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新人教版22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

时间:2018-07-02


二次函数的定义:

一般地,形如 一般地,形如 y ? ax ? bx ? c (a、 b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次 函数,其中a为二次项系数,b为一次 项系数,c为常数项。
2

1、二次函数的一般形式是怎样的? y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)

2.下列函数中,哪些是二次函数?



y?x

2

y ? x?x

2

1 ② y?x ? x
2

④ y ? x ? x ?1
2

1 2 ⑤ y ? x ? 2x ? 4 3

1.你知道一次函数的图象是什么吗? 一条直线 2.用什么方法画函数的图象?
描点法 列表、描点、连线

画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线
x y … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

y= x2

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

二次函数 二次函数的图象都是抛物线, y = x2的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球 它们的开口或者向上或者向 下. 一般地,二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)的图象叫做抛 时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上,这条曲 2, 线叫做抛物线 物线y = ax2 + bx y =+xc
9

6
3 -3 3

y轴是抛物线y = x 2 的对称轴,抛物线y = x 2 与它的对称轴 实际上,每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点 的交点(0,0)叫做抛物线y = x2 的顶点,它是抛物线y = x 2 叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 的最低点.

请在同一坐标系中,画出下列函数的图像, 并通过图像谈谈它们的共同点和区别。

1 2 (1) y ? x ; (2) y ? 2 x 2 2

解:分别填表,再画出它们的图象,如图:
x · · · -4
· · ·

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

· · · · · ·

y?

1 2 x 2
x

8
8

4.5
-1.5

2
-1

0.5
-0.5

0
0

0.5
0.5

2
1

4.5
1.5

8
2

· · · -2
2

· · · · · ·

y ? 2x

· · ·

4.5
y ? x2

2
8
6 4 2

0.5

0

0.5 2 4.5 8

相同点:开口 都向上,顶点 是原点而且是 抛物线的最低 点,对称轴是 y轴
-4

y ? 2 x2

不同点:a 要越 试归纳a>0 大,抛物线的开 2 时, y=ax 口越小.

1 2 y? x 2
2 4

的图像特 征

-2

这些抛物线有什么共同点和不同点. 相同点:开口都向下,顶 点是原点而且是抛物线的 最高点,对称轴是 y 轴

1 2 2 画出函数 y ? ? x , y ? ? x , y ? ?2 x 的图象,并考虑 2
2

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

不同点:a 要越大,抛物 试归纳a<0时, 线的开口越小.

y=ax2的图像

特征
y ? ? x2

1 2 y?? x 2

-8

y ? ?2 x 2

一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴,顶点 是点.当a>0时,抛物线的开口_______,顶点是抛 物线的最_______点,a越大,抛物线的开口越
_______;当a<0时,抛物线的开口向_______,顶

点是抛物线的最________点,a越大,抛物线 的开口越_________.

|a|越大,抛物线开口越

.

二次函数y=ax2的性质
y=ax2 图象 a>0 a<0

开口 方向

开口向上

开口向下

对称性 关于y轴对称,对称轴是y轴即直线x=0 顶点 顶点坐标是原点(0,0) 当x=0时,y最小值=0 当x=0时,y最大值=0 最值
增减性

在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增

在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减

|a|越大,抛物线开口越小

例1:下列二次函数图像开口,按 从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
1 2 (1 )y ? x 4
1 2 (3)y ? - x 3

1 2 (2)y ? x 2

(4)y ? -3x

2

例2、已知二次函数 y ? ax 的图形经 过点(-2,-3)。 (1)求a的值,并写出函数解析式; (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置;
2

例3、y=kx2与y=kx-2(k≠ 0)在同一坐标系中,

可能是( B )

A

B

C

D

1. 若抛物线 y=ax? 与 y=4x? 的形状及开口方向 均相同,则a= 4
2. 下列关于二次函数 y=ax? ( a≠0 )的说法中,错 误的是( C )

A.它的图像的顶点是原点
B.当a<0,在x=0时,y取得最大值

C.a越大,图像开口越小;a越小,图像开口越大
D.当a>0,在x>0时,y随x的增大而增大

4、若抛物线 n的值。

y ? (n ? 1) x
2

n 2 ?n

的开口向下,求

5、若抛物线 y ? ?6 x 上点P的坐标为(2,-24), 则抛物线上与P点对称的点P’的坐标为 。 6、若m>0,点(m+1,y1)、 (m+2,y2)、(m+3,y3) 1 在抛物线 y ? x 2 上,则y1、 y2、y3的大小关系是 4 什么?

1.画二次函数 y=ax? 的图像时,有哪些地方是你 需关注的? 2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax?的性质的?

3.本节课你存在哪些疑问?

y=ax2 (a≠0) 图 象
O

a>0

a<0

y
O

y
x x 向下 (0 ,0)

开口方向

向上 (0 ,0) y轴

顶点坐标
对称轴 增 减 性

y轴

当x<0时,y随着x的增 当x<0时,y随着x的增大 大而减小;当x>0时, 而增大;当x>0时, y y随着x的增大而增大。 随着x的增大而减小。

极值

x=0时,y最小=0

x=0时,y最大=0

抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.


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