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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

时间:2019-05-22

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 F1F2 ,
当常数等于 F1F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a , 且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条 射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程 (x ? 6)2 ? y2 ? (x ? 6)2 ? y2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在

x

轴上时

x a

2 2

?

y2 b2

?

1(

a

?

b

?

0

),焦点在

y

轴上时

y2 a2

? x2 b2

=1( a ? b ? 0 )。方程 Ax2 ? By2

?C

表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B)。

若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是___(答: 5, 2 )

(2)双曲线:焦点在

x

轴上:

x a

2 2

?

y2 b2

y2 =1,焦点在 y 轴上: a 2

?

x2 b2

=1( a ? 0,b ? 0 )。方程 Ax2

? By2

? C 表示双曲线

的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号)。

如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答:
x2 ? y2 ? 6 )

(3)抛物线:开口向右时 y2 ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y2 ? ?2 px( p ? 0) ,开口向上时 x2 ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时

x2 ? ?2 py( p ? 0) 。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由 x 2 , y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程 x 2 ? y 2 ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: (??,?1) ? (1, 3) )

m ?1 2? m

2

(2)双曲线:由 x 2 , y 2 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
提醒:在椭圆中, a 最大, a2 ? b2 ? c2 ,在双曲线中, c 最大, c2 ? a2 ? b2 。

4.圆锥曲线的几何性质:

x2 (1)椭圆(以 a 2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )为例):①范围: ?a ? x ? a, ?b ?

y ? b ;②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:

两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0),四个顶点 (?a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线

x ? ? a2 ; ⑤离心率: e ? c ,椭圆 ? 0 ? e ?1, e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。

c

a

如(1)若椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的离心率 e ? 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 25 );

5m

5

3

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2 2 ) x2 y2
(2)双曲线(以 ? ? 1( a ? 0,b ? 0 )为例):①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称 a2 b2
性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0),两个顶点 (?a, 0) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的

长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 x2 ? y2 ? k, k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? a2 ; ⑤离心率:e ? c ,双曲线 ? e ? 1 ,

c

a

等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? b x 。 a

1

(3)抛物线(以 y2 ? 2 px( p ? 0) 为例):①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( p , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线 2

的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线 x ? ? p ; ⑤离心率: e ? c ,抛物

2

a

线? e ?1。

如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为________(答: (0, 1 ) ); 16a

x2 5、点 P(x0 , y0 ) 和椭圆 a 2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0 )的关系:(1)点 P(x0 , y0 ) 在椭圆外 ?

x02 a2

?

y02 b2

? 1;(2)点 P(x0 , y0 ) 在椭

圆上 ?

x02 a2

?

y

2 0

b2

=1;(3)点 P(x0 , y0 ) 在椭圆内 ?

x02 a2

?

y02 b2

?1

6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的 渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ?直线与抛物 线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是
直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。

提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与

x2 双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线 a 2

?

y2 b2

=1

外一点

P(x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双 曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原 点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

S

?

b2

tan

? 2

?

c

|

y0

|

,当 |

y0

|?

b



P

为短轴端点

时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线 S ?

b2
。 如 (1)短轴长为
?

5,

tan

2

练习:点 P 是双曲线上 x 2

? y2 12

? 1 上一点, F1 , F2 为双曲线的两个焦点,且 PF1

PF2

=24,求 ?PF1F2 的周长。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的

交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB;(4)若 AO 的延长 线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。

9、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1, x2 分别为 A、B 的横坐标,则 AB = 1? k 2 x1 ? x2 ,若 y1, y2

分别为 A、B 的纵坐标,则 AB =

1?

1 k2

y1 ? y2

,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则

AB



1? k 2 y1 ? y2 。特别

地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

x2
在椭圆
a2

? y2 b2

?

1 中,以

P(

x0

,

y0

)

为中点的弦所在直线的斜率

k=-

b2 a2

x0 y0



弦所在直线的方程:

垂直平分线的方程:

在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1中,以 P(x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=

b2 x0 a2 y0

;在抛物线

y2

?

2 px( p

? 0) 中,以 P(x0 , y0 ) 为中点

2

p
的弦所在直线的斜率 k= 。
y0 提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 !

11.了解下列结论

(1)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为 x ? y ? 0 ;

a2 b2

ab

(2)以 y ? ? b x 为渐近线(即与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1共渐近线)的双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? ?(? 为参数, ? ≠0)。

a

a2 b2

a2 b2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny2 ? 1;

2b2

b2

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为

,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,抛物线的通径为 2 p ,

a

c

焦准距为 p ;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线 y2

? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB,A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ?

p ;② x1x2

?

p2 4

,

y1 y2

? ? p2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)

12.圆锥曲线中线段的最值问题:

例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________

(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为
分析:(1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,当 A、
距离和最小。



QA

P、F 三点共线时,

H P

B

F

(2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和

最小。 解:(1)(2,

2 )(2)( 1 ,1 ) 4

x2
1、已知椭圆 C1 的方程为

?

y2

? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。

4

(1) 求双曲线 C2 的方程;

(2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为

原点),求 k 的取值范围。
解:(Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3,再由a 2 ? b2 ? c 2得b2 ? 1. a2 b2

故 C2 的方程为 x2 ? y2 ? 1. (II)将 y ? kx ? 2代入 x 2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 )x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0.

