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江苏省盐城市2016届高三年级第一学期期中考试数学试卷

时间:2015-11-16


盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上. 1.若集合 A ? (??, m] , B ? x ?2 ? x ? 2 ,且 B ? A ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ .

?

?

2.命题“ ?x ? (0,

?
2

) , sin x ? 1 ”的否定是



命题.(填“真”或“假” )

3. 设点 P(m, 2) 是角 ? 终边上一点,若 cos ? ? 4.函数 f ( x) ? e ? x 的单调递增区间为
x

2 ,则 m ? 2
.



.



5.若函数 f ( x) ? cos x ? x 的零点在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )内,则 k = 6.设函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? mx 2 ) 是奇函数,则实数 m 的值为 7. 已知直线 x ? 的值为 ▲ .



.

?
3

过函数 f ( x) ? sin(2 x ? ?)(其中 ? .

?
2

?? ?

?
2

) 图象上的一个最高点, 则 f(

5? ) 6



8.在锐角 ?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 3 , ?ABC 的面积为

3 3 ,则 AC 的长为 2
▲ P

▲ . C

.

9.设向量 OA ? (5 ? cos? , 4 ? sin ? ) , OB ? (2,0) ,则 | AB | 的取值范围是 10.如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 4 ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 点 P 是 DC 边的中点,则 PA ? PB 的值为
11.若函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x 在 x ?
2

D



. A
第 10 题图

1 处取得极 2

B

大值,则正数 a 的取值范围是



.

12.设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列,且 a2 ? a5 ? 2am , 则m? ▲ .
n

13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? (?1) ?

1 ,若存在正整数 n ,使得 (an?1 ? p) ? (an ? p) ? 0 成立, n
·1·

则实数 p 的取值范围是



.

14. 设函数 f ( x) ?| e x ? e2 a | ,若 f ( x ) 在区间 (?1,3 ? a) 内的图象上存在两点,在这两点处的切线相 互垂直,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把 答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 f ( x) ? ?1 ,求 cos(

2? ? 2 x) 的值. 3

16.(本小题满分 14 分)

2 设集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? ?x || x ? a |? 1 ?.

?

?

(1)若 a ? 3 ,求 A ? B ; (2)设命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,已知 A ?

?
4

,a ? 3.

3 ,求边 c 的长; 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)若 | CA ? CB |? 6 ,求 CA ? CB 的值.
(1)若 sin B ?

·2·

18.(本小题满分 16 分) 如图,河的两岸分别有生活小区 ABC 和 DEF ,其中 AB ? BC , EF ? DF , DF ? AB ,

C, E, F 三点共线,FD 与 BA 的延长线交于点 O ,测得 AB ? 3km ,BC ? 4km ,DF ?
3 km . 若以 OA, OD 所在直线 2 分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系 xOy ,则河岸 x?b DE 可看成是曲线 y ? (其中 a , b 为常数) x?a 的一部分,河岸 AC 可看成是直线 y ? kx ? m (其 中 k , m 为常数)的一部分. (1)求 a, b, k , m 的值; ( 2 )现准备建一座桥 MN ,其中 M , N 分别在 DE, AC 上,且 MN ? AC ,设点 M 的横坐标为
FE ? 3km , EC ?

9 km , 4

y F M D N E C

t.
①请写出桥 MN 的长 l 关于 t 的函数关系式 l ? f (t ) ,并注明定义域; ②当 t 为何值时, l 取得最小值?最小值是多 少?

O

A
第 18 题图

B

x

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;

k 1 在 [ 2 , ?? ) 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; x e 1 k ex (3) 是否存在实数 k , 使得对任意的 x ? ( , ??) , 都有函数 y ? f ( x) ? 的图象在 g ( x) ? 的 2 x x 图象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由.
(2)若函数 y ? f ( x) ? (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , e ? 1.6487 ).
1 2

·3·

20. (本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 满足

(1)若 p ? 1 , r ? 0 ,求证: ?an ? 是等差数列; (2)若 p ?

Sn ,其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和. ? pn ? r ( p, r 为常数) an

1 , a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 3 (3)若 a2015 ? 2015a1 ,求 p ? r 的值.

盐城市 2016 届高三年级第一学期期中考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. [2, ??) 8. 2. 假 9. [4, 6] 3.

2

4. (0, ??) 11. (0, 2)

5. 1 12. 8

6. 1 13. ( ?1, )

7. -1

7
1 1 (? , ) 2 2

10. 7

3 2

14.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答 案写在答题纸的指定区域内. 15.解: (1)因为 f ( x) ? 2分

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

…………

?
6分 所

3 cos 2 x 1 ? 1 sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2


………… 小 正 …………8 分 周 期 为

f ( x)





T?

2? ?? . 2

(2)因为 f ( x) ? ?1 ,所以 sin(2 x ? 10 分

?
6

)?

