nbhkdz.com冰点文库

1.3第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法《云师大“1+1”专业数学辅导》

时间:2016-01-12


辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析. (2)基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序. (3)了解秦九韶算法的计算过程,并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效 率的实质. 2.过程与方法 (1)在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因 式的方法,比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨,领会数学算法计 算机处理的结合方式,初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤. (2)模仿秦九韶算法,体会古人计算构思的巧妙. (3)通过对秦九韶算法的学习,了解中国古代数学家对数学的贡献,充分认识到我国文 化历史的悠久.通过对排序法的学习,领会数学计算与计算机计算的区别,充分认识信息技 术对数学的促进. 3.情感、态度与价值观 (1)通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献. (2)在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力,在利用 算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力. ●重点难点 重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法及秦九韶算法的特点. 难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.

(教师用书独具)

●教学建议 在学生学习了算法的初步知识, 理解了表示算法的算法步骤、 程序框图和程序三种不同 方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决 问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表 达能力. 建议充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用, 采用启发式, 并遵循循序渐进的教学 原则.这有利于学生掌握从现象到本质,从已知到未知逐步形成概念的学习方法,有利于发 展学生抽象思维能力和逻辑推理能力.

以问题为载体,让学生经历知识的形成过程和发展过程,从而突出教学重点,通过各种 教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性,增加课堂容量,有利于学生活 动的充分展开. 学生在课堂上要多观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式 相结合,教师要引导学生多角度、多层面认识事物,突破教学难点. ●教学流程 创设情境引入问题:228与1 195的最大公约数如何求 通过例1及变式训练使学生掌握用辗转相除法求最大公约数的方法 ? 通过例2及变式训练使学生掌握用更相减损术求最大公约数的方法 ?通过例 3 及变 式训练使学生对秦九韶算法有了一定认识并学会其应用?归纳整理, 进行课堂小结, 整体把 握本节知识?完成当堂双基达标,巩固所掌握的知识,并进行反馈矫正 ? 错误! ?通过引导学生回答所提问题,引入用辗转相除及更相减损术最大公约数的方法 ?

(见学生用书第 22 页)

课标解读 2.理解辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法 的原理.(重点) 3.三种算法的框图及程序应用.(难点)

1.通过案例,进一步体会算法的思想.

辗转相除法 【问题导思】 1.36 与 60 的最大公约数是多少?你是如何得到的? 【提示】 先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后

把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于 ,故 36 与 60 的最大公约数为 2×2×3=12. 2. 观察下列等式 8 251=6 105×1+2 146, 那么 8 251 与 6 105 这两个数的公约数和 6 105 与 2 146 的公约数有什么关系? 【提示】 8 251 的最大约数是 2 146 的约数,同样 6 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 的约数,故 8 251 与 6 105 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数. 辗转相除法的算法步骤 第一步,给定两个正整数 m、n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m、n 的最大公约数等于 m,否则返回第二步. 更相减损术 【问题导思】 设两个正整数 m>n(m>n),若 m-n=k,则 m 与 n 的最大公约数和 n 与 k 的最大公约数 相等,反复利用这个原理,可求得 98 与 63 的最大公约数是多少?

【提示】 98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7,∴98 与 63 的最大公约数为 7. 更相减损术的算法步骤 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用 2 约简;若不是,执 行第二步. 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小 数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的 乘积就是所求的最大公约数. 秦九韶算法 将 f(x)改写成如下形式:f(x)=(?((anx+an-1)x+an-2)x+?+a1)x+a0. 具体算法如下: (1)计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1. (2)由内向外逐层计算多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ? vn a0. = vn
1x





(见学生用书第 23 页)

用辗转相除法求最大公约数 用辗转相除法求 228 与 1 995 的最大公约数. 【思路探究】 使用辗转相除法可根据 m=nq+r,反复相除直到 r=0 为止. 【自主解答】 1 995=8×228+171, 228=1×171+57, 171=3×57, ∴228 与 1 995 的最大公约数为 57.

利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数, 即利用带余除法, 用数对中较大的数除 以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的数对,再利用带余除法,直到大 数被小数除尽,则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数. 用辗转相除法求 779 和 209 的最大公约数. 【解】 ∵779=209×3+152, 209=152×1+57, 152=57×2+38, 57=38×1+19, 38=19×2, ∴779 与 209 的最大公约数为 19. 用更相减损术求最大公约数 (2013· 福州高一检测)用更相减损术求 154,484 的最大公约数.

