nbhkdz.com冰点文库

高三数学复习:立体几何的平行与垂直证明(学生)

时间:2018-07-02


高三数学复习 ——立体几何中的平行与垂直的证明
一、平面的基本性质 公理 1:

公理 2: 推论 1:

推论 2:

推论 3:

公理 3: 二、空间中直线与直线的位置关系 平行: 相交: 异面: 三、平行问题 1. 直线与平面平行的判定与性质 定义 判定定理 性质 性质定理

1

图形

条件

a∥ α

结论

a∥ α

b∥α

a∩α=

a∥ b

2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 图形 定理

条件

α∥β,a?β

结论

α∥β

α∥β

a∥ b

a∥ α

平行问题的转化关系: 四、垂直问题 (一) 、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线 l 与平面α内的 面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 判定定理 垂直,则该直线与此平 面垂直 图形语言 符号语言 都垂直,就说直线 l 与平

2

如果在两条平行直线 中,有一条垂直于平 推论 面,那么另一条直线也 垂直这个平面 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两 性质定理 条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. (二) 、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面 判定定理 的垂线,则这两个平面 垂直 图形语言 符号语言 图形语言 符号语言

2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言

3

两个平面垂直,则一个 性质定理 平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面

类型一、平行与垂直 例 1、如图,已知三棱锥 A ? BPC 中, AP ? PC , AC ? BC , M 为 AB 中点, D 为 PB 中 点,且△ PMB 为正三角形。 (Ⅰ)求证: DM ∥平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (Ⅲ)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。
P D B A

M

C

ABC , AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 , 例 2. 如图,已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? 底面
C1
4

A1

M

B1

AB ? 2 2 , M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.
(Ⅰ)求证: CN ? 平面 ABB1 A 1; (Ⅱ)求证: CN // 平面 AMB1 ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积.

【变式 1】. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中,侧棱 AA1
?

? 平面 ABC , ?ABC 为等腰
C1 A1 E D B1

直角三角形, ?BAC ? 90 ,且 AB ? AA1 , D, E , F 分别是 B1 A, CC 1 , BC 的中点。 (1)求证: DE / / 平面 ABC ; (2)求证: B1 F ? 平面 AEF ; (3)设 AB ? a ,求三棱锥 D ? AEF 的体积。

F C A

B

5

二、线面平行与垂直的性质 例3、 如图4, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC ,△PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 . (1)求证: BD ? 平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积.

例 4、如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2, E 为 PC 的中点, CG ?

1 CB. 3

6

(I)求证: PC ? BC ; (II)求三棱锥 C—DEG 的体积; (III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA // 平面 MEG。若存在,求 AM 的长;否则,说 明理由。

7

【变式 2】直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB= 2AD=2CD=2. (Ⅰ)求证:AC ? 平面 BB1C1C; (Ⅱ) A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

三、三视图与折叠问题 例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。 4 若 F 为 PD 的中点,求证: AF ? 面 PCD ; (1) 证明: BD ∥面 PEC ; (2) 求三棱锥 E ? PBC 的体积。 正视图

2 4 2 4 侧视图

4 4 俯视图

8

P

E A

B C

D

AB ? 3, DC ? 1, ?BAD ? 45?, DE ? AB 例 6.已知四边形 ABCD 是等腰梯形, (如图 1) 。
现将 ? ADE 沿 DE 折起,使得 AE ? EB (如图 2) ,连结 AC , AB 。 (I)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; ( II ) 试 在 棱 AB 上 确 定 一 点 M , 使 截 面 EMC 把 几 何 体 分 成 两 部 分 的 体 积 比

VADCME : VMECB ? 2 : 1 ;
(III)在点 M 满足(II)的情况下,判断直线 AD 是否平行于平面 EMC ,并说明理由。

A A D
图1

E

B

M E D
9

B

C

C
图2

【变式 3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点.科网 (I)求证:PB//平面 AEC; (II)求四棱锥 C ? PAB 的体积; (Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点,且

PF ? ? ,则 ? 为何值时, FA

PA ? 平面 BDF.

10

P

E

D C A

B

【变式 4】如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC, BC 的中点。现将 ?ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD(如图 2) (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C-DEF 的体积。
A E C

A E D B F 图( 2) C

D F B 图( 1)

11

四、立体几何中的最值问题 例 7.图 4,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A,B 的任 意一点,A1A= AB=2. (1)求证: BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.

A1

A C 图4

B

12

例 8. 如图,在 ?ABC中,?B=

?
2

,AB ? BC ? 2, P为 AB边上一动点,PD//BC 交 AC

于 点 D,现将 ?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA' ? 平面PBCD. (1)当棱锥 A' ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 AC的中点,求证:A B ? DE.
' '

13

【变式 5】 如图 3, 已知在 ? 中, , 平面 ABC, A B C ? C ?? 9 0 P A ? A E ? P B

A E F ? ? 于 E, A 于 F, A ,? ,当 ? 变化时,求三棱 FP ? C P ? A B ? 2
锥 PA 体积的最大值。 ?E F

14

课后练习: 1、 (广东卷 8)设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ? )

2、 (湖南卷 7)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一 个面积为 2 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( A. ) D. 2

3 2

B.1

C

2 ?1 2

3、 (辽宁卷 10)已知三棱柱

ABC ? A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若 . AB ? 3,AC ? 4,
AB ? AC , AA1 ? 12,则球O的半径为
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10 )

4、 (浙江卷 4)设 m、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面, ( A、若 m∥α,n∥α,则 m∥n C、若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B、若 m∥α,m∥β,则α∥β D、若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β

