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高中数学训练题组(选修4-4 4-5)含答案

时间:2013-11-23

《高中数学训练题组》
数学选修 4-4 [基础训练 A 组] 一、选择题 坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t 1.若直线的参数方程为 ? (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



A. C.

2 3 3 2

B. ? D. ?

2 3 3 2

? x ? sin 2? 2.下列在曲线 ? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?



1 A. ( , ? 2) 2

3 1 B. (? , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? y ? sin ? ?

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

4.化极坐标方程 ? 2 cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1 )

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为(

? ? 2? ? A. (2, ) B. (2, ? ) C. (2, ) D. (2, 2k? ? ),(k ? Z ) 3 3 3 3 6.极坐标方程 ? cos? ? 2sin 2? 表示的曲线为( )
A.一条射线和一个圆 二、填空题
? x ? 3 ? 4t 1.直线 ? (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 2.参数方程 ? t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?

B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x ? 1 ? 3t 3.已知直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 4.直线 ? (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2 5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。

三、解答题 1.已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
?x ? 1 ? t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P 2.求直线 l1 : ? ? y ? ?5 ? 3t ?

与 Q(1, ?5) 的距离。

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

数学选修 4-4 [综合训练 B 组] 一、选择题

坐标系与参数方程

?x ? a ? t 1. 直线 l 的参数方程为 ? 则点 P1 与 P(a, b) 之 (t为参数) ,l 上的点 P1 对应的参数是 t1 , ?y ? b ? t

间的距离是( A. t1

) B. 2 t1 C. 2 t1 D.
2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ?y ? 2 ? A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线

) D.两条射线

1 ? ?x ? 1 ? 2 t ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2 则 AB 的中点坐标为( )

A. (3, ?3)

B. (? 3,3)

C. ( 3, ?3)

D. (3, ? 3) )

4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3 sin ? 的圆心坐标是(
2

A. (?5, ?

4? ) 3

B. (?5, ) 3

?

C. (5, ) 3

?

D. (?5,

5? ) 3

?x ? t ? (t为参数) 等价的普通方程为( 5.与参数方程为 ? ?y ? 2 1? t ?



A. x2 ? C. x2 ?

y2 ?1 4
y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x2 ? D. x2 ?

y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4 y2 ? 1(0 ? x ? 1,0 ? y ? 2) 4

? x ? ?2 ? t 6.直线 ? (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( y ?1? t ?



A. 98

B. 40

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

二、填空题
1 ? ?x ? 1 ? 1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1 ? t2 ?
? x ? 3 ? at 2.直线 ? (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?
1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题
? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) 1.参数方程 ? (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



3

(2)设 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。

数学选修 4-4 坐标系与参数方程. [提高训练 C 组] 一、选择题 1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是( )
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 ? y ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 ? y ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 ? y ? tan t ?

? x ? ?2 ? 5t 2.曲线 ? (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t



2 1 A. (0, )、 ,0) ( 5 2

1 1 B. (0, )、 ,0) ( 5 2 5 D. (0, )、 (8,0) 9

C. (0, ?4)、 (8,0)

? x ? 1 ? 2t 3.直线 ? (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ?2?t ?



A. C.

12 5

B. D.

12 5 5 9 10 5

9 5 5

? x ? 4t 2 4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? (t为参数) 上, ? y ? 4t

则 PF 等于(



A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为(



A.极点 B.极轴 C.一条直线 D.两条相交直线 6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos? ? 2 B. ? sin ? ? 2



4

C. ? ? 4sin(? ? ) 3

?

D. ? ? 4sin(? ? ) 3

?

二、填空题
? x ? 2 pt 2 1.已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上 的 两 点 M , N 对 应 的 参 数 分 别 为 t1和t2, , ? y ? 2 pt

且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN =_______________。
? x ? ?2 ? 2t ? (t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。 2.直线 ? ? y ? 3 ? 2t ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? 3.圆的参数方程为 ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。
? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2 cos ? 5.直线 ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题
1 t ? ?t ? x ? 2 (e ? e ) cos ? ? 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e?t )sin ? ? ? 2

(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P(

10 ,0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x 2 ? 12 y 2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值。

5

数学选修 4-4 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C
k?

坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2

3 1 转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ? 时, y ? 4 2 转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ?[2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ),(k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?
5 4 k? y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4
? ? x ? et ? e ? t ?x ? ? ? ?? ?y t ?t ? ?e ?e ?x ? ?2 ? ? y ? 2et y y 2 ? (x ? ) x ? ? ( ) y 2 2 ?t ? 2e 2

x2 y 2 2. ? ? 1,( x ? 2) 4 16

4

3.

5 2

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 将? 代入 2x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B( ,0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t

4 . 14

直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?
2 2 14 ) ? ,得弦长为 14 2 2

1 2

?

2 ,弦长的一半为 2

22 ? (

5. ? ?

?
2

??

? c o s c o? ? s i?n s?i n ? s ? ?

0 ,?c o ? (,取 ?) ? ?0? ? s?

?
2

三、解答题
? x ? cos ? 1.解: (1)设圆的参数方程为 ? , ? y ? 1 ? sin ?
2 x ? y ? 2cos ? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ? 1 ?? 5 ? 1 ? 2 x ? y ? 5 ? 1

(2) x ? y ? a ? cos? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

6

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ?a ? ? 2 ?1

?
4

) ?1

?x ? 1 ? t ? 2.解:将 ? 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? y ? ?5 ? 3t ?

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) 2 ? 62 ? 4 3
4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4cos ? ? 3.解:设椭圆的参数方程为 ? ,d ? 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

?

4 5 4 5 ? cos ? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

4 5 ? 当 cos(? ? ) ? 1 时, dmin ? ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5 3 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [综合训练 B 组] 一、选择题

1.C 2.D 3.D

距离为 t12 ? t12 ? 2 t1
y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2
1 ? ?x ? 1 ? 2 ? 4 ?x ? 3 ? ? 中点为 ? ?? ? ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? y ? ? 3 ? ? 2

4.A 5.D

5 5 3 圆心为 ( , ? ) 2 2 y2 y2 x2 ? t , ? 1 ? t ? 1 ? x2 , x2 ? ? 1, 而t ? 0,0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ?2 ? t ? ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? 2 ?y ?1? t ?y ?1? t ? ? y ? 1 ? 2t ? 2 ?
( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82

6.C

二、填空题 x( x ? 2) 1. y ? ( x ? 1) ( x ? 1)2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1 ? t2 , t 1? x

7

1 2 x( x ? 2) 即 y ?1? ( ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1)2

2. (3, ?1) 3. 22

y ?1 4 ? , ?( y ? 1)a ? 4 x ? 12 ? 0 对于任何 a 都成立,则 x ? 3, 且y ? ?1 x?3 a

椭圆为

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos ? , 2sin ? ) , 6 4

x ? 2 y ? 6 cos ? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22

4. x 2 ? y
4t ? ?x ? 1 ? t2 ? 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c2o s? ? c o? s c 2 ?s o

s? n? , i 2

2

x ? ? s ? 即? 2i n y , co s ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? ?x ? 1 ? t2 4t ? 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? 2 2 1? t ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然
y2 1 1 y ,cos2 ? ? 2 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? 2 y x cos ? x ?1 x2 1 1 2 tan ? x ? cos2 ? ? sin ? cos? ? sin 2? ? cos2 ? ? ? ? cos2 ? 2 2 1 ? tan 2 ?
y y ?1 y2 y x ? 1 ? x , x(1 ? 2 ) ? ? 1 2 2 2 y y y x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2

1 即x? ? 2

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x 12cos? ? 12sin ? ? 24 2.解:设 P(4cos? ,3sin ? ) ,则 d ? 5

得x?

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5

?