【思路探究】 解答本题可先将两数约简然后按更相减损术的步骤反复相减直至得出结 果. 【自主解答】 154÷ 2=77,484÷ 2=242,下面用更相减损术,求 77 与 242 的最大公约 数. 242-77=165,165-77=88,88-77=11,77-11=66,66-11=55,55-11=44,44-11= 33,33-11=22,22-11=11, 故 77 与 242 的最大公约数为 11,则 154 与 484 的最大公约数为 11×2=22.

更相减损术的步骤: 1.判断两数是否为偶数,若是,则都除以 2 直到所得的两数不全为偶数; 2.用较大的数减去较小的数,将差和较小的数构成一对新数继续用较大的数减去较小 数,重复执行; 3.当差和较小数相等时,结束执行,此时差(或较小数)为不全为偶数的两数的最大公 约数. 注意:原先两数的最大公约数是两式相减所得公约数与约简的因数的乘积. 用更相减损术求 576 与 246 的最大公约数. 【解】 用 2 约简 576 和 246 得 288 与 123. 288-123=165,165-123=42, 123-42=81,81-42=39, 42-39=3,39-3=36,36-3=33, 33-3=30,30-3=27, 27-3=24,24-3=21, 21-3=18,18-3=15, 15-3=12,12-3=9, 9-3=6,6-3=3. ∴576 与 246 的最大公约数为 3×2=6. 秦九韶算法的应用 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x -6x6+4x4+3x3-2x2+x-5,当 x=3 时的值. 【思路探究】 解答本题首先要将原多项式化成 f(x)=((((((7x-6)x+0)x+4)x+3)x-2)x+1)x-5 的形式.其次再弄清 v0,v1,v2,?, v7 分别是多少,最后进行计算. 【自主解答】 f(x)=((((((7x-6)x+0)x+4)x+3)x-2)x+1)x-5, v0=7,v1=7×3-6=15;v2=15×3+0=45;v3=45×3+4=139;v4=139×3+3= 420;v5=420×3-2=1 258;v6=1 258×3+1=3 775;v7=3 775×3-5=11 320. ∴当 x=3 时,多项式的值为 11 320.
7

秦九韶算法的步骤:

用秦九韶算法计算多项式 f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64,当 x=2 时的值. 【解】 将 f(x)改写为

f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64, 由内向外依次计算一次多项式当 x=2 时的值, v0=1, v1=1×2-12=-10, v2=-10×2+60=40, v3=40×2-160=-80, v4=-80×2+240=80, v5=80×2-192=-32, v6=-32×2+64=0. ∴ 0. f(2) = 0 , 即 x = 2 时 , 原 多 项 式 的 值 为

(见学生用书第 24 页)

对秦九韶算法中的运算次数理解错误 已知 f(x)=x +2x4+3x3+4x2+5x+6, 用秦九韶算法求这个多项式当 x=2 时的 值时,做了几次乘法?几次加法? 【错解】 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式 f(x)=((((x+2)x+3)x+4)x+5)x +6. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=2 时的值:v1=2+2=4;v2=2v1+3 =11;v3=2v2+4=26;v4=2v3+5=57;v5=2v4+6=120. 显然,在 v1 中未做乘法,只做了 1 次加法;在 v2,v3,v4,v5 中各做了 1 次加法,1 次 乘法.因此,共做了 4 次乘法,5 次加法. 【错因分析】 在 v1 中虽然“v1=2+2=4”,而计算机还是做了 1 次乘法“v1=2×1 - +2=4”.因为用秦九韶算法计算多项式 f(x)=anxn+an-1xn 1+?+a1x+a0 当 x=x0 时的值 时,首先将多项式改写成 f(x)=(?(anx+an-1)x+?+a1)x+a0,然后再计算 v1=anx+an-1, v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,?,vn=vn-1x+a0.无论 an 是不是 1,这次的乘法都是要进行 的. 【防范措施】 1.将多项式写成一次多项式的形式时,如果多项式中 n 次项不存在,可 将 n 次项看作 0· xn. ?n+1?n 2.直接法乘法运算的次数最多可达 ,加法最多 n 次,秦九韶算法通过转化把乘 2 法运算的次数减少到最多 n 次,加法最多 n 次. 【正解】 由以上分析,共做了 5 次乘法,5 次加法.
5

1.辗转相除法与更相减损术都是求两数最大公约数的方法. 辗转相除法计算次数少,步骤简捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更相减损 术每一步的计算都是减法, 比做除法运算要简单一些, 一般当数较小时可以考虑用更相减损 术,当数较大时可以考虑用辗转相除法. 2.用秦九韶算法可大大降低乘法的运算次数,提高了运算速度.用此方法求值,关键 是正确地将所给多项式改写, 然后由内向外计算, 由于后项计算需用到前项结果, 故应认真、 细心,确保结果的准确性.

