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14数学全国教师19(文)

时间:2014-10-03


全国 100 所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十九)
第十九单元
临界值表:
p(K2≥k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024


统计、统计案例
150 分)
0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

(120 分钟

参考公式:K

2

(-)2 =(+)(+)(+)(+)(其中



n=a+b+c+d), b =

=1

∑ -n
=1

∑ 2 -n

2

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.一个纸盒中装有 70 个乒乓球,编号依次为 1,2,3,…,70,现用系统抽样的方法抽取一个容 量为 5 的样本,已知抽取球的编号为 6,20,48,62,那么还有一个球的编号应为 A.16
答案:C

B.28

C.34

D.36

解析:根据已抽取球的编号知系统抽样间隔为 14,故还有一个球的编号为 34.

2.为了研究重量 x(单位:克)对弹簧长度 y(单位:厘米)的影响,李华对不同重量的 6 根弹簧 进行了四次相关性试验,并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m,如下表:
第一次 r m 0.92 117 第二次 0.88 122 第三次 0.79 134 第四次 0.95 114

则体现了重量与弹簧长度有更强的线性相关性的试验是 A.第一次 B.第二次
答案:D

C.第三次

D.第四次

解析:相关系数越大、残差平方和越小,两变量的相关性越强.

3.容量为 100 的样本数据,按从小到大的顺序分为 8 组,如下表:
组号 频数 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9 10 13 14 17 13 12

若要在第 3 组和第 7 组中用分层抽样的方法,抽取 8 个数据,则第 3 组中应抽取 A.3
答案:B

B.4

C.5

D.6

解析:x=100-(10+13+14+17+13+12+9)=12,又第 7 组数据为 12 个,所以第 3 组中应抽取 4 个.

4.某产品广告费支出 x(单位:万元)与销售额 y(单位:万元)之间满足的回归直线方程为


y =6.5x+15.6,则以下说法正确的是

A.广告费支出每减少 1 万元,销售额下降 15.6 万元 B.广告费支出每增加 1 万元,销售额增加 6.5 万元 C.广告费支出每增加 1 万元,销售额下降 15.6 万元 D.广告费支出每减少 1 万元,销售额增加 6.5 万元
解析:回归直线的斜率为 6.5,所以 x 每增加 1,y 增加 6.5,即广告费支出每增加 1 万元,销售额增加 6.5 万元. 答案:B

5.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前 3 个小组的 频率之比为 1∶ 2∶ 3,第 2 小组的频数为 10,则抽取的学生人数为 A.20 C.40 B.30 D.50
2 =0.25,设样 1+2+3

解析:前 3 组的频率之和等于 1-(0.0125+0.0375)× 5=0.75,第 2 小组的频率是 0.75× 本容量为 n,则 =0.25,即 n=40. 答案:C
10

6.在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是

A.① ② ④

B.① ③ C.② ③ D.② ④

解析:① 是一条平滑的曲线,具有确定性的关系;③ 的各点几乎没有规则;② ④ 的各点分布在一条直线 (或曲线)附近,具有相关关系,故选 D. 答案:D

7.下列四个命题中,正确的是 A.人的年龄与其拥有的财富之间具有相关关系 B.从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过 1%的情况下,有把握认为吃地沟油与 患胃肠癌有关系时,我们说某一个人吃地沟油,那么他有 99%的可能患胃肠癌

C.从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过 5%的情况下,有把握认为吃地沟油与 患胃肠癌有关系时,是指有少于 5%的可能性使得推断吃地沟油与患胃肠癌有关系出现 错误 D.已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的回归直线方程为 y =2x+ b ,若样本点(r,2)与 (2,s)的残差相同,则有 s=-2r+3
解析:对于 A,人的年龄与其拥有的财富之间不具有相关关系;对于 B,在犯错误的概率不超过 1%的 情况下,有把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系,但并不代表若某一个人吃地沟油,他有 99%的可能患胃 肠癌;C 是正确的;对于 D,由 2-(2r+b)=s-(2× 2+b)?s=-2r+6. 答案:C
^ ^

8.李华统计了他家的用电量,得到了月份 x 与用电量 y 的一个统计数据表,如下:
月份 x 用电量 y(度)
^ ^ ^

2 26

4 47

3 39

5 60

根据上表可得回归方程 y = b x+ a 中的 b 为 11,据此模型预计 6 月份用电量的度数为 A.69.5
解析:因为x=




B.64.5 C.70.5 D.66.8
? 4+2+3+5

4

=3.5,y=

? 47+26+39+60

4

=43, a =43-11× 3.5=4.5,



所以 y =11x+4.5,当 x=6 时, y =11× 6+4.5=70.5,故选 C. 答案:C



9.某汽车组装工厂在 2013 年 3 月份共组装了 108 辆汽车,81 辆客车,81 辆小轿车,在出厂 前进行验收,需要从它们中间抽取一个容量为 10 的样本,考虑选用简单随机抽样、分层 抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时,将车辆按汽车、客车、小轿 车依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将车辆统一随机编号为 1,2,…270,并将整 个编号依次分为 10 段,如果抽得号码有下列四种情况: ① 7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ② 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③ 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④ 30,57,84,111,138,165,192,219,246,270, 关于上述样本的下列结论中,正确的是 A.② 、③ 都不能为系统抽样 B.② 、④ 都不能为分层抽样 C.① 、④ 可能为系统抽样 D.① 、③ 可能为分层抽样

