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高中数学知识点总结(必修1、2、4、5)

时间:2018-06-30


高中数学知识点总结(必修 1、2、4、5)
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如:集合A ? ?x| y ? lg x?,B ? ?y| y ? lg x?,C ? ?(x, y)| y ? lg x?,A、B、C 中元素各表示什么?
2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1? 若B ? A,则实数a的值构成的集合为

?

?

1? ? (答: ??1, 0, ?) 3? ?

3. 注意下列性质:
(1)集合?a 1,a 2 ,??,a n ?的所有子集的个数是 2 n ; (2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;

4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) ax ? 5 如:已知关于x的不等式 2 ? 0的解集为M,若3 ? M且5 ? M,求实数a 的取值范围。 x ?a
(∵ 3 ? M,∴ a· 3 ? 5 ?0 32 ? a a·5 ? 5 ?0 52 ? a 5? ? ? a ? ?1, ? ??9, 25? ) 3? ?

∵5 ? M,∴

5. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性,哪几 种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。) 6. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 7. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数 y ? x?4 ? x? lg?x ? 3?
2

的定义域是

(答:?0, 2? ??2 , 3? ??3, 4?)

8. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定 义域是___。 (答:?a, ? a?)

?

?

9. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f ( x).

?

令t ? x ? 1,则t ? 0 ∴x ? t 2 ? 1
10. 如何用定义证明函数的单调性? 如何判断复合函数的单调性?

∴f ( t ) ? e t

2

?1

? t 2 ? 1 ∴f ( x) ? e x

2

?1

? x 2 ? 1 ? x ? 0?

(取值、作差、判正负)

(y ? f ( u) ,u ? ? ( x) ,则y ? f ?? ( x)? (外层) (内层)

当内、外层函数单调性相同时f ??(x)?为增函数,否则f ??(x)?为减函数。)
1

如:求y ? log 1 ? x ? 2x 的单调区间
2 2

?

?

u

(设u ? ? x 2 ? 2 x,由u ? 0则0 ? x ? 2 , 且 log u ? ,u ? ??x ? 1?2 ? 1,如图: 1
2

O

1

2

x

当x ? (0,1]时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ? 当x ?[1,2) 时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ? ∴??)
2 2

11. 函数 f(x)具有奇偶性的条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)

若f ( ? x) ? ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1) 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数; 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。

如:若f ( x) ?

a·2 x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1 即 a· 2 0 ? a ? 2 ? 0,∴a ? 1) 20 ? 1
2x , 求f ( x) 在??1,1?上的解析式。 4 ?1
x

(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又0 ? R,∴f (0) ? 0

又如:f ( x) 为定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ?
(令x ? ??1,0?,则 ? x ? ?0,1?,f ( ? x) ?
?x

2?x 2?x 2x 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) ? ? ? x ?? 4 ?1 4 ?1 1? 4x

? 2x ?? x ? 4 ?1 又f (0) ? 0,∴f ( x) ? ? x ? 2 ?4x ? 1 ?
12、 你熟悉周期函数的定义吗?

x ? ( ?1, 0) x?0 x ? ?0,1? )

(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期 函数,T 是一个周期。)
如:若f ?x ? a ? ? ? f ( x) ,则

(答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期) 即f (a ? x) ? f (a ? x) ,f ( b ? x) ? f ( b ? x)

又如:若f ( x) 图象有两条对称轴x ? a,x ? b ??? 则f ( x) 是周期函数,2 a ? b 为一个周期
如: 13. 你掌握常用的图象变换了吗?

2

f ( x) 与f ( ? x) 的图象关于 y轴 对称 f ( x) 与 ? f ( x) 的图象关于 x轴 对称 f ( x) 与 ? f ( ? x) 的图象关于 原点 对称
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称

f ( x) 与f (2a ? x) 的图象关于 直线x ? a 对称 f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图象关于 点 (a, 0) 对称

左移a (a?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) ? b 将y ? f ( x) 图象 ? ??????? ? ? ? ??????? ? ? 右移a (a?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a ) ? b
注意如下“翻折”变换:
y y=log2x

f ( x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? ? f (| x|) ?
O 1 x

如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1?
作出y ? log 2 ? x ? 1? 及y ? log 2 x ? 1 的图象

(k<0)

y

(k>0)

y=b O’(a,b)

14. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
O x x=a

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?

