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第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动:《二元一次不等式》说课(辽宁省实验中学李振江)

时间:2013-10-30


二元一次不等式(组)表示的平面区域 教学设计说明

辽宁省实验中学

李振江

二元一次不等式(组)表示的平面区域教学设计的说明
辽宁省实验中学
一. 教材分析 1.教学背景分析 不等关系与相等关系都是客观事物的基本关系,不等式则是刻画现实世界中这些不等关系的数学模 型, 是进行数学研究、 解决许多实际问题的数学工具, 因而关于不等式的知识是高中数学学习的重要内容。 本节课是不等式的第五大节的第一课时,通过探究二元一次不等式的解集的几何意义,了解不等式是 刻画区域的重要工具,进而介绍二元一次不等式(组)所表示的平面区域。通过本节课的学习为后面寻求 “最优解”的线型规划问题奠定基础。 在本节课的学习过程中,使学生体会到数形结合的数学思想,发展学生应用数学的意识;同时让学生 进行数学探究,体验知识的形成、应用过程,尝试运用特殊到一般,在由一般在回归到特殊的解决问题的 思维方法。 学生在之前的学习中已经学习了不等式的一些知识,并且知道了二元一次方程的解在平面直角坐标系 中的图像是一条直线,通过类比的思维方式就可引入本节的教学。 2.教学目标 知识与技能目标: (1)理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法; (2)能作出二元一次不等式(组)表示的平面区域。 过程与方法目标: (1)增强学生数形结合的思想; (2)理解数学的转化思想,提高分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标: (1)通过学生的主动参与、学生的合作交流,培养学生的探索方法与精神; (2)体会数学的应用价值; (3)体会由一般到特殊,由特殊到一般的思想。 3.教学重、难点 重点:二元一次不等式(组)表示的平面区域 难点:寻求二元一次不等式(组)表示的平面区域 二.教法、学法设计 1.教法设计

李振江

本节知识的形成过程是“猜想、验证、证明、形成、应用” ,非常适合采用探究式的学习方法:通过类 比让同学们猜想出结论;思考验证方案;利用联系、转化的方法探讨问题的逻辑证明;形成问题的解决方 法;自己在知识应用的过程加深对于方法的理解。让学生经历知识的形成过程,使其不至于感觉到结论就 像从魔术师帽子里飞出的鸽子那样令人惊讶,体验探索的乐趣。这不仅有利于知识的掌握,也有利于培养 他们的创新能力。 所以本节课的教学采用了探究式,启发引导,讲练结合的教学方法,注重学生数学思维方法以及研究 问题方法的渗透,以多媒体作为教学辅助手段。从实际问题出发,逐步探讨了二元一次不等式(组)表示 的平面区域。 2.学法设计 在学习中,让其以主体的态度,而不是被动的接受。经历知识的形成和发展过程,通过观察、归纳、 思考、探索、交流、反思参与学习,认识和理解数学知识,学会学习,发展能力。 三.教学过程设计 教学 过 程 问题:营养学家指出,成人的日常饮食 应该摄入至少 0.075kg 碳水化合物, 0.06kg 蛋白质,0.06kg 脂肪。已知 1kg 新 课 引 入 食物 A 含有 0.15kg 碳水化合物, 0.06kg 蛋白质,0.12kg 脂肪;已知 1kg 食物 B 含有 0.15kg 碳水化合物,0.12kg 蛋白 质,0.06kg 脂肪。设 x,y 分别为每天 需要食物 A,B 的数量(单位:千克) , 请列出满足营养学家日常饮食要求的 数学关系式。 1.介绍开半平面和闭半平面的定义。 2.引导 1:二元一次方程在直角坐标系 中的图像是一条直线,那么二元一次不 探 求 等式在直角坐标平面上表示什么区 域? 教师给出相 在给出相关定义 学生列出满 足要求的数学关 系式。 教师结合学 生列出的关系式 给出二元一次不 等式和二元一次 不等式组的概念。 从实际问题出 发,引出二元一次不 等式和二元一次不等 式组的概念。体现应 用价值,吸引学生的 学习兴趣。 教学内容 教学活动 设计说明

关的一些定义后, 后在研究其所表示的 引导学生研究二 元一次不等式在 直角坐标平面上 平面区域, 顺理成章, 符合学生的认知规 律。

二 元 一 次 不 等 式 解 集 的 几 何 意 义

引导 2:直线将平面分成两部分,这与 两 个 二 元 一 次 不 等 式

表示的平面区域。 教师提出问 题,引导学生思 考, 回答问题, 进

采用类比推理的 方法,进入本堂课的 主要内容,使学生比 较容易的产生相关联

Ax ? By ? C ? 0(? 0) 有什么关联?
引导 3:如何验证我们的猜想? 3. 选择直线 x ? y ? 1 ? 0 , 在平面上选 择一点 P( x, y) ,观察其在每一侧区域 运动时, x ? y ? 1 的正负符号。 4.证明:在直线 Ax ? By ? C ? 0 的同 一侧任取一点 P( x1 , y1 ) 的坐标使式子