(重庆卷 8)某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的 5、 表面积为( (A) 180 (B) 200 )

15

(C) 220 (D) 240

6、 (安徽 18)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 . 已知 PB ? PD ? 2, PA ? 6 . (Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

16

7、 (北京 17)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平 面 PAD ? 底面 ABCD ,PA ? AD ,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 求证: (1) PA ? 底面 ABCD (2) BE / / 平面 PAD (3)平面 BEF ? 平面 PCD

8、 (广东卷 18)如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的 点,

AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,
得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ;
D G E

2 . 2

A

(2) 证明: CF ? 平面 ABF ;
B F 图 4 C

17

(3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

A

G

E

D F C

B

图 5

9、 (湖南卷 17)如图,在直菱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=AC= 是 BC 的中点,点 E 在菱 BB1 上运动。 (I) (II) 证明:AD⊥C1E; 当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时, 求三菱锥 C1-A2B1E 的体积

,AA1=3,D

18

AB ? BC , AS ? AB . 10、 (江苏卷 16) 如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 平面 SAB ? 平面 SBC ,
过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是侧棱 SA , SC 的中点. 求证:(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

19



11、 (江西卷 19)如图,直四棱柱 ABCD – A1B1C1D1 中,AB//CD, AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2) 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离

20

21


高三数学复习:立体几何的平行与垂直证明(学生).doc

高三数学复习:立体几何的平行与垂直证明(学生) - 高三数学复习 立体几何中

高三数学复习:立体几何的平行与垂直证明(教师).doc

高三数学复习:立体几何的平行与垂直证明(教师) - 高三数学复习 立体几何中

...轮复习 立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直提....doc

2014届高三数学一轮复习 立体几何中的向量方法(Ⅰ)证明平行与垂直提分训练题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何中的向量方法(Ⅰ)---证明平行与垂直一、...

立体几何平行与垂直经典证明题.doc

立体几何平行与垂直经典证明题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边...

高中数学立体几何平行与垂直练习题.doc

高中数学立体几何平行与垂直练习题 - 立体几何-平行与垂直练习题 1. 空间四边形 SABC 中,SO ? 平面 ABC,O 为 ? ABC 的垂心, 求证: (1)AB ? 平面 SOC(...

...7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直_图文....ppt

2018届高三高考数学复习课件:8-7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直 - §8.7 立体几何中的向量方法(一)证明平行 与垂直 非零 1.直线的方向...

...复习《立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明》....doc

2014届高三数学一轮复习立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明》理_数学_高中教育_教育专区。[第 43 讲 立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证 ...

...复习《立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明》....doc

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明》理 新人教B版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。[第 43 讲 立体几何中的向量...

...7.7立体几何中的向量方法一证明平行与垂直开卷....doc

2017届高三数学一轮总复习第七章立体几何7.7立体几何中的向量方法一证明平行与垂直开卷速查_数学_高中教育_教育专区。2017 开卷速查(四十六) 立体几何中的...

...复习《立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明》....doc

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明》理 新人教B版_数学_高中教育_教育专区。[第 43 讲 立体几何中的向量方法(一)...

高三数学复习:立体几何.doc

高三数学复习:立体几何_高三数学_数学_高中教育_教育专区。教学内容:立体几何立体几何的解答题主要就是证明和计算两种, 其中证明一般涉及 空间中的平行与垂直问题,...

...立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直_图文.ppt

北师大版高三数学一轮复习课件:第7讲 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直 - 目录页 Contents Page 第7讲 立体几何中的向量 方法(一) 证明平行...

...立体几何中的向量方法 证明平行与垂直_图文.ppt

2013届高考数学一轮复习讲义:8.6 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 - 一轮复习讲义 立体几何中的向量方法(Ⅰ) 证明平行与垂直 主页 要点梳理 忆一忆知识...

...:7.7立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直(人....doc

2015年高三数学(理)一轮复习讲义:7.7立体几何中的向量方法(一)--证明平行与垂直(人教A版)_数学_高中教育_教育专区。第7讲 [最新考纲] 立体几何中的向量方法...

高三数学专题复习-立体几何(2)位置关系-平行与垂直.doc

立体几何专题二 第 1 页 高三数学专题复习-立体几何 (2)位置关系-平行与垂直 立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有:①利用 定义采用反证法;②判定定理...

专题练习立体几何中平行与垂直.doc

专题练习立体几何平行与垂直_数学_高中教育_教育专区。立体几何平行与垂直的证明及探索性问题,适合文科生。 立体几何平行与垂直的证明专题练习【学习目标】1....

2016年高考人教A版数学理一轮复习课件:立体几何 第6讲 ....ppt

2016年高考人教A版数学理一轮复习课件:立体几何 第6讲 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直 - 第 6 讲 立体几何中的向量方法(一) 证明平行与...

...7.7立体几何中的向量方法一证明平行与垂直模拟....doc

高三数学一轮总复习第七章立体几何7.7立体几何中的向量方法一证明平行与垂直模拟试题_数学_高中教育_教育专区。高三数学一轮总复习第七章立体几何7.7立体几何...

新课标高中数学立体几何平行与垂直练习题.doc

新课标高中数学立体几何平行与垂直练习题 - 立体几何-平行与垂直练习题 1. 空间四边形 SABC 中,SO ? 平面 ABC,O 为 ? ABC 的垂心,求证: (1)AB ? ...

立体几何中平行与垂直的证明.doc

立体几何平行与垂直的证明_数学_高中教育_教育专区。立体几何平行与垂直的证明姓名 【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系; 2.掌握正确的...