(2 )反比例函数:y ?
2

k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O'(a,b) 的双曲线。 x x?a
2

b? 4ac ? b 2 ? ( 3)二次函数y ? ax ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a
2 4ac ? b 2 , a ? 0,向下,y max ? 4ac ? b 4a 4a 应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

开口方向:a ? 0,向上,函数y min ?

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1 、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
y

(a>0)

3
O k x1 x2 x

?? ? 0 ? b ? 如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k ? 2a ?f ( k ) ? 0 ?

一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0
(4 )指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1? (5)对数函数y ? log a x?a ? 0,a ? 1?
由图象记性质! (注意底数的限定!)
(0<a<1)

y y=ax(a>1) y=logax(a>1) 1 O 1 x

(0<a<1)

(6)“对勾函数” y ? x ?

k ?k ? 0? x

y

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么? 15. 你在基本运算上常出现错误吗?
? k

指数运算:a 0 ? 1 (a ? 0) ,a ? p
a
m n

1 ? p (a ? 0) a
(a ? 0)

O

k

x

? a
n

m

(a ? 0) ,a

?

m n

?

1
n

am

对数运算: log a M·N ? log a M ? log a N ? M ? 0,N ? 0?

log a

M 1 ? l o g M ? l o g N, l o g n M ? l o g M a a a a N n

对数恒等式:a loga x ? x

对数换底公式: log a b ?
16. 如何解抽象函数问题?

log c b n ? log a m b n ? log a b log c a m
(赋值法、结构变换法)

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ? x,??) (2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x ? y ? ? t ? f ?( ? t )( ? t )? ? f ( t·t )

∴f ( ? t ) ? f ( ? t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f ( ? t ) ? f ( t ) ??)

4

( 3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ? x 2 ? x 1 ? ? x 2 ? ??
17. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。) 如求下列函数的最值:

?

?

(1)y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x

( 2 )y ?

2 x ?4 x ?3

( 3)x ? 3,y ?

2x 2 x?3

( 4 )y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 设x ? 3 c o s ,? ? ? 0 , ? ? ?

?

?

(5)y ? 4 x ?

9 ,x ?(0,1] x 1 1 l·R ? ? ·R 2 ) 2 2
1 弧度 O R

18. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l ? ? ·R,S 扇 ?

R

y B P α O M A x S T

19. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

s i n ? MP, c o s ? OM, t a n ? AT ? ? ?
如:若 ? ? ? ? ? 0,则 sin ?, cos ?, tan ?的大小顺序是 8

?? ? 又 如 : 求 函 y ? 1 ? 2 c o ? ? x? 的 定 义 域 和 值 域 。 数 s ?2 ?
?? ? (∵1 ? 2 cos? ? x? ) ? 1 ? 2 sin x ? 0 ?2 ?

∴ sin x ?

2 ,如图: 2

∴2 k? ?

5? ? ? x ? 2 k? ? ?k ? Z?,0 ? y ? 1 ? 2 4 4

20. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?
y

y ? tgx

?

?
2

O

?
2

?

x

s i n ? 1, cos x ? 1, x

? ? ? 对称点为? k , 0? ,k ? Z ? 2 ?
?? ?k ? Z? , 减区间为 ?2k? ? ? ,2 k? ? 3? ? ?k ? Z? ? 2? 2 2? ? ? ?
5

? ? y ? s i n 的增区间为 ?2 k? ? , 2 k? ? x 2 ?

图象的对称点为? k?, 0?,对称轴为 x ? k? ?

? ?k ? Z? 2

y ? c o s 的增区间为?2 k?, 2 k? ? ?? ? k ? Z? , 减区间为?2 k? ? ?, 2 k? ? 2 ?? ? k ? Z? x

? ? ? ? ? 图象的对称点为 ? k? ? , 0? ,对称轴为 x ? k? ? k ? Z? , y ? tan x的增区间为? k? ? ,k? ? ? k ? Z ? ? ? ? ? 2 2 2?

