高中数学必修1函数单调性和最值专题

函数专题：单调性与最值
一、增函数 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 随 x 的增大，y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ ○ 3 函数图象是否具有某种对称性？ ○ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图 象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自 变量 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1<x2 时，总有 f(x1)<f(x2) ． 二、函数的单调性 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数， 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性． 例 1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以 及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

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【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数 y =－x2 +2 | x | + 3 的图象，请指出它的的单调区间．

2．利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： ① 任取 x1，x2∈D，且 x1<x2； ② 作差 f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方） ； ④定号（即判断差 f(x1)－f(x2)的正负） ； ⑤下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） ． 例 2、证明函数 y ? x ?
1 在（1，+∞）上为减函数． x

例 3、函数 f(x)=－x3＋1 在 R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在 R 上是增函数还是 减函数？试证明你的结论．

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例 4、已知 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且 f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数 m 的取 值范围．

例 5、判断一次函数 y ? kx ? b (k ? 0) 单调性.

例 6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．

【归纳小结】 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机， 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 〖针对性练习〗
1 1.函数 y ? ? 的单调区间是（ x

） B.（- ? ，0） （1， ? ， ） D. （- ? ，1） （1， ? ）

A． （- ? ，+ ? ） C.（- ? ，1） 、 （1， ? ）

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2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是(
3 x

).

A． y ? ?3x ? 2

B． y ?

C． y ? x2 ? 4x ? 5

D． y ? 3x2 ? 8x ?10

3．函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的增区间是（

）。
1 (??, ?3) 3

A．[-3，-1]

B．[-1,1]

C． ?1 ? a ? ?

D． (?1, ?)

4、已知函数 f ( x) ? x ?

1 判断 f ( x) 在区间〔0，1〕和（1，+ ? ）上的单调性。 x，

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1、定义： 设 y=f(u),u=g(x), 当 x 在 u=g(x) 的定义域中变化时，u=g(x) 的值在 y=f(u) 的定义域 内变化，因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系，记为 y=f(u)=f[g(x)] 称为复合函数，其中 x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量 ( 即 函数 ) 2、复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律 如下： 函数
u ? g ( x) y ? f (u )

单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

y ? f ? g ( x)?

例 1、已知 y ? f (u) ? u ? 1, u ? g ( x) ? ?3x ? 2 ，求 y ? f ? g ( x)? 的单调性。

例 2、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? x ? 1 ，求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。
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