3

4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2)2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即

k2 ? 1. 4



将y ? kx ? 2代入 x 2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 )x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得 3

3

??1? 3k 2 ? ? ???2 ? (?6

0, 2k )2

?

36(1 ?

3k 2 )

?

36(1 ?

k2)

?

即k 2 0.

?

1 且k 2 3

? 1.

设A( xA ,

yA ),

B(xB ,

yB ),则xA

?

xB

?

6 2k 1? 3k 2

,

xA

? xB

?

?9 1? 3k 2

由OA?OB ? 6得xAxB ? yA yB ? 6,而

xAxB ? yA yB ? xAxB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)

? (k 2 ?1)xAxB ? 2k(xA ? xB ) ? 2

?

(k 2

?

1)

?

1

?9 ? 3k

2

?

? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ?1

2k

?

6 1?

2k 3k 2

?

2

于是

3k 2 3k 2

?7 ?1

?

6,即15k 3k

2 2

?13 ?1

?

0.

解此不等式得

k2

?

13 15

或k 2

?

1. 3



由①、②、③得 1 ? k 2 ? 1 或 13 ? k 2 ? 1.

4

3 15

故 k 的取值范围为 (?1, ? 13 ) (? 3 , ? 1 ) (1 , 3 ) ( 13 ,1)

15

3 2 23

15

2、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。

(Ⅰ)求 C 的方程;(Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知( MA + MB )

? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

所以曲线

C

的方程式为

y=

1 4

x2

-2.

(Ⅱ)设

P(x 0

,y 0

)为曲线

C:y=

1 4

x

2

-2

上一点,因为

y'

=

1 2

x,所以 l

的斜率为

1 2

x0

因此直线 l



方程为

y

?

y0

?

1 2

x0 (x

?

x0 )

,即

x0 x

?

2y

?

2 y0

?

x2

?

0。

则 O 点到 l 的距离 d

?

| 2 y0 ? x02 x02 ? 4

|

.又

y0

?

1 4

x02

? 2 ,所以 d

?

1 2

x02

?

4

x02 ? 4

?

1( 2

x02 ? 4 ?

4 ) ? 2, x02 ? 4

当 x02 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

x2
3 设双曲线

?

y2

? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于(

)

a2 b2

x2 y2 4、过椭圆 a2 ? b2 ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

4

5、已知双曲线

x2 2

?

y2 b2

? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为

y ? x ,点 P(

3, y0 ) 在双曲线上.则

PF1 · PF2 =( )0

6、已知直线 y ? k ? x ? 2??k ? 0?与抛物线 C : y2 ? 8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若| FA |? 2 | FB | ,则 k ? ( )

7、已知直线 l1 : 4x ? 3y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1,抛物线 y2 ? 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )

8、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程 为_____________.

x2 y2 9、椭圆 9 ? 2 ? 1 的焦点为 F1, F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |?

; ?F1PF2 的大小为

.

10、过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p ? ________________

【解析】设切点

P(x0 , y0 )

,则切线的斜率为

y' |x?x0 ? 2x0

.由题意有

y0 x0

? 2x0



y0 ? x02 ?1 解 得 :

x02

? 1,?

b a

?

2, e

?

1? (b)2 ? a

5

x2
双曲线
a2

y2 ?
b2

? 1 的一条渐近线为 y ?

b a

x

,由方程组

? ? ? ??

y?b a
y ? x2

x ?1

,消去

y,得 x2 ? b x ?1 ? 0 有唯一解,所以△= ( b )2 ? 4 ? 0 ,所

a

a

以 b ? 2 , e ? c ? a2 ? b2 ? 1? (b )2 ? 5

a

a

a

a

由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且 P( 3,1)

或 P( 3,?1) . 不 妨 去 P( 3,1) , 则 PF1 ? (?2 ? 3,?1) ,

PF2 ? (2 ? 3,?1) .



PF1

·

PF2



【解析】设抛物线 C : y2 ? 8x 的准线为 l : x ? ?2 直线

y ? k ? x ? 2??k ? 0? 恒过定点 P ??2, 0? .如图过 A、B 分 别作

(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,? AM ? l 于

5

M , BN ? l 于 N , 由| FA |? 2 | FB | ,则| AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则| OB |? 1 | AF | , 2
?| OB |?| BF | 点 B 的横坐标为1, 故点 B 的坐标为

(1, 2 2)?k ? 2 2 ? 0 ? 2 2 , 故选 D 1? (?2) 3

A? x1,

y1 ?, B ? x2,

y2 ?,则有x1

?

x2,??? ??

y12 y22

? ?

4x1 4x2

两式相减得,y12

?

y22

? 4? x1 ? x2 ?,?

y1 ? y2 x1 ? x2

?

y1

4 ?

y2

?1

?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x

6


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