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12届高三数学一轮复习第八章平面解析几何8-8

时间:2011-07-14


第8章
一、选择题

第8节

→ → 1.若 M、N 为两个定点且|MN|=6,动点 P 满足PM·PN=0,则 P 点的轨迹是( A.圆 C.双曲线 [答案] A B.椭圆 D.抛物线

)

[解析] 以 MN 的中点为原点, 直线 MN 为 x 轴建立直角坐标系. 并设 M(-3,0), N(3,0), P(x,y), → → 则PM·PN=(-3-x,-y)·(3-x,-y) =(x2-9)+y2=0,即 x2+y2=9. 2.(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上,画有一个圆(圆心为 O)和一个定点 F(F 在圆 外).在圆上任取一点 M,将纸片折叠使点 M 与点 F 重合,得到折痕 CD.设直线 CD 与直线 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹为( A.双曲线 C.圆 [答案] A [解析] 由 OP 交⊙O 于 M 可知|PO|-|PF|=|PO|-|PM|=|OM|<|OF|(F 在圆外),∴P 点 的轨迹为双曲线,故选 A. 3.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于( A.π C.8π [答案] B [解析] 设 P(x,y),由知有:(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得 x2-4x+y2=0,配方 得(x-2)2+y2=4,可知圆的面积为 4π. 4.已知点 F1(-1,0),F2(1,0),动点 A 到 F1 的距离是 2 3,线段 AF2 的垂直平分线交 AF1 于点 P,则点 P 的轨迹方程是( x y A. + =1 9 4 x2 y2 C. + =1 3 2 [答案] C [解析] 依题意得,|PA|=|PF2|,
2 2

) B.椭圆 D.抛物线

) B.4π D.9π

) x2 y2 B. + =1 12 8 x2 y2 D. + =1 12 10

又|PA|+|PF1|=|AF1|=2 3, 故|PF1|+|PF2|=2 3,点 P 的轨迹为椭圆, x2 y2 方程为 + =1. 3 2 5.平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 α 于点 C,则 动点 C 的轨迹是( A.一条直线 C.一个椭圆 [答案] A [解析] 过定点 A 且与 AB 垂直的直线 l 都在过定点 A 且与 AB 垂直的平面 β 内,直线 l 与 α 的交点 C 也是平面 α、β 的公共点.点 C 的轨迹是平面 α、β 的交线. ) B.一个圆 D.双曲线的一支

log 2 则在平面直角坐标系中, M(x, 点 y)的轨迹为( 6. 已知 log2x、 2y、 成等差数列,

)

[答案] A [解析] 由 log2x,log2y,2 成等差数列得 2log2y=log2x+2 ∴y2=4x(x>0,y>0),故选 A. x2 y2 7.过椭圆 + =1 内一点 R(1,0)作动弦 MN,则弦 MN 中点 P 的轨迹是( 9 4 A.圆 B.椭圆 )

C.双曲线 [答案] B

D.抛物线

[解析] 设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),则 4x12+9y12=36,4x22+9y22=36, 相减得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, 将 x1+x2=2x,y1+y2=2y, y1-y2 y = 代入可知轨迹为椭圆. x1-x2 x-1

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总 保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [答案] A [解析] 设 P1、P2 为 P 的轨迹上两点,则 AP1⊥BD1,AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2=A, ∴直线 AP1 与 AP2 确定一个平面 α,与面 BCC1B1 交于直线 P1P2,且知 BD1⊥平面 α, ∴P1P2⊥BD1, 又∵BD1 在平面 BCC1B1 内的射影为 BC1,∴P1P2⊥BC1,而在面 BCC1B1 内只有 B1C 与 BC1 垂直,∴P 点的轨迹为 B1C.

9.设 x1、x2∈R,常数 a>0,定义运算“*”,x1]x*a))的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一部分 [答案] D [解析] ∵x1]x*a)= (x+a)2-(x-a)2=2 ax, 则 P(x,2 ax). B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

)

?x1=x ,消去 x 得, 设 P(x1,y1),即? ?y1=2 ax
y12=4ax1(x1≥0,y1≥0),

故点 P 的轨迹为抛物线的一部分.故选 D. 10.(2011·广东佛山、山东诸城)如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长 半轴的长分别为 a1 和 a2,半焦距分别为 c1 和 c2,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.则下 列结论不正确的是( )

