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不等式1:性质和比大小-答案

时间:2015-05-13


不等式 1:不等关系和不等式
考点:不等式的定义、性质 基本知识:
1.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有 a-b>0?a>b;a-b=0?a a a a =b;a-b<0?a<b.另外,若 b>0,则有b>1?a>b;b=1?a=b;b<1?a <b. 2.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).

基本方法:
1.作差法:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方. 2.待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项 式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式的范围. 3.常用性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0?a<b; 1 1 ②a<0<b?a<b; a b ③a>b>0,0<c<d?c >d; 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0?b< x<a.

(2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m a<a+m;a>a-m(b-m>0); ②假分数的性质: a a+m a a-m b>b+m;b<b-m(b-m>0).

例 1.
已知 a,b,c∈R,则“a>b”是“ac2>bc2”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 ). B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 a>b /?ac2>bc2,∵当 c2=0 时,ac2=bc2;反之,ac2>bc2?a>b. 答案 B

例 2.
给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a2>b2;③a>b?a3>b3;④|a|> b?a2>b2.其中正确的命题是( A.①② C.③④ ). B.②③ D.①④

解析 当 c=0 时,ac2=bc2,∴①不正确;a>|b|≥0,a2>|b|2=b2,∴②正确; 1 ? 3 ? ?? ??a+2b?2+4b2?>0,∴③正确;取 a=2,b a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)· ? ?? ? =-3,则|a|>b,但 a2=4<b2=9,∴④不正确. 答案 B

考点:不等式性质的运用 基本方法:
1. 同向可加性与同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式. 2.同向可加的应用:由 a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求 F(x,y)的取值范围,可利用待定系 数法解决,即设 F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得 m,n,再利用不等式的性质 求得 F(x,y)的取值范围.

例 1.
π π 若- <α<β< ,则 α-β 的取值范围为 2 2 ( ) .

π π π π 【解析】因为- <α< ,- <-β< , 2 2 2 2 所以-π<α-β<π. 又 α<β,则 α-β<0,所以-π<α-β<0.

例 2.
2 已知-1<2x-1<1,则x -1 的取值范围是____________. 1 2 解析:-1<2x-1<1?0<x<1?x >1?x -1>1,填(1,+∞).

例 3.
已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. [审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式 f(-2)与已知式 f(-1), f(1)之间的关系, 即用 f(-1),f(1)整体表示 f(-2),再利用不等式的性质求 f(-2)的范围. 解 f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-2)=4a-2b. 设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b. ?m+n=4, ?m=1, ∴? ∴? ?m-n=-2, ?n=3.

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10.

例 4.
?-1≤α+β≤1, 若 α,β 满足? 试求 α+3β 的取值范围. ?1≤α+2β≤3, 解 设 α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β. ?x+y=1, ?x=-1, 由? 解得? ?x+2y=3, ?y=2. ∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, ∴两式相加,得 1≤α+3β≤7.

考点:做差、做商、特殊值比较大小 基本方法:
1.对于整式可采用作差法; 对于幂可采用作商法比较; 当不能直接下结论时, 采用分类讨论. 2.题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小. 3. (1)作差比较法的依据是“a-b>0?a>b”, 步骤为: ①作差; ②变形; ③定号; ④下结论; 常采用配方,因式分解,有理化等方法变形; (2)作商法的依据是“ >1,b>0?a>b”,步骤为:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小; ④下结论. (3)特例法,对于选择、填空题可用特例法选出正确答案.

a b

例 1.【做差法】
(2011· 陕西)设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 ). a+b B.a< ab< 2 <b a+b D. ab<a< 2 <b

例 2.
若 0<x<1,a>0 且 a≠1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是 ( A.|loga(1-x)|>|loga(1+x)| B.|loga(1-x)|<|loga(1+x)| C.不确定,由 a 的值决定 D.不确定,由 x 的值决定 ).


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