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江苏省涟水一中2012-2013学年高一下学期期初检测数学试题Word版含答案

时间:2019-08-08

涟水一中 2012-2013 学年高一下学期期初检测数学试题

一、填空题

1.

(x

?

2 x4

)5

的二项展开式中,常数项的值是

.

2.已知函数 f (x) ? loga (x 2 ? ax ? 2) 在 ?2,??? 上为增函数,则实数 a 的取值范围为

___________

3. (x 2 ? 1 )9 展开式中 x9 的系数是

.

2x

4.若函数 f (x) ? x3 ? 3ax ? b ( a ? 0 )的极大值为 6,极小值为 2,则 a ? b ?



5.积分

?

e 1

(1

?

2 x

x

2

)dx

的值是

6.已知数列?an? 满足 a1

?

2 3

,且对任意的正整数 m, n

都有 am?n

?

am

? an

,若数列?an? 的前

n 项和为 Sn ,则 Sn =

7.直线 x ? y ?1 ? 0 被圆 (x ? 1)2 ? y 2 ? 3 截得的弦长等于



8.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别

沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为



D

C

A

E

B

9.过点 P(3, 2) 且与双曲线 x2 ? y2 ? 1有相同渐近线方程的双曲线的标准方程为

.

42

10 . 设 函 数 f (x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) , 若 f (x1x2 x2010 ) ? 8 , 则 f (x12 ) ? f (x22 ) ?

?

f

(

x2 2010

)

的值等于



11.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? 2,D 在棱 BB1 上,且 BD ? 2 ,若 AD 与

平面 AA1C1C 所成的角为? ,则? 为

.

C1

B1

A1 D

C

B

A

12.已知数列 {an } 成等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 S13 的余弦值



.

13.如图,二面角? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B ? l ,AB 与 l 所成的角为 30°.

则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是

.

14.给出下列命题:

①如果 a , b 是两条直线,且 a // b ,那么 a 平行于经过 b 的任何平面;
②如果平面? 不垂直于平面 ? ,那么平面? 内一定不存在直线垂直于平面 ? ;

③若直线 a , b 是异面直线,直线 b , c 是异面直线,则直线 a , c 也是异面直线;
④已知平面? ⊥平面 ? ,且? ∩ ? = b ,若 a ⊥ b ,则 a ⊥平面 ? ;

⑤已知直线 a ⊥平面? ,直线 b 在平面 ? 内, a // b ,则? ⊥ ? .

其中正确命题的序号是

.

二、解答题

? ? 15.求 lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 ?

5

?

2

0

?

?2
0.027 3

? (?

1)?2

的值

1 lg 0.3 ? lg 2

3

2

16.如图是一个烟筒的直观图(图中单位:cm),它的下部是一个四棱台(上、下底面均是正 方形,侧面是全等的等腰梯形)形物体;上部是一个四棱柱(底面与四棱台的上底面重合,

侧面是全等的矩形)形物体.为防止雨水的侵蚀,增加美观,需要粘贴瓷砖,需要瓷砖多少
平方厘米(结果精确到1cm 2 )?
40 80
10
17.等比数列{an}中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16
50
(I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3, a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn 。
18.设 D 是△ABC 的 BC 边上一点,把△ACD 沿 AD 折起,使 C 点所处的新位置 C′在平面 ABD 上的射影 H 恰好在 AB 上. (1)求证:直线 C′D 与平面 ABD 和平面 AHC′所成的两个角之和不可能超过 90°; (2)若∠BAC=90°,二面角 C′—AD—H 为 60°,求∠BAD 的正切值.
19.已知函数 f(x)满足对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且 f(-2)=

-2. (1)求 f(1)的值; (2)证明:对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t; (3)试求满足 f(t)=t 的整数的个数,并说明理由.

20.如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 1, AA1 ? 2 , P 为 DD1 的中点。

D1
C1 P

A1 B1

D C

A B

(1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDD1 ; (3)求证:直线 PB1 ? 平面 PAC 。

1.-10
2.1 ? a ? 3 3. ? 21
2
4.5

5. e2

6.