A.a1-c1=a2-c2 C.a1c2>a2c1 [答案] C

B.a1+c1>a2+c2 D.a1c2<a2c1

[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为 O1,O2,公共左顶点为 A,如图,则 a1-c1=|AO1| -|FO1|=|AF|,a2-c2=|AO2|-|FO2|=|AF|,故 A 对;又 a1>a2,c1>c2,∴a1+c1>a2+c2,故 c1 c2 B 对;由图知 e1>e2,即 > ,∴a1c2<a2c1,故 D 对,C 错. a1 a2 二、填空题 x2 y2 11.F1、F2 为椭圆 + =1 的左、右焦点,A 为椭圆上任一点,过焦点 F1 向∠F1AF2 4 3 的外角平分线作垂线,垂足为 D,则点 D 的轨迹方程是________. [答案] x2+y2=4 1 1 [解析] 延长 F1D 与 F2A 交于 B,连结 DO,可知|DO|= |F2B|= (|AF1|+|AF2|)=2,∴ 2 2 动点 D 的轨迹方程为 x2+y2=4. y2 12.(2010·哈师大附中)已知曲线 C1 的方程为 x2- =1(x≥0,y≥0),圆 C2 的方程为(x 8 -3)2+y2=1,斜率为 k(k>0)的直线 l 与圆 C2 相切,切点为 A,直线 l 与双曲线 C1 相交于点 B,|AB|= 3,则直线 AB 的斜率为________. [答案] 3 3

[解析] 设 B(a,b),则由题意可得

?a2-b =1 ? ? ?a=1 8 ? ,解得? , ? ?b=0 ?(a-3)2+b2=3+1 ?

2

则直线 AB 的方程为 y=k(x-1),故 ∴k= 3 3 ,或 k=- (舍去). 3 3

|3k-k|

=1, 1+k2

13.(2010·浙江杭州质检)已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上两点,且|AB|=6,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________. [答案] (x-1)2+(y+1)2=9(位于圆 x2+y2=16 内的) [解析] ∵以 AB 为直径的圆过点 C,∴AC⊥BC, 1 ∵M 是 AB 中点,∴|CM|= |AB|=3, 2

故点 M 在以 C(1,-1)为圆心,3 为半径的圆上,方程为(x-1)2+(y+1)2=9,∵M 为 弦 AB 的中点,∴M 在⊙O 内,故点 M 轨迹为圆(x-1)2+(y+1)2=9 位于圆 x2+y2=16 内的 部分. 14.(2010·青岛一中)如图,两条过原点 O 的直线 l1,l2 分别与 x 轴、y 轴成 30°的角, 点 P(x1,y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上运动,且线段 PQ 的长度为 2.则动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程为________.

[答案]

x2 2 +y =1 3

[解析] 由已知得直线 l1⊥l2, l1:y= 3 x,l2:y=- 3x, 3 3 x ,y =- 3x2, 3 1 2

∵点 P(x1,y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上运动,∴y1= 由|PQ|=2 得,(x12+y12)+(x22+y22)=4,

4 x12 即 x12+4x22=4? +x22=1, 3 3 x2 ∴动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程为 +y2=1. 3 三、解答题 15.(2010·广州市质检)已知动点 P 到定点 F( 2,0)的距离与点 P 到定直线 l:x=2 2的 距离之比为 2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; → → (2)设 M、N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若EM·FN=0,求|MN| 的最小值. [解析] (1)设点 P(x,y), 依题意有, (x- 2)2+y2 2 = , 2 |x-2 2|

x2 y2 整理得 + =1, 4 2 x2 y2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1. 4 2 (2)∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称, ∴点 E 的坐标为(- 2,0). ∵M、N 是直线 l 上的两个点, ∴可设 M(2 2,y1),N(2 2,y2)(不妨设 y1>y2). → → ∵EM·FN=0, ∴(3 2,y1)·( 2,y2)=0, 6 ∴6+y1y2=0,即 y2=- . y1 由于 y1>y2,∴y1>0,y2<0. 6 ∴|MN|=y1-y2=y1+ ≥2 y1 6 y1· =2 6. y1

当且仅当 y1= 6,y2=- 6时,等号成立. 故|MN|的最小值为 2 6. [点评] 直译法是求轨迹的基本方法,对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题,也常用定义 法求解,请再做下题: x2 y2 3 (2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,直线 l:y=x+2 a b 3 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)若 AC、BD 为椭圆 C1 的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点 F2,求四边形 ABCD 的面 积的最小值.
2 2 c2 a -b 1 3 2 [解析] (1)∵e= ,∴e = 2= 2 = , a a 3 3

∴2a2=3b2. ∵直线 l:x-y+2=0 与圆 x2+y2=b2 相切, ∴b= 2,b2=2,∴a2=3. x2 y2 ∴椭圆 C1 的方程是 + =1. 3 2 (2)∵|MP|=|MF2|,∴动点 M 到定直线 l1:x=-1 的距离等于它到定点 F2(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线. ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y2=4x. (3)当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的斜率为 k,A(x1,y1),C(x2,y2), 则直线 AC 的方程为 y=k(x-1). x2 y2 6k2 (2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0, 所以 x1+x2= , x x 联立 + =1 及 y=k(x-1)得, 3 2 2+3k2 1 2 3k2-6 = . 2+3k2 |AC|= (1+k2)(x1-x2)2 = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]= 48(k2+1) . 2+3k2

48(1+k2) 1 1 由于直线 BD 的斜率为- ,用- 代换上式中的 k 可得|BD|= . k k 2k2+3 24(1+k2)2 1 因为 AC⊥BD,所以四边形 ABCD 的面积为 S= |AC|·|BD|= , 2 (2+3k2)(2k2+3) (2+3k2)+(2k2+3) 2 5(k2+1) 2 96 由于(2+3k )(2k +3)≤[ ] =[ ] ,所以 S≥ ,当 2+3k2=2k2 2 2 25
2 2

