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2018年高中数学北师大版必修五:第2章 章末复习提升课 巩固提升训练含解析

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1.在△ABC 中,a=2 3,b=2 2,B=45°,则 A 等于( A.30° C.60°或 120° B.60° D.30°或 150° ) asin B 3 解析:选 C.由正弦定理得:sin A= = , b 2 因为 a>b,所以 A=60° 或 A=120°,故选 C. π 2.在△ABC 中,若 lg sin A-lg sin C=lg sin B=-lg 2,且 B∈?0, ?,则△ABC 的形状是( 2? ? A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 sin A 2 a 2 ? π? 解析: 选 C.由 lg sin A-lg sin C=lg sin B=-lg 2可得 lg =lg sin B=lg , 所以 = =sin B, 又 B∈?0, ?, sin C 2 c 2 ? 2? π 2 所以 B= ,c= 2a.由余弦定理可知 b2=a2+2a2-2a× 2a× ,整理可得 b=a,因此△ABC 为等腰直角三角 4 2 形. 3.为维护国家主权和领土完整,我海监船 310 号奉命赶赴钓鱼岛海域执法巡航.当我船航行到 A 处时测得钓鱼 岛在我船北偏东 45°方向上, 我船沿正东方向继续航行 20 海里到达 B 处后, 又测得钓鱼岛在我船北偏东 15°方 向上,则此时 B 处到钓鱼岛的距离为( A.20 海里 C.20 2 海里 ) ) B.10 海里 D.20 3 海里 解析:选 C.设钓鱼岛在 C 处,则在△ABC 中,AB=20,∠BAC=45°,∠ABC=105°,所以∠ACB=30°,由正弦 ABsin∠CAB 20sin 45° 定理得:BC= = =20 2,故选 C. sin∠ACB sin 30° sin 2A 4.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C sin A a 解析:由正弦定理得 = , sin C c b2+c2-a2 由余弦定理得 cos A= , 2bc sin 2A 2sin Acos A sin A 4 因为 a=4, b=5, c=6, 所以 = =2· ·cos A=2× sin C sin C sin C 6 答案:1 52+62-42 × =1. 2×5×6 5.如图,l1,l2,l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 3,正三角形 ABC 的 三个顶点分别在 l1,l2,l3 上,则正三角形的边长是________. 解析:如图,过点 C 作 l1 的垂线,交直线 l1 于点 H,交直线 l2 于点 M. ∠BCH=60°-θ. 在 Rt△ACH 中,CH=4, 故 AC= CH 4 = ; cos∠ACH cos θ 设 ∠ACH = θ , 则 在 Rt△BCM 中,CM=3, CM 3 故 BC= = . cos∠BCM cos(60°-θ) 4 3 所以 = , cos θ cos(60°-θ) 1 解得 sin θ = cos θ . 2 3 又 sin2θ +cos2θ =1,代入求得 cos θ = 故 AC= 4 2 39 = . 3 12 13 12 , 13 2 39 答案: 3 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=2,C=60°. (1)求 a+b 的值; sin A+sin B (2)若 a+b=ab,求△ABC 的面积 S△ABC. a b c 2 2 4 3 4 3 4 3 解:(1)由正弦定理可设 = = = = = ,所以 a= sin A,b= sin B, sin A sin B sin C sin 60° 3 3 3 3 2 4 3 (sin A+sin B) 3 4 3 所以 = = . 3 sin A+sin B sin A+sin B a+b (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,又 a+b=ab,所以(ab)2-3ab-4=0, 1 1 3 解得 ab=4 或 ab=-1(舍去),所以 S△ABC= absin C= ×4× = 3. 2 2 2 赠送初中数学几何模型 【模型二】半角型:图形特征: A 45° 2 1 D F A 1 D F 3 4 B E C B E C 正方形 ABCD 中,∠EAF=45° 推导说明: ∠1= 1 ∠BAD 2 1.1 在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上,且∠FAE=45°,求证:EF=BE+DF E' D F C D b F x-b C x-a a+b E 45° A B E 4 5° A x a B 1.2 在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上,且 EF=BE+DF,求证:∠FAE=45° E' D F C D b F x-b C x-a a+b E E 4 5° a x B A B A 挖掘图形特征: D b F x-b a+b C E' D b F x-b C x-a x-a a+b E 45° A x a B A 4 5° x E a B 运用举例: 1. 正方形 ABCD 的边长为 3, E、 F 分别是 AB、 BC 边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°, 得到△DCM. (1)求证:EF=FM (2)当 AE=1 时,求 EF 的长. A D E B F C M 2.如图,△ABC 是边长为3的等边三角形,△BDC 是等腰三角形,且∠BDC=120°.以 D 为顶点作一个60°角,使其两 边分别交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,连接 MN,求△AMN 的周长. A M N B C D 3.如

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