 1 或m ? 1 C. m ? 4 4

2.方程 x 2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a 2 ? 3a ? 0 表示的图形是半径为 r ( r ? 0 )的圆,则该圆圆心在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.若方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 所表示的曲线关于直线 y ? x 对称,必有( A. E ? F B. D ? F C. D ? E D. D, E, F 两两不相等 (



4.点( 2a, a ? 1 )在圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 的内部,则 a 的取值范围是 A.-1< a <1 B. 0< a <1 C.–1< a <



1 5

D.-

1 < a <1 5
( )

5.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 的周长是 A. 2 2? B. 2? C. 2? D. 4?

6.两圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 的连心线方程为 A. x ? y ? 3 ? 0
2 2





B. 2 x ? y ? 5 ? 0

C. 3x ? y ? 9 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 ( )

7.如果圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 x 轴相切于原点,则 A. E ? 0, D ? F ? 0 B. D ? 0, E ? 0, F ? 0 C. D ? 0, E ? F ? 0

D. D ? E ? 0, F ? 0 (
2 2

8.过点 A(1,?1) 与 B(?1,1) 且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程为 A. ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2 2



B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

C. ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ( )

9.方程 ?x ? y ? 1? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 所表示的图形是 A.一条直线及一个圆 B.两个点 C.一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆

10.要使 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 x 轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有 A. D 2 ? E 2 ? 4F ? 0, 且F ? 0
2 2

( D. F ? 0



B. D ? 0, F ? 0
2

C. D ? 0, F ? 0 .

11.圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 过原点的充要条件是
2 2 12.求圆 x ? y ? 1上的点到直线 x ? y ? 8 的距离的最小值



13.已知方 程 x2 ? y 2 ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t 2 ) y ? 16t 4 ? 9 ? 0 表示一个圆. ① t 的取值范围 .②该圆半 径 r 的取值范围 .

14.求经过点 A(2,?3), B(?2,?5) ,且圆心 C 在直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 上的圆的标准方程.

15.已知 ?ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1), B(6,?3), C (?3,0) ,求 ?ABC 外接圆的方程.

16.求经过点 A(2,?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆的方程.

17.已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? 3 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的两个交点为 P, Q ,求以 PQ 为直径的圆的方程.

18.已知动点 M 到点 A(2,0) 的距离是它到点 B(8,0) 的距离的一半, 求:①动点 M 的轨迹方程;② 若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.

19.已知圆 C : x ? y - 4x -14 y ? 45 ? 0, 及点 Q(-2,3) .① P(a, a ? 1) 在圆上,求线段 PQ 的长及
2 2

直线 PQ 的斜率;②若 M 为圆 C 上任一点,求 |MQ | 的最大值和最小值;
2 2 ③若实数 m, n 满足 m ? n - 4m -14n ? 45 ? 0 ,求 K =

n -3 的最大值和最小值. m+2

参考答案
一、BDCDA
2

CABDA
2 2

二、11. a ? b ? r ;12.

3 2 ? 13 ;13.① ? 1 ? t ? 1 ;② 0 ? r ≤ 4 7 ; 2 7 7
y x-2y-3=0

三、14.解:因为 A(2,-3),B(-2,-5), 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为(0,-4), 又 k AB ? ?5 ? (?3) ? 1 ,所以线段 AB 的垂直平分线的方程是 y ? ?2 x ? 4 . ?2 ? 2 2 联立方程组 ? ?

O A

x

B

x ? 2y ? 3 ? 0 x ? ?1 ,解得 ? . ? ? y ? ?2 x ? 4 ? y ? ?2

所以,圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r ?| CA | ? 所以,此圆的标准方程是 ( x ? 1)
2

(2 ? 1) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? 10 ,

? ( y ? 2)2 ? 10 .
2

15.解:解法一:设所求圆的方程是 ( x ? a)

? ( y ? b)2 ? r 2 .



因为 A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都在圆上, 所以它们的坐标都满足方程①,于是

? (4 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?(6 ? a) ? (?3 ? b) ? r , ? (?3 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 . ?