行 合 理 的 猜 想 : 想。鼓励学生进行大 “同侧同号” 。 学生给出验 证方法, 教师通过 多媒体进行演示, 验证猜想。 胆的猜想,培养他们 的想象能力和创新能 力。 在由了想法后, 自然的要对其进行验 证,验证猜想的对于 教师引导学 生运用联系、 转化 的 方 法 将 点 错。 通过验证发现可 能成立,作为数学问

Ax ? By ? C 的值具有相同的符号。

P( x1 , y1 ) 与直线 题自然要考虑其是否
上的点联系起来, 学生讨论得到证 明方法, 完成对于 猜想的逻辑证明。 可以逻辑证明,这体 现了数学的严谨性。 同时证明过程中渗透 联系、转化的数学方 法。 通过这样的探究 过程加深了学生对于 数学本质的理解,更 重要的是让学生经历 了知识形成的一个完 整过程,这培养了他 们解决问题的思维方 法。 画平面区域的方法 画平 方法一:直线定界,特殊点定域 教师引导学 生依据“同侧同 培养学生解决问 题的能力,加强他们

面区 域的 方法

方法二:看 A:右同左异; 看 B:上同下异。

号” 的结论和证明 过程总结得出画 平面区域的方法。 学生得出并 完善方法。

总结归纳形成方法的 能力。 让学生体会到由 一般到特殊,再由特 殊回归到一般的认识 问题的方法。

例 1:画出下面二元一次不等式表示的 平面区域: (1) 2x- y- 3>0; (2) 3x+ 2y- 6≤0. 例 2:画出引例中的二元一次不等式组

例 1 学生板 书画出不等式的 平面区域, 并讲解 画出的过程和判 断区域的方法。 教师强调边 界线虚实线的划 法。 例 2 教师点 拨学生在作出每 个区域后找出它

通过例题进一步 理解和巩固所学的判 断方法,掌握画出二 元一次不等式(组) 表示的区域的判断方 法。 与引例相呼应, 彻底的解决该问题, 通过应用题,让学生 体会到数学的应用价 值。 由二元一次不等 式到不等式组的设 计,由浅入深,由易 到难,便于学生的接 受。 从相反的方向对 于知识进行练习,加 深学生对于知识与方 法的理解与运用。

?2 x ? 2 y ? 1 ?x ? 2 y ? 1 ? ? ?2 x ? y ? 1 表示的平面区域。 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
方 法 应 用 例 3:写出表示下面平面区域的二元一 次不等式组: (包括三角形的三条边)

y C(3,4)

们的交集。 学生作图, 教 师展示其中较好

A(-2,1) O

B(5,1) x

的作图。 例 3 由教师

引导,学生完成。

归 纳 小 结

(1)二元一次不等式表示的平面区域; (2)数形结合的方法; (3)猜想,验证,逻辑证明的研究问 题的方法。

师生共同回 顾与总结所学的 知识与方法。

通过知识与方法 的总结,使得所学的 知识系统化、 条理化。

课 堂 作 业

作业: 1.P89 页第 3 题; 2.研究 P88 页探索与研究。

教师批阅, 发

根据学生情况分

现问题及时纠正。 层设计,注重学生的 差异。 探索与研究,增 强学生课下的自学与 交流意识。

四.板书设计

二元一次不等式(组)表示的平面区域 同侧同号 证明过程(图像) 例 1:

判断方法

五.教学思考 在探求“同侧同号”教学过程中,与教材处理不同的是在验证完猜想后,我引导同学们得到了其严格 的逻辑证明。这样做主要基于以下几点的考虑: (1)根据学生的状况,过点 P 做坐标轴垂线的这种证法学 生还是可以探求到,并理解和接受的。 (2)在这个过程鼓励学生继续大胆的想象,合理的论证;培养学生 运用联系转化的方法来处理新问题的数学思维方法。 让学生经历了一个数学问题的完整的探究过程 (3) “猜 想、验证、证明” ,以及由特殊到一般的升华。同时考虑到学生的接受能力,关于“向量内积”的证明方 法,在引导学生考虑到“垂线联系”的方式后并没有展开,而是让学生在课下结合书上的证明继续探究。


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