2 1 .正弦型函数 y = A?s i n ??的图象和性质要熟记。或y ? A ? x+ ? ?
(1)振幅| A| ,周期T ?

c o ?? ? ? x? s ??

2 ? , 若f ? x ? ? ?A,则x ? x 为对称轴。 若f x ? 0,则 x ,0 为对称点,反之也对。 ? 0? ? 0 ? 0 0 | ?|

(2 )五点作图:令 ?x ? ? 依次为 0,

? 3? ,?, ,2? ,求出x与y,依点 (x,y)作图象。 2 2

(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)
?? ( x 1 ) ? ? ? 0 ? 如图列出 ? ? 解条件组求?、?值 ?? ( x 2 ) ? ? ? 2 ?

?正切型函数 y ? A tan??x ? ??,T ?

? | ?|

22. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

?? 2 3? ? ? ? 如: cos? x ? ? ? ? ,x ? ??, ? ,求x值。 ? 6? 2 2? ?
(∵? ? x ? 3? 7? ? 5? ? 5? 13 ,∴ ? x? ? ,∴x ? ? ,∴x ? ?) 2 6 6 3 6 4 12

23. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?
如:函数y ? sin x ? sin| x| 的值域是
(x ? 0时,y ? 2 sin x ?? ?2 ,2?,x ? 0时,y ? 0,∴y ?? ?2 ,2?)

24. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? 平移公式:

(平移变换、伸缩变换)

? ? x' ? x ? h a ?( h,k ) (1)点P(x,y) ? ????? P' (x' ,y' ),则 ? ? 平移至 ? y' ? y ? k
( 2 ) 曲 线( x,y) ? 0沿 向 量 ? ( h,k ) 平 移 后 的 方 程f为 ? h,y ? k ) ? 0 f a (x
?

?? ? 如:函数 y ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的 图象? ? 4?
? (y ? 2 sin? 2 x ? ? ?? ? ? 1 ? ?? 横坐标伸长到原来的 2 倍 ? ? 1 ? ?????????? y ? 2 sin ?2? x? ? ? ? 1 ? 4 ? ?2 ? 4?

1 ? 纵坐标缩短到原来的 倍 左平移 个单位 ?? ? 2 ? y ? sin x) 4 ? 2 sin? x ? ? ? 1 ? ????? ? y ? 2 sin x ? 1 ?上平移1个单位? y ? 2 sin x ? ????????? ? ????? ? ? 4?
6

25. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?
如:1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? tan ?· cot ? ? cos ?· sec ? ? tan

? ? ? s i n ? cos 0 ? ??称为1的代换。 2 4

“ k·

? ? ?”化为 ? 的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”, “奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。 2 9? ? 7? ? 如: cos ? tan? ? ? ? sin?21?? ? ? 6? 4
sin ? ? tan ? ,则y的值为 cos ? ? cot ?

又如:函数y ?

A. 正值或负值

B. 负值 C. 非负值 D. 正值

sin ? 2 cos ? ? sin ??cos ? ? 1? ? 0,∵? ? 0) (y ? cos ? cos2 ??sin ? ? 1? cos ? ? sin ? sin ? ?

26. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?
令??? s i n? ? ?? ? s i n c o s ? c o s s i n ??? ? s i n ? ? 2 s i n c o s ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

理解公式之间的联系:

令 ? ?? c o ?? ? ?? ? c o s c o s ? sin ? sin ? ? ?? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? s ? ? ?
t a n? ? ?? ? ? tan ?tan ? ? 1? t a n · t a n ? ?
2 ? 2c o 2 ? ?1 ? 1? 2s i n ? ? s

2t a n ? tan? ? 2 2 1? t a n ?

1? c o s? 2 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2 c o2? ? s

a s i n ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin?? ? ??, tan ? ? ?

b a

?? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin? ? ? ? ? 4?

?? ? s i n ? 3 cos ? ? 2 sin? ? ? ? ? ? 3?