? 12 当 cos(? ? ) ? ?1 时, dmax ? (2 ? 2) ; 4 5

? 12 当 cos(? ? ) ? 1 时, dmin ? (2 ? 2) 。 4 5
? ? ? 3 t ?x ? 1 ? ? x ? 1 ? t cos 6 ? ? 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ?y ?1? 1 t ? y ? 1 ? t sin ? ? ? 6 ? ? 2

8

? 3 t ?x ? 1 ? ? 2 代入 x2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ?y ?1? 1 t ? ? 2

得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2

数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.D xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制 2.B 当 x ? 0 时, t ? 当 y ? 0 时, t ?
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( ,0) 2 2 2
2
? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ? t 5

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0

8 16 12 12 ,弦长为 5 t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? 5 5 5 5 5

4.C 5.D 6.A

抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0,cos 2? ? 0,? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN ? 2 p t1 ? t2 ? 2 p 2t1
2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? , t ? ? 2 2

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

3. 5
2 2

? x ? 3sin ? ? 4cos ? 由? 得 x 2 ? y 2 ? 25 y ? 4sin ? ? 3cos ? ?

1 1 圆心分别为 ( ,0) 和 (0, ) 2 2 ? 5? 5. ,或 直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时, 6 6

4.

9

易知倾斜角为 三、解答题

? 5? ,或 6 6

1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos? ?

x 1 t (e ? e?t ) 2
x2

,sin ? ?

y 1 t (e ? e?t ) 2
?1

而 x2 ? y 2 ? 1 ,即

1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

1 (2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ? (et ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2

当 ? ? k? ?

?

1 , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (et ? e?t ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ? t ?t ?e ? e ? cos ? ?2e ? cos ? ? sin ? k? ? ? 当? ? ,即 ? , k ? Z 时,得 ? 2 ?et ? e ? t ? 2 y ?2e?t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?

得 2et ? 2e?t ? ( 即

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos? sin ? cos? sin ?

x2 y2 ? 2 ?1 。 cos2 ? sin ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?

(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ?

3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ?

所以当 sin 2 ? ? 1 时,即 ? ?

?
2

, PM ? PN 的最小值为

3 ? ,此时 ? ? 。 4 2

10

数学选修 4-5 不等式选讲 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( ) A.
x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?

D. 2x ? 2? x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3x ? 27 y ? 1 的最小值是( A. 3 3 9 B. 1 ? 2 2 C. 6 D. 7



3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B C. A ? B

x? y x y , B? ,则 A, B 的大小关系是( ? 1? x ? y 1? x 1? y



B. A ? B D. A ? B )

4.若 x, y, a ? R ? ,且 x ? y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是( A.
2 2

B. 2

C. 1

D. ) D. 6 )

1 2

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1) ? [4,7) C. (?2, ?1] ? [4,7) 二、填空题 1.若 a ? b ? 0 ,则 a ?

B. (?2,1] ? (4,7] D. (?2,1] ? [4,7)

1 的最小值是_____________。 b( a ? b)

2.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

3.已知 x, y ? 0 ,且 x2 ? y 2 ? 1 ,则 x ? y 的最大值等于_____________。 4.设 A ?
1 1 1 1 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 12 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x2 1 3

5.函数 f ( x) ? 3x ? 三、解答题

1.已知 a ? b ? c ? 1,求证: a 2 ? b2 ? c 2 ?

11

2.解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0

3.求证: a2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 1

4.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 2

?

1 3

? ... ?

1 n

?2 n

数学选修 4-5 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2 B. 3

不等式选讲

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值是( ? ? a ?b b?c a ?c



C. 4
2

D. 6

2. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ? A.最小值 1

x ? 2x ? 2 有( ) 2x ? 2 B.最大值 1 C.最大值 ?1 D.最小值 ?1

3.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P ? Q ? R C. Q ? P ? R B. P ? R ? Q D. Q ? R ? P



4.设不等的两个正数 a, b 满足 a3 ? b3 ? a2 ? b2 ,则 a ? b 的取值范围是( A. (1, ??)
4 C. [1, ] 3 4 B. (1, ) 3



D. (0,1) )

1 1 1 5.设 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? 1,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( a b c

A. 0 ? M ?

1 8

1 B. ? M ? 1 8

C. 1 ? M ? 8

D. M ? 8

12

6.若 a, b ? R ? ,且 a ? b, M ? A. M ? N 二、填空题 B. M ? N

a b

?

b a

, N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 D. M ? N

C. M ? N

1.设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3x ?