2

?

2n?1 3n

7.2

参考答案

8. 6? 8

9. x2 ? y2 ? 1. 1 2
10.16

11. 30 .

12. 1 2

13. 3 4

14.②⑤.

15.解:∵原式 ?

3 lg 3 ? 3lg 2 ? 2

3 2

+1+ 100 ? 9

?

3lg 3 ? 6 lg 2 ? 3 +1+100

1 (lg 3 ?1) ? lg 2 9

lg 3 ? 2 lg 2 ?1

2

? 3(lg 3 ? 2 lg 2 ?1) +101=104 lg 3 ? 2 lg 2 ?1

16.解: S棱柱侧 ? 4 ? 40?80 ? 12800 (cm 2 ),

S台侧

?

4?

1 2

? ?40

?

50?? 5

3 ? 1530 (cm 2 ).

所以,需要瓷砖14330 cm 2 .

17.解:(I)设{an}的公比为 q 由已知得16 ? 2q3 ,解得 q ? 2

(Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32

设{bn}的公差为 d

,则有

???bb11

? ?

2d 4d

? ?

8 32

解得

??? bd1

? ?16 ? 12

从而 bn ? ?16 ?12(n ?1) ? 12n ? 28

所以数列{bn}的前 n

项和

Sn

?

n(?16

? 12n 2

? 28)

?

6n2

?

22n

18.解:(1)证明:连结 DH,∵C′H⊥平面 ABD,∴∠C′DH 为 C′D 与平面 ABD 所成

的角且平面 C′HA⊥平面 ABD,过 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,则 DE⊥平面 C′HA.

故∠DC′E 为 C′D 与平面 C′HA 所成的角

∵sinDC′E= DE ≤ DH =sinDC′H C?D C?D
∴∠DC′E≤∠DC′H, ∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE=90° (2)解:作 HG⊥AD,垂足为 G,连结 C′G, 则 C′G⊥AD,故∠C′GH 是二面角 C′—AD—H 的平面角

即∠C′GH=60°,计算得 tanBAD= 2 2

19.解:(1)令 x=y=0,得 f(0)=-1.

令 x=y=-1,因 f(-2)=-2,所以 f(-1)=-2.

令 x=1,y=-1,得 f(0)=f(1)+f(-1),

所以 f(1)=1.

4分

(2)证明:令 x=1,得 f(y+1)-f(y)=y+2,

故当 y∈N 时,有 f(y+1)-f(y)>0.

由 f(y+1)>f(y),f(1)=1 可知,对一切正整数 y 都有 f(y)>0.

当 y∈N 时,f(y+1)=f(y)+y+2=f(y)+1+y+1>y+1.

故对一切大于 1 的正整数,恒有 f(t)>t.

9分

(3)解:由 f(y+1)-f(y)=y+2 及(1)可知 f(-3)=-1,f(-4)=1.

下面证明 t≤-4 时,f(t)>t.

∵t≤-4,∴-(t+2)≥2>0.

∵f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0,∴f(-5)-f(-4)>0,

同理可得 f(-6)-f(-5)>0,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0.

将各不等式相加得 f(t)>f(-4)=1>-4.

∵t≤-4,∴f(t)>t.

综上所述,满足条件的整数只有两个:1 和-2.………… 14 分

20.解:(1)设 AC 和 BD 交于点 O,连 PO,
由 P,O 分别是 DD1 ,BD 的中点,故 PO// BD1 , 所以直线 BD1 ∥平面 PAC --(4 分)
(2)长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 1, 底面 ABCD 是正方形,则 AC ? BD 又 DD1 ? 面 ABCD,则 DD1 ? AC, 所以 AC ? 面 BDD1 ,则平面 PAC ? 平面 BDD1 (3)PC2=2,PB12=3,B1C2=5,所以△PB1C 是直角三角形。 PB1 ? PC, 同理 PB1 ? PA,所以直线 PB1 ? 平面 PAC 。


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