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值, 尽可能求值。) 具体方法: ? ?? ? ?? ? ? ? (1)角的变换:如? ? ?? ? ?? ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? 2 2? ? 2 (2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。 sin ? cos ? 2 如:已知 ? 1, tan?? ? ?? ? ? ,求 tan?? ? 2??的值。 1 ? cos 2? 3

(由已知得:

sin ? cos ? cos ? 1 ? ? 1,∴ tan ? ? 2 2 sin ? 2 2 sin ?
t a n? ? ?? ? t a n ? ?

又 t a n? ? ?? ? ?

2 3

2 1 ? 1 ∴ t a n? ? 2?? ? t a n?? ? ?? ? ?? ? ? 3 2 ? ) ? ? 1 ? t a n? ? ??· t a n ? 1? 2 · 1 8 ? 3 2
7

27. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?
余弦定理:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos A ? cos A ? b2 ? c2 ? a 2 2 bc

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。) ?a ? 2 R sin A a b c ? 正弦定理: ? ? ? 2 R ? ?b ? 2 R sin B sin A sin B sin C ?c ? 2 R sin C ?

S? ?

1 a·b s i n C 2

∵A ? B ? C ? ?,∴A ? B ? ? ? C

A?B C ∴ s i nA ? B? ? s i n , s i n C ? cos ? 2 2

如?ABC中,2 sin 2

A?B ? cos 2C ? 1 2
c2 ,求 cos 2A ? cos 2 B的值。 2

(1)求角C; (2 )若a 2 ? b 2 ?

((1)由已知式得:1 ? cos?A ? B? ? 2 cos2 C ? 1 ? 1 又A ? B ? ? ? C,∴2 cos2 C ? cos C ? 1 ? 0
∴ cos C ?

? 1 或 cos C ? ?1(舍) 又0 ? C ? ?,∴C ? 3 2

1 ? 3 (2 )由正弦定理及a 2 ? b 2 ? c 2 得: 2 sin 2 A ? 2 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 ? 2 3 4 3 3 ∴ cos 2A ? cos 2 B ? ? ) 1 ? cos 2A ? 1 ? cos 2 B ? 4 4
28. 不等式的性质有哪些?

(1)a ? b,

c ? 0 ? ac ? bc c ? 0 ? ac ? bc

(2)a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d

(3)a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd

(4 )a ? b ? 0 ?

1 1 1 1 ? ,a ? b ? 0 ? ? a b a b

(5)a ? b ? 0 ? a n ? b n , n a ? n b (6)| x| ? a ?a ? 0? ? ?a ? x ? a,| x| ? a ? x ? ?a或x ? a
如:若 1 1 ? ? 0,则下列结论不正确的是( a b
B. ab ? b 2


C. | a|?| b| ?| a ? b| D. a b ? ?2 b a

A. a 2 ? b 2

答案:C

28. 利用均值不等式:
? a ? b? a 2 ? b 2 ? 2ab a,b ? R ? ;a ? b ? 2 ab ;ab ? ? ? 求最值时,你是否注 ? 2 ?

?

?

2

意到“a,b ? R ? ”且“等号成立”时的条件,积(ab) 或和(a ? b) 其中之一为定 值?(一正、二定、三相等)

注意如下结论:

a 2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? a,b ? R ? 2 2 a?b

?

?

当且仅当a ? b时等号成立。

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca ?a,b ? R ?

当且仅当a ? b ? c时取等号。

8

a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0,则

b b?m a?n a ? ?1? ? a a?m b?n b

如:若x ? 0,2 ? 3x ?
? (设y ? 2 ? ? 3x ? ? 当且仅当 3x ?

4 的最大值为 x

4? ? ? 2 ? 2 12 ? 2 ? 4 3 x?

4 2 3 ,又x ? 0,∴x ? 时,y max ? 2 ? 4 3) x 3

又如:x ? 2 y ? 1,则 2 x ? 4 y 的最小值为 (∵ 2 x ? 2 2 y ? 2 2 x ? 2 y ? 2 2 1 ,∴最小值为 2 2 )
29. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

如:证明1 ?
(1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ?2 2 2 3 n

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 ? ? ? ?? ? 2 1? 2 2 ? 3 2 3 n ?n ? 1?n

? 1?1? ?2?