1 ? 1 ? ?1 ,即 sin(2 x ? ) ? ? , 2 6 2
·4·

…………

所以 cos ? 14 分

? ? ? 1 ? 2? ? ?? ? 2 x ? ? cos ? ? (2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? ? . 6 ? 6 2 ? 3 ? ?2

…………

2 16.解: (1)解不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 ?3 ? x ? 1 ,即 A ? ? ?3 ,1 ? ,

..............2 ..............4 以

分 当 a ? 3 时, 由 x ? 3 ? 1, 解得 ?4 ? x ? ?2 , 即集合 B ? ? ?4, ?2 ? , 分 所

A ? B ? ? ?4


?;
集 合

..............6 分 (2) , ...............8 分 ,

因为 p 是 q 成立的必要不充分条件,所以集合 B 是集合 A 的真子集.

A ? ? ?3,1?
..............10 分

B ? (?a ? 1, ?a ? 1) ,
所 以

??a ? 1 ? ?3 ? ??a ? 1 ? 1
..............12 分



??a ? 1 ? ?3 , ? ??a ? 1 ? 1
解 得

0?a?2





0 ? a ? 2.
17.解: (1)在 ?ABC 中,因为 sin B ? 所

实 数 a ...............14 分













? 3 2 ,所以 B ? A ? , ? sin A ? 4 5 2


c

B?


4 , 5

o 分 ...............2


s C?
由 正 弦

2 2
定 理



...............4 i 分 , 得

A?


a c ? sin A sin C

3 ? 2 2

c 7 1



2 0



7 3 . ...............6 分 5 ??? ? ??? ? 2 A? C B ? 6, (2 ) 因C 得 b ? 3? 2 3 b c o s C6 ? c?
分 由余弦定理,有 b ? 3 ? 2 3b cos C ? c ① +
2 2

①,

...............8

②, ②

, ...............10 分

得 ...............12

c ? 2b ,
再由余弦定理, 有 b ? c ? 2bc ? 3 , 解得 b ? 3, c ? 6 ,
2 2


·5·

2 2 2 所以 a ? b ? c ,即 C ?

?
2

,所以 CA ? CB ? 0 .

??? ? ??? ?

……………

14 分 (说明:其它方法类似给分)

? 7 b ? ? 7 x?b ? 4 a 18.解: (1)将 D (0, ), E (3, 4) 两点坐标代入到 y ? 中,得 ? , 4 x?a ?4 ? 3 ? b ? 3? a ?
2分 解

……………

得 …………3 分

?a ? ?4 . ? ?b ? ?7
? 0? ? 3 9 ? 再将 A( , 0), C ( , 4) 两点坐标代入到 y ? kx ? m 中,得 ? 2 2 ?4 ? ? ?
5分 解

3 k?m 2 , 9 k?m 2

…………

得 …………6 分

4 ? ?k ? 3. ? ? ?b ? ?2
(2)①由(1)知直线 AC 的方程为 y ? 7分 设点 M 的坐标分别为 M (t ,

4 x ? 2 ,即 4 x ? 3 y ?6 ?0 . 3

…………

t ?7 ) ,则利用点到直线的距离公式, t ?4
…………

得l ? 9分

| 4t ? 3 ?

t ?7 ?6| 1 9 t ?4 ? | 4t ? ?9|, 2 2 5 t ?4 4 ?3

又由点 D, E 向直线 AC 作垂线时,垂足都在线段 AC 上,所以 0 ? t ? 3 , 所以 l ? f (t ) ? 10 分 ② 方法一:令 g (t ) ? 4t ?

1 9 | 4t ? ?9|,0 ? t ? 3. 5 t?4

…………

9 (2t ? 5)(2t ? 11) ? 9, 0 ? t ? 3 ,因为 g ?(t ) ? , t ?4 (t ? 4) 2 5 11 所以由 g ?(t ) ? 0 ,解得 t ? 或 t ? (舍) , 2 2

…………

12 分

·6·

所以当 t ? (0, ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递增;当 t ? ( , 3) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调递减. 从而当 t ? 14 分 即当 t ?

5 2

5 2

5 5 时, g (t ) 取得最大值为 g ( ) ? ?5 , 2 2

…………

5 时, l 取得最小值,最小值为 1km . 2

…………

16 分 方法二:因为 0 ? t ? 3 ,所以 1 ? 4 ? t ? 4 , 则 4t ? 12 分

9 9 9 ? 9 ? 4(t ? 4) ? ? 7 ? 7 ? [4(4 ? t ) ? ] t ?4 t ?4 4?t

…………

9 ? 7 ? 2 ? 6 ? ?5 , 4?t 9 5 当且仅当 4(4 ? t ) ? ,即 t ? 时取等号, 4?t 2 ? 7 ? 2 4(4 ? t ) ?
14 分 即当 t ? 16 分 方法三:因为点 M 在直线 AC 的上方,所以 4t ? 所以 l ? f (t ) ? ? (4t ?