? a ? 1, ? 可解得 ? b ? ?3, ?r 2 ? 25. ?
2

所以△ABC 的外接圆的方程是 ( x ? 1)

? ( y ? 3)2 ? 25 .

解法二:因为△ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上,所以先求 AB、BC 的垂直平分线方程,求得的交点坐标 就是圆心坐标. ∵ k AB ?

?3 ? 1 ? ?2 , k BC ? 0 ? (?3) ? ? 1 , 6?4 ?3 ? 6 3
C

y A O x E B

3 3 线段 AB 的中点为 (5,-1),线段 BC 的中点为 ( , ? ) , 2 2

∴AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 ?

1 ( x ? 5) , ① 2 3 3 BC 的垂直平分线方程 y ? ? 3( x ? ) . ② 2 2

解由①②联立的方程组可得 ? 半径 r ?| AE |?

? x ? 1, ∴△ABC 外接圆的圆心为E(1,-3), ? y ? ?3.

(4 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 5 .故△ABC 外接圆的方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 .

16.解:因为圆心在直线 y ? ?2 x 上,所以可设圆心坐标为(a,-2a),据题意得:

(a ? 2) 2 ? (?2a ? 1) 2 ?
∴ a =1,

| a ? 2a ? 1 | 2



∴ (a ? 2) 2 ? (1 ? 2a ) 2 ?

1 (1 ? a) 2 , 2

∴ 圆心为(1,-2),半径为

2 , ∴所求的圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

17.解:已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点为 P、Q,求以 PQ 为直径的圆的方程. 解法:设所求圆的方程为 x2+y2+x-6y+3+λ(x+2y-3)=0, 整理,得:x2+y2+(1+λ)x+(2λ-6)y+3-3λ=0, 此圆的圆心坐标是:(- -

1? ? +2(3-λ)-3=0 2

1? ? ,3-λ), 由圆心在直线 x+2y-3=0 上,得 2
解得λ=1

故 所求圆的方程为:x2+y2+2x-4y=0. 18.解:(1)设动点 M(x,y)为轨迹上任意一点,则点 M 的轨迹就是集合

P ? {M || MA |?

1 | MB |} . 2
( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 ( x ? 8) 2 ? y 2 , 2

由两点距离公式,点 M 适合的条件可表示为 平方后再整理,得

x2 ? y 2 ? 16 . 可以验证,这就是动点 M 的轨迹方程.

(2)设动点 N 的坐标为(x,y),M 的坐标是(x 1,y1). 由于 A(2,0),且N为线段 AM 的中点,所以

x?

2 ? x1 0 ? y1 , y? .所以有 x1 ? 2 x ? 2 , y1 ? 2 y 2 2
2



由(1)题知,M 是圆 x

? y 2 ? 16 上的点,
2

所以 M 坐标(x1,y1)满足: x1

? y12 ? 16 ②

将①代入②整理,得 ( x ? 1)

2

? y2 ? 4 .

所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心,以 2 为半 径的圆(如图中的虚圆为所求). 19.解:(1)∵ 点 P(a,a+1)在圆上, ∴

a 2 ? (a ? 1) 2 ? 4a ? 14(a ? 1) ? 45 ? 0 , ∴ a ? 4 , P(4,5),


| PQ |? (4 ? 2) 2 ? (5 ? 3) 2 ? 2 10 ,
圆心坐标 C 为(2,7),

KPQ=

3?5 1 ? , ?2?4 3

(2)∵

∴ | QC |? ∴

(2 ? 2) 2 ? (7 ? 3) 2 ? 4 2 ,

| MQ |max ? 4 2 ? 2 2 ? 6 2 , | MQ | min ? 4 2 ? 2 2 ? 2 2 。
y ? 3 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 , 即
| ?2k ? 7 ? 2k ? 3 | 1? k 2 ?2 2 ,

(3)设点(-2,3)的直线 l 的方程为:

易知直线 l 与圆方程相切时,K 有最值, ∴

∴ k ? ?2 ? 3

∴K ?

n?3 的最大值为 ? 2 ? 3 ,最小值为 ? 2 ? 3 . m?2


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