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 n ?1 n

1 ? 2) n
f ( x) ? a ? a ? 0 ?的一般步骤是什么? g ( x)

30.解分式不等式

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。) 31. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a ? 1或0 ? a ? 1讨论
32. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值 a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值 a ? f ( x) 能成立 ? a ? f ( x) 的最小值
例如:对于一切实数x,若 x ? 3 ? x ? 2 ? a恒成立,则a的取值范围是

(设u ? x ? 3 ? x ? 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2 和3距离之和
9

u m i n? 3 ? ??2? ? 5,∴5 ? a,即a ? 5 或者: x ? 3 ? x ? 2 ? ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 5,∴a ? 5)
33. 等差数列的定义与性质

定义:a n ?1 ? a n ? d (d为常数) ,a n ? a 1 ? ?n ? 1?d

等差中项:x,A,y成等差数列 ? 2A ? x ? y , 前n项和S n ?
性质:?a n ?是等差数列

?a 1 ? a n ?n ? na
2

1

?

n?n ? 1? 2

d

(1)若m ? n ? p ? q,则a m ? a n ? a p ? a q ;
(2 )数列?a 2 n ?1 ?,?a 2 n ?,?ka n ? b?仍为等差数列; S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ??仍为等差数列;

(3)若三个数成等差数列,可设为a ? d,a,a ? d;
( 4 )若a n ,b n 是等差数列S n ,Tn 为前n项和,则 a m S 2 m?1 ? ; b m T2 m?1

(5)?a n ?为等差数列 ? S n ? an 2 ? bn(a,b为常数,是关于n的常数项为 0 的二次函数) S n 的最值可求二次函数S n ? an 2 ? bn的最值;或者求出?a n ?中的正、负分界 项,即:

?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,解不等式组 ? 可得S n 达到最大值时的n值。 ?a n ?1 ? 0 ?a n ? 0 当a 1 ? 0,d ? 0,由 ? 可得S n 达到最小值时的n值。 ?a n ?1 ? 0
如:等差数列?a n ?,S n ? 18,a n ? a n ?1 ? a n ?2 ? 3,S 3 ? 1,则n ?

(由a n ? a n ?1 ? a n?2 ? 3 ? 3a n?1 ? 3,∴a n?1 ? 1 又S3 ?

?a1 ? a 3 ? ·3 ? 3a
2

2

? 1,∴a 2 ?

1 3

∴S n ?

?a 1 ? a n ? n
2

?

?a 2 ? a n?1 ?·n
2

?1 ? ? ? 1? n ?3 ? ? ? 18 2

? n ? 27)

34. 等比数列的定义与性质

定义:

a n ?1 ? q(q为常数,q ? 0),a n ? a 1q n ?1 an

等比中项:x、G、y成等比数列 ? G 2 ? xy,或G ? ? xy

10

?na 1 (q ? 1) ? 前n项和:S n ? ? a 1 1 ? q n (要注意 ! ) (q ? 1) ? ? 1? q

?

?

性质:?a n ?是等比数列

(1)若m ? n ? p ? q,则a m ·a n ? a p ·a q

(2 )S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ??仍为等比数列 35.由Sn求an时应注意什么? (n ? 1时,a 1 ? S1 ,n ? 2 时,a n ? S n ? S n ?1 )

36. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如:(1)求差(商)法

1 1 1 如:?a n ?满足 a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n a n ? 2 n ? 5 2 2 2 1 解: n ? 1时, a 1 ? 2 ? 1 ? 5,∴a 1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a 1 ? 2 a 2 ? ?? ? n?1 a n?1 ? 2 n ? 1 ? 5 2 2 2
? 1 ? ? ? 2 ? 得:
[练习]

?1?

?2?