(见学生用书第 24 页)

1.490 和 910 的最大公约数为( ) A.2 B.10 C.30 D.70 【解析】 910=490×1+420,490=420×1+70,420=70×6,故最大公约数为 70. 【答案】 D 2.用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数为( ) A.21 B.42 C.32 D.16 【解析】 294÷ 2 = 147,84÷ 2 = 42,147 - 42 = 105,105 - 42 = 63,63 - 42 = 21,42 - 21 = 21,21×2=42,所以最大公约数为 42. 【答案】 B 3.用秦九韶算法求 f(x)=2x3+x-3 当 x=3 时的值 v2=________. 【解析】 f(x)=((2x+0)x+1)x-3, v0=2; v1=2×3+0=6; v2=6×3+1=19. 【答案】 19 4.用更相减损术求 288 与 153 的最大公约数. 【解】 288-153=135,153-135=18,135-18=117,117-18=99,99-18=81,81-18 =63,63-18=45,45-18=27,27-18=9,18-9=9.

∴ 9.

288



153















(见学生用书第 93 页) 一、选择题 1.用“辗转相除法”求得 360 和 504 的最大公约数是( ) A.72 B.36 C.24 D.2 520 【解析】 ∵504=360×1+144,360=144×2+72,144=72×2,∴360 和 504 的最大公 约数是 72,故选 A. 【答案】 A 2.设计程序框图,用秦九韶算法求多项式的值,主要用哪种结构实现( ) A.顺序结构 B.条件结构 C.循环结构 D.条件、顺序结构 ? ?v0=an, 【解析】 该种算法主要是由内到外计算? ?vk=vk-1· x0+an-k?k=1,2,?n?, ? 故在求值时用到循环结构. 【答案】 C 3.(2013· 德州高一检测)用秦九韶算法求多项式 f(x)=4x5-x2+2 当 x=3 时的值时,需 要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为( ) A.4,2 B.5,3 C.5,2 D.6,2 【解析】 f(x)=4x5-x2+2=((((4x)x)x-1)x)x+2,需 5 次乘法运算和 2 次加法运算. 【答案】 C 4.225 与 135 的最大公约数是( ) A.5 B.9 C.15 D.45 【解析】 ∵225=135×1+90,135=90×1+45,90=45×2,∴45 是 225 与 135 的最大 公约数. 【答案】 D 5. 已知 f(x)=x5+2x3+3x2+x+1, 应用秦九韶算法计算 x=3 时的值时, v3 的值为( ) A.27 B.11 C.109 D.36 【解析】 f(x)=((((x+0)x+2)x+3)x+1)x+1 当 x=3 时,v0=1,v1=3,v2=3×3+2=11,v3=11×3+3=36. 【答案】 D 二、填空题 6.464 与 272 的最大公约数为________. 【解析】 464÷ 16=29,272÷ 16=17,29-17=12,17-12=5,12-5=7,7-5=2,5-2=3,3 -2=1,2-1=1,∴最大公约数为 1×16=16. 【答案】 16 7.用更相减损术求 152 与 92 的最大公约数时,需要做减法的次数是________. 【解析】 ∵152 与 92 都是偶数,∴先两次用 2 约简得 38 与 23,又 38-23=15, 23-15=8, 15-8=7, 8-7=1, 7-1=6,