+3,即 k=±1 时取等号. 易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S=4. 96 综上可得,四边形 ABCD 面积的最小值为 . 25 16.(2010·浙江金华十校联考)已知过点 A(-4,0)的动直线 l 与抛物线 G:x2=2py(p>0) 1 → → 相交于 B、C 两点.当直线 l 的斜率是 时,AC=4AB. 2

(1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 1 1 [解析] (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是 时,l 的方程为 y= (x+4),即 2 2 x=2y-4.
? 2 ?x =2py 由? 得 2y2-(8+p)y+8=0, ? ?x=2y-4

① ?y1y2=4 ? ∴? , 8+p ② ?y1+y2= 2 ? → → 又∵AC=4AB,∴y2=4y1③ 由①,②,③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2, 则抛物线 G 的方程为:x2=4y. (2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),
? 2 ?x =4y 由? 得 x2-4kx-16k=0④ ?y=k(x+4) ?

xC+xB ∴x0= =2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k. 2 1 ∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=- (x-2k), k ∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2, 对于方程④,由 ?=16k2+64k>0 得:k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞). [点评] 解析几何与向量,导数结合是可能的新命题方向,其本质仍是解析几何问题, 请再练习下题: (2010·湖南师大附中)如图,抛物线的顶点 O 在坐标原点,焦点在 y 轴的负半轴上,过 → → 点 M(0,-2)作直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,且满足OA+OB=(-4,-12).

(1)求直线 l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上动点 P 在点 A 和 B 之间运动时,求△ABP 面积的最大值. [解析] (1)据题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2, 抛物线的方程为 x2=-2py(p>0).

?y=kx-2 ? 联立? 2 得,x2+2pkx-4p=0. ? ?x =-2py

设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. → → 所以OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4). → → 因为OA+OB=(-4,-12),
?-2pk=-4 ?p=1 ? ? 所以? ,解得? . 2 ? ? ?-2pk -4=-12 ?k=2

故直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线的方程为 x2=-2y. (2)根据题意,当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大. 设点 P(x0,y0),因为 y′=-x,则-x0=2,解得 x0=-2, 1 又 y0=- x02=-2,所以 P(-2,-2). 2 此时,点 P 到直线 l 的距离 |2×(-2)-(-2)-2| 4 5 = . d= 5 22+(-1)2
?y=2x-2 ? ,得 x2+4x-4=0.则 x1+x2=-4,x1·x2=-4, 由? 2 ? ?x =-2y

所以|AB|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1·x2 = 1+22· (-4)2-4(-4)=4 10. 1 1 4 5 故△ABP 面积的最大值为 |AB|·d= ×4 10× =8 2. 2 2 5 → → → 17.(2010·辽宁省实验中学)如图,在 Rt△DEF 中,∠DEF=90°,|EF|=2,|EF+ED| x2 y2 5 = ,椭圆 C: 2+ 2=1 以 E、F 为焦点且过点 D,点 O 为坐标原点. 2 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; → 1→ (2)若点 K 满足OK= ED,问是否存在不平行于 EF 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 3 → → M、N 且|MK|=|NK|,若存在,求出直线 l 的斜率的取值范围,若不存在,说明理由.

x2 y2 [解析] (1)由已知 E(-1,0),F(1,0),设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b b2 令 xD=-c 可得 yD= , a → → 5 → → → → 3 ∵|EF+ED|= ,EF⊥ED,|EF|=2,∴|ED|= . 2 2

?c=1 ? ?a=2 ∴?b2 3 ,解得? ?b= 3 ? a =2 ?
x2 y2 ∴椭圆 C 的方程是 + =1. 4 3 1 → 1→ (2)∵OK= ED,∴K?0,2?,当 l⊥EF 时,不符合题意, ? ? 3 故可设直线 l 的方程为:y=kx+m(k≠0)

?y=kx+m ? 由?x2 y2 消去 y 得, ? 4 + 3 =1 ?
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0 ∵M、N 存在,∴?>0 即 64k2m2-4(3+4k2)·(4m2-12)>0, ∴4k2+3>m2(※) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 H(x0,y0) x1+x2 4km ∴x0= =- , 2 3+4k2 y0=kx0+m= 3m , 3+4k2

→ → ∵|MK|=|NK|,∴|MK|=|NK|, 3m 1 1 2- y0- 2 3+4k2 1 3+4k 2 1 |MK|=|NK|?MN⊥KH? =- ? =- ?m=- x0 k 4km k 2 - 2 3+4k 3+4k2?2 代入(※)式得 4k2+3>?- 2 ? ? ∴4k2+3<4, 1 1 又 k≠0,∴- <k< 且 k≠0 2 2 1 1 ∴l 的斜率的取值范围是?-2,0?∪?0,2?. ? ? ? ?


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