1 的最大值是__________。 x

2.比较大小: log3 4 ______ log6 7 3.若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示 a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________。 5.若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 xlg x ? y lg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____ 。 三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

2.求证:

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3

3.当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2n ? 2(n ? 1)

13

4.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a2 ? b2 ? c2 ? 1 求证: 1 ? a ? b ?
4 3

数学选修 4-5 [提高训练 C 组] 一、选择题

不等式选讲

1.若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是(
33 2 2



A.

B.

23 3 3

C.

3 2

3

D.

2 3

2

2. a, b, c ? R? ,设 S ?

a b c d , ? ? ? a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

则下列判断中正确的是( ) A. 0 ? S ? 1 B. 1 ? S ? 2 C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4 1 16 x 3.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? ? 2 的最小值为( x x ?1 A. 16 C. 4 B. 8 D.非上述情况
2



4.设 b ? a ? 0 ,且 P ?

1 1 ? a 2 b2 则它们的大小关系是( A. P ? Q ? M ? N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R

,Q ?

2 1 1 ? a b

, M ? ab , N ?

a 2 ? b2 a?b ,R? , 2 2

) B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

二、填空题 1.函数 y ?
3x ( x ? 0) 的值域是 x ? x ?1
2

.

2.若 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? 1,则 a ? b ? c 的最大值是 3.已知 ?1 ? a, b, c ? 1 ,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a ? 0 ,则 a ? .

1 1 . ? a 2 ? 2 的最大值为 a a 5.若 x, y, z 是正数,且满足 xyz( x ? y ? z) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z) 的最小值为______。

14

三、解答题 1. 设 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3
2 2 2

2.已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d

3.已知 a, b, c ? R? ,比较 a3 ? b3 ? c3 与 a2b ? b2c ? c2 a 的大小。

4.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。

5.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 24 求证:
4 4 4 ? x ? 3, ? y ? 3, ? z ? 3 3 3 3

15

数学选修 4-5 一、选择题 1.D 2.D 3.B

不等式选讲 [基础训练 A 组]

? 2 x ? 0, 2? x ? 0,? 2x ? 2? x ? 2 2 x 2? x ? 2

3x ? 33 y ? 1 ? 2 3x ? 33 y ? 1 ? 2 3x ?3 y ? 1 ? 7

B?

x y x y x? y ? ? ? ? ? A ,即 A ? B 1? x 1? y 1? x ? y 1? y ? x 1? x ? y
x2 ? y 2 x ? y 2 ? ,即 x 2 ? y 2 ? ( x ? y) , 2 2 2

4.B

?

? x? y ?

2 ( x ? y ) ,而 x ? y ? a x ? y , 2

1 2 1 即 x ? y ? ( x ? y ) 恒成立,得 ? ,即a ? 2 a 2 a

5.A

y ? x?4 ? x?6 ? x?4?6? x ? 2
? 2 x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ??2 ? x ? 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] ? [4,7) ? ? 2 x ? 5 ? 3 ?2 x ? 5 ? 3, 或2 x ? 5 ? ?3 ? x ? 4, 或x ? 1 ?

6.D

二、填空题 1. 3
( a ? b) ? b ? 1 1 ? 3 3 ( a ? b) ? b ? ?3 b( a ? b) b( a ? b)

2.

b b?m a?n a ? ? ? a a?m b?n b

由糖水浓度不等式知

b b?m ? ?1, a a?m


x? y ? 2

b b?n a a?n a?n a ? ? 1 ,得 ? ? 1 ,即 1 ? ? a a?n b b?n b?n b
x2 ? y 2 , x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 2

3. 2 4. A ? 1

A?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 ? 10 ? 10 ? 10 ? ?? ? 10 ? 1 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 1 ??????????? 2 2 ? 2 2 ?
210 个

5. 9

12 3 x 3 x 1 2 3 x3 x3 1 2 f ( x)? 3x? 2 ? ? ?2 ? 3 ? ? 9 ? x 2 2 x 2 2 x2

三、解答题 1.证明:? a 2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac)
? (a ? b ? c)2 ? 2(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1

16

? a 2 ? b2 ? c 2 ?

1 3

1 ( a ? b ? c) 2 另法一:? a 2 ? b2 ? c 2 ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 3
1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ) 3 1 ? [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (a ? c) 2 ] ? 0 3

? a 2 ? b2 ? c 2 ?