1 an ? 2 2n

∴a n ? 2 n ?1

?14 ( n ? 1) ∴a n ? ? n ?1 ( n ? 2) ?2

5 数列?a n ?满足S n ? S n ?1 ? a n ?1 ,a 1 ? 4 ,求a n 3
(注意到a n ?1 ? S n ?1 ? S n 代入得: S n ?1 ?4 Sn
n ? 2 时,a n ? S n ? S n?1 ? ?? ? 3·4 n?1

又S1 ? 4 ,∴?S n ?是等比数列,S n ? 4 n ,
(2)叠乘法

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,

a n ?1 n ? ,求a n an n ?1

解:

a2 a a a 1 2 n ?1 1 · 3 ?? n ? · ?? ,∴ n ? a1 a2 a n ?1 2 3 n a1 n

又a 1 ? 3,∴a n ?

3 n

(3)等差型递推公式

由a n ? a n ?1 ? f ( n) ,a 1 ? a 0 ,求a n ,用迭加法

n ? 2 时,a 2 ? a 1 ? f (2) ? ? a 3 ? a 2 ? f (3) ? ?两边相加,得: ?? ?? ? a n ? a n ?1 ? f ( n) ? ?
11

a n ? a 1 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n)
[练习]

∴a n ? a 0 ? f (2) ? f (3) ? ?? ? f ( n)

数列?a n ?,a 1 ? 1,a n ? 3n ?1 ? a n ?1 ?n ? 2?,求a n
(4)等比型递推公式

(a n ?

1 n 3 ?1 ) 2

?

?

a n ? ca n ?1 ? d c、d为常数,c ? 0,c ? 1,d ? 0

?

?

可转化为等比数列,设a n ? x ? c?a n ?1 ? x?

? a n ? ca n ?1 ? ?c ? 1?x

令(c ? 1) x ? d,∴x ?

d ? d d ? ∴ ?a n ? ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 ? c ? 1? c ?1 c ?1 ? d ? n ?1 d ? ∴a n ? ? a 1 ? ?c ? ? ? c ?1 c ?1

∴a n ?
[练习]

d d ? ? n ?1 ? ? a1 ? ? ·c ? ? c ?1 c ?1

数列?a n ?满足a 1 ? 9 ,3a n ?1 ? a n ? 4 ,求a n
(5)倒数法

? 4? (a n ? 8? ? ? ? 3?

n ?1

? 1)

例如:a 1 ? 1,a n ?1 ? 1 a n ?1

2a n ,求a n an ? 2

由已知得:

?

an ? 2 1 1 ? ? 2a n 2 an



1 a n ?1

?

1 1 ? an 2

?1? 1 1 1 1 1 ? ? ?为等差数列, ? 1,公差为 ? ? 1 ? ? n ? 1?· ? ? n ? 1? a1 2 an 2 2 ?a n ?

∴a n ?

2 n ?1

37. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:?a n ?是公差为d的等差数列,求 ?

1 k ?1 a k a k ?1

n

解: 由

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ?d ? 0? a k ·a k ?1 a k ?a k ? d ? d ? a k a k ?1 ?
? ? 1 ? ? …… ? ? a 3 ? ? 1 ? a ?? 1 ?? ? n a1 ? ?? ? 1 1 ? ? n ? d 1a ? ? 1 ? ?a1

∴?
[练习]

n 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1? ? 1 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a k ?1 ? d ? ? a a? ? a k ?1 a k a k ?1 k ?1 d ? a k 1 2 2 n

n

求和:1 ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? (a n ? ?? ? ??,S n ? 2 ? ) 1? 2 1? 2 ? 3 n ?1 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n

(2)错位相减法:
12

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和,可由S n ? qS n 求S n ,其中q为?b n ?的公比。

如:S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nx n?1

?1?
?2?

x·S n ? x ? 2 x 2 ? 3x 3 ? 4 x 4 ? ?? ? ?n ? 1?x n ?1 ? nx n ? 1 ? ? ? 2 ? :?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n ?1 ? nx n

x ? 1时,S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x?2

1? x
n?n ? 1? 2

x ? 1时,S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 2S n ? ?a 1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n ?1 ? ? ?? ? ?a 1 ? a n ??? ? S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ?
[练习]

已知f ( x) ?

x2 ? 1? ? 1? ? 1? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x
? 1? ? ? ? x?
2

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2
2

? 1? 1? ? ? ? x?