…………

5 时, l 取得最小值,最小值为 1km . 2 9 ? 9 ? 0, t?4

…………

1 5

9 ? 9) , 0 ? t ? 3 , t ?4

………… …………

12 分 以下用导数法或基本不等式求其最小值(此略,类似给分). 16 分

DE 相切, 方法四:平移直线 AC 至 AC 1 1 ,使得 AC 1 1 与曲线
则 点. 由y? 14 分 故当 t ? 16 分 19. 解: (1)因为 f ?( x) ? 2分 又 切 点 即 为

l



得 最 小 …………12 分







M

x?7 5 3 3 4 ? ,且 0 ? t ? 3 ,解得 t ? , ………… ,得 y ? ? ,则由 k ? 2 2 x?4 2 ( x ? 4) (t ? 4) 3 5 时, l 取得最小值,最小值为 1km . 2
1 ,所以 f ?(1) ? 1 ,则所求切线的斜率为 1 , x
, 故 所 求 切 线 的 方 …………

…………… 程 为

f (1) ? ln1 ? 0

·7·

y ? x ?1.
题意知方程 ln x ? 由 ln x ? 6分

................4 分(2)因为 f ( x) ?

k k ? ln x ? ,则由 x x

k ?1 ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个不同的根. x ?e ?
……………

k ?0, 得 ? k ? x ln x , x

1 . e ? 1 1? ?1 ? 当 x ? ? 2 , ? 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 单调递 ?e e ? ?e ?
令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 增, 所以当 x ? 8分 y

1 1 1 时,g ( x) 取得最小值为 g ( ) ? ? . e e e
2 e2 1 ? 1e ?

…………… O
1 1 e2 e

1 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , 2 e e 1 2 2 1 所以 ? ? ? k ? ? 2 ,解得 2 ? k ? . e e e e
又 g( 10 分 (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ?
x 即 k ? e ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立.

1

1

x

1

……………

1 k ex ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x

1 2 x 令 h( x) ? e ? x ln x ,则 h?( x) ? ex ? ln x ? 1 ,
12 分 令 r ( x) ? e x ? ln x ? 1,则 r ?( x) ? e ?
x

……………

1 , x 1 1 1 1 ? ? r ( ) ? e2 ? 2 ? 0 , r?(1) ? e ? 1 ? 0 , 因为 r ( x) 在 ( , ??) 上单调递增, 且 r ?( x) 的图象在 ( ,1) 2 2 2 1 1 x ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 , 上不间断,所以存在 x0 ? ( ,1) ,使得 r?( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ? 2 x0 1 所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 2 1 1 x 则 r ( x) 取到最小值 r ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ? ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , ……………14 x0 x0
分 所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增.

1 2

·8·

1 1 1 1 ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 所以存在实数 k 满足题意,且最大整数 k 的值为 1 .

所以 k ? h( ) ? e 2 ? 16 分

1 2

1

……………

20.解: (1)证明:由 p ? 1 , r ? 0 ,得 Sn ? nan ,所以 Sn?1 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) , 两式相减,得 an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,所以 ?an ? 是等差数列. …………… 4分 (2)令 n ? 1 ,得 p ? r ? 1,所以 r ? 5分

2 , 3 1 3 1 3

……………

1 2 3 3 a n ?1 得 n ? (n ? 2) , an?1 n ? 1
分 所以

则 S n ? ( n ? ) an ,所以 S n ?1 ? ( n ? )an ?1 (n ? 2) ,两式相减, ……………7

a a a2 a3 a4 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) ,化简得 n ? ? ? ? n ? ? ? ? (n ? 2) , a1 a2 a3 an?1 1 2 3 n ? 1 a1 1? 2
……………9 ……………

所以 an ? n2 ? n(n ? 2) , 分 又 a1 ? 2 适合 an ? n2 ? n( n ? 2) ,所以 an ? n2 ? n . 10 分

(3)由(2)知 r ? 1 ? p ,所以 Sn ? ( pn ? 1 ? p)an ,得 Sn?1 ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) , 两式相减,得 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) , 易知 p ? 0 ,所以 分

an an ?1 ? (n ? 2) . pn ? 1 ? 2 p p(n ? 1)

……………12

a a a a a 1 时,得 n ? n ?1 (n ? 2) ,所以 2015 ? 2014 ? ? ? 1 , 2 n n ?1 2015 2014 1 满足 a2015 ? 2015a1 ;
①当 p ? 分 ②当 p ?

……………14

1 时,由 p(n ?1)an ? ( pn ? 1 ? 2 p)an?1 (n ? 2) ,又 an ? 0 , 2 a a a a 所 以 p(n ? 1a , , 所 以 2015 ? 1 , 不 满 足 ) ? 2 )即 n ? n ?1 (n ? 2 ) n ? pnan ?1 n ( n n ?1 2015 1 a2015 ? 2015a1 ; 1 ③当 p ? 且 p ? 0 时,类似可以证明 a2015 ? 2015a1 也不成立; 2 1 1 1 综上所述, p ? , r ? ,所以 pr ? . ……………16 分 2 2 4
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·9·

·10·


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