1 3

另法二:? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1 即 3(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 1 ,? a 2 ? b2 ? c2 ?
1 3

2.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?
4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ? 1 ? 0 3

2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ; 2 3 2 4 当 ?7 ? x ? 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ? 1 ? 0 3

得 x ?5?

1 2 1 2 4 得x?? ? ,即 ? ? ?x? ; 2 4 2 4 3

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ? 1 ? 0 得x ?6?
2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2

1 2 2 所以解为 ? ? ? x ?5? 2 4 2

3.证明:? (a 2 ? b2 ) ? (ab ? a ? b ? 1)
? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2 1 2 ? [(a ? 2ab ? b 2 ) ? (a 2 ? 2a ? 1) ? (b 2 ? 2b ? 1)] 2 1 ? [(a ? b) 2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? 0 2

? a2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 1 1 1 1 4.证明:? ? ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k

17

? 2( k ? 1 ? k ) ? ? 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 k 1 2

? 2( k ? k ? 1) ? 1 3 ? ... ? 1 n ?2 n

数学选修 4-5 一、选择题 1.C
?

不等式选讲

[综合训练 B 组]

a ?c a ?c a ?b?b?c a ?b?b?c b ?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c 1 1 4 1 1 n ,而 恒成立,得 n ? 4 ? ? ? ? a ?b b?c a ?c a ?b b?c a ?c
( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

?

2.C

y?

3.B

? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;

又? 6 ? 3 ? 7 ? 2,? 6 ? 2 ? 7 ? 3 ,即 R ? Q ,所以 P ? R ? Q 4.B
a2 ? ab ? b2 ? a ? b,(a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?

( a ? b) 2 4

所以 0 ? (a ? b)2 ? (a ? b) ?

(a ? b)2 4 ,得 1 ? a ? b ? 4 3

5.D

M ?(
?

a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc

8 ab bc ac ?8 abc a b 6.A ? a ? b,? ? b ? 2 a, ? a ?2 b b a a b a b ? ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a

二、填空题 1. 3 ? 2 3 2. ?
y ? 3 ? 3x ? 1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ymax ? 3 ? 2 3 x x

设 log3 4 ? a,log6 7 ? b ,则 3a ? 4,6b ? 7 ,得 7 ? 3a ? 4 ? 6b ? 4 ? 2b ? 3b 即 3a ?b ?
4 ? 2b 4 ? 2b ,显然 b ? 1, 2b ? 2 ,则 3a ?b ? ?1? a ? b ? 0 ? a ? b 7 7
2

3.

a2 14

2 2 2 ? ( 1 ? 2 ? 3 x) ( 2 ? y

?z

2

) x ( ? y2 ? z 3 2 )?a 2 ?

即 14( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? a2 ,? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4. 3

a2 14

1 M ? (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) 4

18

3 ? (a ? b ? c ? d ) ? 3 ,即 M min ? 3 4

5. 12

l g xl gx ? y l yg ? z (

l g z

2 2 )? 1? l gx ? l g ? y

2 lz ? g

1

而 lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? (lg x ? lg y ? lg z)2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x)
? [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1

即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时 lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 , 得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10 x ? y ? z ? 12 三、解答题 1.解:? x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1
? ( x ? 3 ? x ? 4 )min ? 1

当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? , 所以 a ? 1 2.证明:? (12 ? 12 ? 12 )(a 2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2
? a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c ) 2 ? 3 9
a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3



1 2 n 1 n n 3.证明:? 2n ? (1 ? 1)n ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2(n ? 1)

? 2n ? 2(n ? 1) (本题也可以用数学归纳法)

4.证明:? a ? b ? 1 ? c, ab ?