6-1=5, 5-1=4, 4-1=3, 3-1=2, 2-1=1, 故要用 10 次减法. 【答案】 10 8.已知多项式函数 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,当 x=5 时由秦九韶算法 v0=2, v1=2×5-5=5,则 v3=________. 【解析】 ∵v2=v1x-4=5×5-4=21, v3=v2x+3=21×5+3=108. 【答案】 108 三、解答题 9.用秦九韶算法求多项式 f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2,当 x=-2 时的值. 【解】 ∵f(x)=x6-5x5+6x4+x2+0.3x+2 =(((((x-5)x+6)x+0)x+1)x+0.3)x+2. ∴当 x=-2 时 v0=1, v1=1×(-2)-5=-7, v2=-7×(-2)+6=20, v3=20×(-2)+0=-40, v4=-40×(-2)+1=81, v5=81×(-2)+0.3=-161.7, v6=-161.7×(-2)+2=325.4, ∴f(-2)=325.4. 10.求三个数 324,243,135 的最大公约数. 【解】 法一 324=243×1+81, 243=81×3. ∴324 与 243 的最大公约数为 81. 又 135=81×1+54, 81=54×1+27, 54=27×2. 则 81 与 135 的最大公约数为 27. ∴三个数 324,243,135 的最大公约数为 27. 法二 324-243=81,243-81=162,162-81=81. ∴324 与 243 的最大公约数为 81. 135-81=54,81-54=27,54-27=27. ∴81 与 135 的最大公约数为 27. ∴324,243,135 的最大公约数是 27. 11.求 1 356 和 2 400 的最小公倍数. 【解】 2 400=1×1 356+1 044,1 356=1×1 044+312, 1 044=3×312+108,312=2×108+96, 108=1×96+12,96=12×8, ∴1 356 和 2 400 的最大公约数为 12.

∴ 1 200.

356



2

400

的 最 小 公 倍 数 为 (2

400×1

356)÷ 12 = 271

(教师用书独具)

1.辗转相除法与更相减损术的区别和联系 名称 辗转相除法 ①以除法为主. 区别 ②两个整数差值较大时运算次数较 少. ③相除余数为零时得结果. ②两个整数的差值较大时,运算次数 较多. ③相减,两数相等得结果. ④相减前要做是否都是偶数的判断. ①都是求两个正整数的最大公约数的 方法. ①以减法为主.

更相减损术

联系 ②二者的实质都是递推的过程.

③二者都要用循环结构来实现. 2.辗转相除法的程序框图及程序表示 程序框图:

程序: INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END


赞助商链接

...1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 Word版...

2013-2014学年高一人教A版数学必修三配套练习 1.3.1 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2013-2014学年高一人教A版数学必...

高中数学 1.3算法案例(第1课时)目标导学 新人教A版必修3

高中数学 1.3算法案例(第1课时)目标导学 新人教A版必修3 - 第一课时 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解其执行...

...数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术秦...

河北省承德市高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术秦九韶算法学案 - 1.3.1 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法 学习目标 1 学习程序框图的...

辗转相除法与更相减损术秦九韶算法教案

辗转相除法与更相减损术秦九韶算法教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。辗转相除法与更相减损术秦九韶算法 【问题导思】 1.36 与 60 的最大公约数是...

算法案例教案

课题:§1.3 算法案例 第 1 课时 辗转相除法与更相减损术秦九韶算法一、教学目标:根据课标要求:在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序...

山西省忻州市2016_2017学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例...

山西省忻州市2016_2017学年高中数学第一章算法初步1.3算法案例预习案 - 1.3.1 辗转相除法更相减损术与秦九韶算法 【教学目标】 1.知识与技能 (1)理解...

高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例学案 新人教A版...

§1.3 中国古代数学中的算法案例 【学习目标】1、通过辗转相除法、更相减损之术、秦九韶算法的学习,进一步体会算法的基本思想。 2、理解掌握辗转相除法与更相...

高中数学 算法初步 复习课精品教案 新人教A版必修3

2.能熟练运用辗转相除法与更相减损术秦九韶算法、排序、进位制 算法初步 复习课 (1)教学目标 (a)知识与技能 1.明确算法的含义,熟悉算法的三种基本结构:顺序...

高中数学 算法案例 (2)教案 新人教A版必修3_图文

专业文档下载特权 赠共享文档下载特权 10W篇文档免费...(3)体会算法的基本思想; 教学重点:秦九韶算法的...、复习准备: 分别用辗转相除法和更相减损术求出...

高中数学 1.4 基本算法语句及算法案例第4课时教案 苏教...

高中数学 1.4 基本算法语句及算法案例第4课时教案 苏教版必修3_高三数学_数学_...里德辗转相除法相媲美的是( B ) A.割圆术 B.更相减损术 C.秦九韶算法 ...

更多相关标签