2

?

x2 1 ? ?1 2 1? x 1 ? x2

? 1 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? 1 ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? f ? ? ? ? ? f (3) ? f ? ? ? ? ? f (4) ? f ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ) ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? 2 2 ?
38. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:

n? n ? 1? ? ? S n ? p?1 ? r ? ? p?1 ? 2 r ? ? ? ?? p?1 ? n r? ? p ? n ? r ?? ? 等 差 问 题 2 ? ?
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类) 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日, 如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利),那么每期应还 x 元,满足

p(1 ? r ) ? x?1 ? r ?
n

n ?1

? x?1 ? r ?

n?2

?1 ? ?1 ? r ? n ? ?1 ? r ? n ? 1 ? ?? ? x?1 ? r ? ? x ? x ? ??x r ? 1 ? ?1 ? r ? ? ? ?

∴x ?

pr?1 ? r ?
n

n

?1 ? r ? ? 1

p——贷款数,r——利率,n——还款期数
13

39. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。
?

( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a |

(3)单位向量| a 0 | ? 1, a 0 ?

?

?

?

a
?

( 4 )零向量 0 ,| 0| ? 0

?

?

| a|
? ?长 度 相 等 ? (5) 相 等 的 向 量 ? ? a?b ?方 向 相 同

在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
?

b ∥ a ( b ? 0 ) ? 存在唯一实数?,使 b ? ? a

?

?

?

?

?

(7)向量的加、减法如图:

? ? ? OA ? OB ? OC
? ?

? ? ? OA ? OB ? BA
?

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一
? ? ? ? ?

实数对? 1 、? 2 ,使得 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。 (9)向量的坐标表示
? ?

i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
? ? ? ?

?

a ? x i ? y j ,称( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a ? ?x,y?,即为向量的坐标 表示。 设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? ? a ? ??x1 ,y1 ? ? ??x1 ,?y1 ?
若A? x 1 ,y 1 ?,B? x 2 ,y 2 ?
? ? ?

则 a ? b ? ?x1 ,y1 ? ? ?y1 ,y 2 ? ? ?x1 ? y1,x 2 ? y 2 ?

?

?

? 则 AB ? ?x 2 ? x1 ,y 2 ? y1 ?

? | AB| ?

?x 2 ? x1 ?2 ? ?y 2 ? y1 ?2 ,A、B两点间距离公式
? ? ? ? ?

40. 平面向量的数量积

(1) a · b ?| a | ·| b|cos?叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。
?为向量 a 与 b 的夹角,? ??0,??
? ?

?

? b
O

B

?
D

? a
A

14

数量积的几何意义: a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cos?的乘积。 (2)数量积的运算法则

?

?

?

?

?

①a·b ? b·a
? ?

?

?

?

?

②( a ? b) c ? a · c ? b · c

?

? ?

?

?

?

?

③ a · b ? ?x1 ,y1 ?·?x 2 ,y 2 ? ? x1x 2 ? y1 y 2
注 意 : 数 量 积 不 满 足 结 ( a · b)· c ? a ·( b · c ) 合律
? ? ? ? ? ?

(3)重要性质:设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ?
① a ⊥ b ? a · b ? 0 ? x 1 ·x 2 ? y 1 · y 2 ? 0 ② a ∥ b ? a · b ? | a | · | b | 或 a · b ? ?| a | · | b | ? a ? ? b ( b ? 0,?惟一确定) ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0
2 2 ③ a ?| a |2 ? x1 ? y1 ,| a · b| ?| a | ·| b| ④ cos ? ? ?2 ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

a·b

? ?

?

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x1 ? y1 · x 2 ? y 2 2 2

| a | ·| b|

[练习]

? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)已知正方形ABCD,边长为1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 | a ? b ? c | ?

答案: 2 2

(2)若向量 a ? ?x,1?, b ? ?4,x?,当x ?
? ?

?

?

时 a 与 b 共线且方向相同
? ?

?

?