(a ? b)2 ? (a 2 ? b2 ) ? c2 ? c 2

? a, b 是方程 x2 ? (1 ? c) x ? c 2 ? c ? 0 的两个不等实根,

1 则 ?? (1 ? c)2 ? 4(c2 ? c) ? 0 ,得 ? ? c ? 1 3

而 (c ? a)(c ? b) ? c2 ? (a ? b)c ? ab ? 0 即 c2 ? (1 ? c)c ? c2 ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ?
2 3

19

1 4 所以 ? ? c ? 0 ,即 1 ? a ? b ? 3 3

数学选修 4-5 一、选择题 1.A 由 log x y ? ?2 得 y ? 而x? y? x? 2.B

不等式选讲
1 , x2

提高训练 C 组]

1 x x 1 x x 1 1 3 ? ? ? ? 33 ? ? 2 ? 33 ? 3 2 x2 2 2 x2 2 2 x 4 2

a b c d ? ? ? a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b ? a b c d a?b?c?d ? ? ? ? ?1 a?b?c?d b?c?d ?a c?d ?a?b d ?a?b?c a?b?c?d

即 S ? 1, 得 即

a a c c b b d d , , , ? ? ? ? a?b?c a?c c?d ?a a?c b?c?d b?d d ?a?b d ?b

a c c a b d d b ? ? ? ? 1, ? ? ? ?1 a?b?c c?d ?a a?c a?c b?c?d d ?a?b d ?b b?d a b c d ? ? ? ? 2 ,得 S ? 2 ,所以 1 ? S ? 2 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

3.B

y? x?

1 16 x 1 16 ? ? x? ? ? 2 16 ? 8 x x2 ? 1 x x? 1 x

4.A R 为平方平均数,它最大 二、填空题 1. [?3,0)

y?

3x 3 1 1 ,? x ? 0,? x ? ? ?2, 得 x ? ? 1 ? ?1 ? 1 x ? x ?1 x ? ?1 x x x
2

?1 ?

1 3 ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? ?3 ? y ? 0 1 1 x ? ?1 x ? ?1 x x
)? 3

2. 3 3. ?

2 2 ( 1 a ? 1 ? b ? 1 ? c2 ) ?2( 1 ? 1 ? 1 ) (b c ? a ? ?

构造单调函数 f ( x) ? (b ? c) x ? bc ? 1 ,则 f (1) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 , f (?1) ? (?1 ? b)(?1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立, 所以 f (a) ? (b ? c)a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1 设 a2 ?
1 1 1 ? t (t ? 2) ,则 a 2 ? 2 ? t 2 ,即 a ? ? t 2 ? 2 a2 a a
1 1 t ? a 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t (t ? 2) , y ' ? ?1 ? 0 2 a a t ?2

4. 2 ? 2

再令 y ? a ?

20

即 t ? [ 2, ??) 时, y 是 t 的减函数,得 t ? 2 时, ymax ? 2 ? 2 5. 2
( x ? y ) ( y? z )? x y 2 y ? ? y? z z? ( y ? x ?) x y ? z 2z x ( ? y x? y ? ) z? z x 2

三、解答题
a b 1.证明:? a, b, c ? R ? , ? ? 1 c c
?0 ?
2
2 2 2 a b ? 1,0 ? ? 1, a 3 , b 3 , c 3 ? 0 c c

2

a3 ? b3
2

c3 2.证明:? a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0

a 2 b 2 a b a?b ? ( )3 ? ( )3 ? ? ? ? 1, c c c c c

2

2

2

?a3 ? b3 ? c3

?(

1 1 1 1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? ( ? ? )[(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b ?c c ?a
? 33 1 1 1 ? ? ? 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) ? 9 a ?b b?c c?a

?

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d

3.解:取两组数: a, b, c 与 a 2 , b2 , c 2 ,显然 a3 ? b3 ? c3 是同序和,
2 a2 b? b ? 2 是乱序和,所以 a3 ? b3 ? c3 ? a2b ? b2c ? c2 a c c a 4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y ? 0

y ? 3? x ? 5 ? 4 ? 6 ? x

? 32 ? 42 ? ( x ? 5)2 ? ( 6 ? x ) 2 ?5

ymax ? 5

5.证明:显然 x ? y ? 8 ? z, xy ?

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? z 2 ? 8z ? 20 2

? x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z ) x ? z 2 ? 8z ? 20 ? 0 的两个实根,
由 ?? 0 得
4 4 4 ? z ? 4 ,同理可得 ? y ? 4 , ? x ? 4 3 3 3

21


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