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2012-2013学年广州市第二中学高二(理科)下期末数学试卷1

时间:2013-08-01

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广州市第二中学 2012 学年下学期期末试卷 高二数学(理科)
命题人:成元兵 审题人:田立新 黄晓英 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1. 若集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域,N 是函数 y ? 1 ? x 的定义域,则 M ? N 等于( )

A.

?0,1?

B.

?0,???

C.

?

D.

?1,???


2. 在复平面内,复数

1 ? i 3 对应的点位于( 1? i

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限


3. 一简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位:cm)则该组合体的体积为(

A. C.

72000 cm3 56000 cm
3

B. D.

64000 cm3 44000 cm
3

50 10 主视图 40 侧视图

20

20 俯视图

20

开始 S=1,k=1

1 4. 已知等比数列 ?a n ?中,各项都是正数,且 a1 , a3 ,2a2 成等差数列, 2


a8 ? a9 等于( a6 ? a 7



k=k+1

A. 1 ? 2

B. 1 ? 2

C.

3? 2 2

D.
)

3? 2 2


S=2S+k K>4 是 输出 S 结束

5. 某程序框图如图 1 所示,则输出的结果 S= (

A.

26

B.

57

C. 120

D.

247

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图1

1

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? ? ? ? ? ? 0 6. 平面向量 a与b的夹角为60 , a ? ( 2,0), b ? 1, a ? b ? (



A.

3

B.

7

C.

3

D.

7

7. 已知 ? ? ?( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0?, A ? ?( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0?, 若向区域 ? 内随机投一点 P,则 点 P 落在区域 A 内的概率为 ( )

A.

1 3
xx 16

B.
? yy 9

2 3

C.

1 9

D.

2 9

8. 方 程

? ?1 的 曲 线 即 为 函 数 y ? f (x) , 有 如 下 结 论 : ① f (x) 在 R 上 单 调 递 减 ;② 函 数

F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f (x) 的值域是 R;④ f (x) 的图像不经过第一象限,其中正确的个数是
( )

A. 1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. 2 ?

?

x 展开式中含 x 4 项的系数为

?

8

.

10. 2 个好朋友一起去一家公司应聘, 公司人事主管通知他们面试时间时说: “我们公司要从面试的人中招 3 个人, 你们都被招进来的概率是

1 ” ,若每个人都被招进来的概率是均等的,根据他的话可推断去面试的人有 70
. .

个(用数字作答). 11. 若圆 x ? y ? mx ?
2 2

1 ? 0 与直线 y ? ?1 相切,其圆心在 y 的左侧,则 m= 4
7 , BC ? 2, ?B ? 60 0 ,则 ?ABC 的面积等于

12. 在 ?ABC 中, AC ?

13. 函数 f (x) 的定义域为 D,若对任意的 x1、x 2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则称函数 f (x) 在 D 上 为 “ 非 减 函 数 ” . 设 函 数 g (x) 在 ?0,1? 上 为 “ 非 减 函 数 ”, 且 满 足 以 下 三 个 条 件 :( 1 )

x 1 g (0) ? 0; (2) g ( ) ? g ( x); (3) g (1 ? x) ? 1 ? g ( x), 则g (1) ? 3 2
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1 : ? 则 AB ?

, g(

5 )? 12

.

? x ? 1 ? 3t (t 为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B,又点 A(1,2), ? y ? 2 ? 4t

.

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2

中国领先的个性化教育品牌 15. (几何证明选讲选做题) 如图, 切 ? O 于点 A, PA 割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60 0 到 OD,则 PD 的长为 . D A

C O B

P

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 (sin x ? con x) ? 2 sin x cos x.
2 2

(1)求 f (x) 的最小正周期; (2)设 x ? ??

? ? ?? , ? ,求 f (x) 的值域和单调递增区间. ? 3 3?

17. (本小题满分 12 分) 近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾 病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机地对入院 50 人进行了问卷调查,得到如下的列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 10 50 不患心肺疾病 5 合计

3 , 5

(1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由; (3)已知在患心肺疾病的 10 女性中,有 3 位又患有胃病,现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 名进行其

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3

中国领先的个性化教育品牌 它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为 ? ,求 ? 的分布、数学期望以及方差。 下面的临界值表供参考: P ?K 2 ? k ? 0.15 K (参考公式: K ?
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

2.072

n(ad ? bc) 2 , 其中n ? a ? b ? c ? d) (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

18. (本小题满分 14 分)已知 PA ? 平面ABCD, PA ? AB ? AD ? 2, AB 与 BD 交与点 E.BD=2,BC=CD. (1) 取 PD 的中点 F,求证 PB//平面 AFC (2) 求二面角 A-PB-E 的余弦值。 P F

D A

E C B

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4

中国领先的个性化教育品牌 19. (本小题满分 14 分) 已知 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? 1, nan ?1 ? 2S n (n ? N *) . (1) 求a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项 a n ; (3)设数列 ?bn ?满足b1 ?

1 1 2 , bn ?1 ? bn ? bn ,求证:当 n ? k时有bn ? 1. 2 ak

20. (本小题满分 14 分) 如图,设点 F1 (?c,0)、F2 (c,0) 分别是椭圆 C:

y

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的左右 2 a
x

焦点,P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 的最小值为 0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? n, 若 l1、l2 均与椭圆 C 相切,证明:m+n=0;

?

?

F1

O

F2

(3)在(2)的条件下,试探究在 x 轴上是否存在定点 B,点 B 到 l1、l2 的距离之积恒 1?若存在,请求出点 B 坐 标;若不存在,请说明理由.

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中国领先的个性化教育品牌 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x(1 ? x) , x ? ?? ?,0? .
2

(1)求 f (x) 的极值点; (2)对任意 a ? 0 ,以 F (a) 记 f ( x)在?a,0? 上的最小值,求 k ?

F (a) 的最小值. a

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