答案:2 答案: 13

(3)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么| a ? 3 b| ?
41. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线 ∥ 线 ?? 线 ∥ 面 ?? 面 ∥ 面 ? ? 判定 性质 ? ??? 线 ⊥ 线 ?? 线 ⊥ 面 ?? 面 ⊥ 面 ??? ? ? ? 线 ∥ 线 ?? 线 ⊥ 面 ?? 面 ∥ 面 ? ?
线面平行的判定:
a b

a∥b,b ? 面?,a ? ? ? a∥面?
线面平行的性质:

??

?∥面?,? ? 面?,? ? ? ? b ? a∥b
三垂线定理(及逆定理):

P

??
O a

PA⊥面?,AO为PO在?内射影,a ? 面?,则

15

a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
线面垂直:

a

a⊥b,a⊥c,b,c ? ?,b ? c ? O ? a⊥?
面面垂直:

α

b

O c

a

b

a⊥面?,a ? 面? ? ?⊥? 面?⊥面?,? ? ? ? l,a ? ?,a⊥l ? a⊥?

??

a⊥面?,b⊥面? ? a∥b
面?⊥a,面?⊥a ? ?∥?
60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ ,0°<θ ≤90° (2)直线与平面所成的角θ ,0°≤θ ≤90° ?=0 时,b∥?或b ? ?
o

(3)二面角:二面角? ? l ? ?的平面角?,0o ? ? ? 180o

如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角的正弦值; D1 C1 ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; A1 B1 ③求二面角 C1—BD1—B1 的正弦值。
H G

3 6 (① ;②60o;③ ) 4 3
如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°, PD⊥面 ABCD,且 PD=AD, 求面 PAB 与面 PCD 所成的锐二面角的大小。 (∵AB∥DC,P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点, 作 PF∥AB,则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线??) 42. 空间有几种距离?如何求距离?

D A B

C

P

F

D

C

A

E

B

16

点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离, 构造三角形, 解三角形求线段的长 (如: 三垂线定理法, 或者用等积转化法) 。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________; D C (2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; A B (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。
D1 C1

43. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

A1

B1

Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素?
S正棱锥侧 ? 1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

V锥 ?

1 底面积×高 3

44. 球有哪些性质?

4 (1)S球 ? 4? R 2,V球 ? ? R3 3
(2)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3:1。

如:一正四面体的棱长均为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面 积为( A. 3? B. 4? C. 3 3? D. 6?
答案:A



45. 熟记下列公式了吗?

(1)l 直线的倾斜角? ??0,??,k ? tan ? ?

y 2 ? y1 ? ? ? ? ? ? ,x 1 ? x 2 ? ? ? x 2 ? x1 2
?

P1 ?x1 ,y1 ?,P2 ?x 2 ,y 2 ?是l 上两点,直线l 的方向向量 a ? ?1,k?
(2)直线方程:

点斜式:y ? y 0 ? k?x ? x 0 ? (k存在)

斜截式:y ? kx ? b

截距式:

x y ? ?1 a b

一般式:Ax ? By ? C ? 0 (A、B不同时为零)
Ax 0 ? By 0 ? C A 2 ? B2

( 3)点P? x 0 ,y 0 ?到直线l :Ax ? By ? C ? 0的距离 d ?
46. 如何判断两直线平行、垂直?
A 1 B 2 ? A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1C 2 ? A 2 C 1 ?

k 1 ? k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立)

A 1A 2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ⊥l2

k 1 ·k 2 ? ?1 ? l1 ⊥l2
17

47. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 48. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组 ? 关于x(或y)的一元二次方程 ? “?” ? ? 0 ? 相交;? ? 0 ? 相切;? ? 0 ? 相离
49. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲线 C 上任意一点,设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。

(由a ?

x ? x' y ? y' ,b ? ? x' ? 2a ? x,y' ? 2 b ? y) 2 2

?AA ' ⊥l ?k AA ' ·k l ? ?1 ( 2 )点A、A ' 关于直线l 对称 ? ? ?? ?AA ' 中点在 l 上 ?AA ' 中点坐标满足 l 方程
50. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求目标函数的最值。

18


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