解析:③ 的间隔为 27,可为系统抽样,故 A 错;④ 的第一个数为 30,不符合系统抽样,因为间隔为 27,④ 的 第一个数应该为 1~27,故 C 错;② 若采用分层抽样,汽车、客车、小轿车的辆数比例应为 4∶ 3∶ 3,由于共 抽取 10 辆,所以汽车、客车、小轿车分别抽取 4 辆、3 辆、3 辆,即在 1~108 要有 4 个编号,在 109~189 和 190~270 要各有 3 个编号,② 符合要求,是分层抽样,故 B 错. 答案:D

10.在某中学举行的跳高比赛选拨赛中,甲和乙进行了 5 次比赛,他们的成绩用如图所示的 茎叶图表示,则下列说法正确的是 A.甲的平均成绩比乙的平均成绩高,甲比乙成绩稳定 B.甲的平均成绩比乙的平均成绩低,乙比甲成绩稳定 C.甲的平均成绩与乙的平均成绩一样,但甲比乙成绩稳定 D.甲的平均成绩与乙的平均成绩一样,但乙比甲成绩稳定
解析: = (98+99+105+115+118)=107,
甲 5

1

=5(95+106+108+112+114)=107,


1

2 = [(98-107)2+(99-107)2+(105-107)2+(115-107)2+(118-107)2]=66.8,
甲 5

1

2 = [(95-107)2+(106-107)2+(108-107)2+(112-107)2+(114-107)2]=44.
乙 5

1

答案:D

11.为了了解学生对新课程改革的满意情况,有关教育部门对某中学的 100 名学生随机进 行了调查,得到如下的统计表:
满意 男生 女生 合计
4 5

不满意 15

合计

50 100

已知在全部 100 名学生中随机抽取 1 人对课程改革满意的概率为 . 参照附表,得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过 0.1%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情 况与性别有关 B.在犯错误的概率不超过 0.1%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情 况与性别无关

C.在犯错误的概率不超过 0.5%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情 况与性别有关 D.在犯错误的概率不超过 0.5%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情 况与性别无关
解析:填表如下:
满意 男生 女生 合计 50 30 80 不满意 5 15 20 合计 55 45 100

k=

100(50×15-5×30)2 ≈9.091>7.879, 55×45×80×20

所以在犯错误的概率不超过 0.5%的情况下,有把握说学生对新课程改革工作的满意情况与性别有 关. 答案:C

12.某果林培育基地从其培育的一批幼苗中随机选取了 100 株,测量其高度(单位:厘米),并 将这些数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从高度在[120,130),[130,140),[140,150]三 组内的幼苗中,用分层抽样的方法选取 30 株送给友好单位,则从高度在[140,150]内的幼 苗中选取的株数应为 A.4 B.5 C.6 D.8
解析:因为(0.005+0.010+0.020+0.035+a)× 10=1,所以 a=0.03. 因为高度在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的株数分别为 0.03× 10× 100=30,0.02× 10× 100=20,0.01× 10× 100=10 株, 所以从高度在[140 ,150]内的株数中应选取 答案:B
10 × 30=5 株,故选 B. 30+20+10

第Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上. 13.某工人截取了长度不等的钢筋 100 根,其部分频率分布表如图,已知长度(单位:cm)在 [25,50)上的频率为 0.6,则估计长度在[35,50)内的根数为
分组 频数 [20,25) 10 [25,30) 15 20

.
[30,35)

解析:因为[25,50)上的频率为 0.6,所以频数为 0.6× 100=60,故长度在[35,50)内的根数为 60-15-20=25. 答案:25

14.某公司新研究了一种预防白菜腐烂的药,为了考查这种药物的效果,工作人员对一地里 的白菜进行了实验,得到如下的一组数据:
腐烂 用药 没用药 总计 10 20 30 未腐烂 45 30 75 总计 55 50 105

因此,在犯错误的概率不超过 菜腐烂的效果.
解析:k=

%的情况下,我们有把握认为这种药起到了预防白

105×(10×30-45×20)2 =6.109>5.024. 55×50×75×30

答案:2.5

15.某动物园新添了 2 只幼子梅花鹿,饲养员在半年内对其分别称重 9 次,得到小梅花鹿甲 与乙的重量(单位:千克)的茎叶图,如图,则甲、乙两只小梅花鹿重量的平均数之和 为 .
解析:本题考查了对茎叶图的识图能力以及对平均数的计算能力.由茎叶图可知两组数据分别是 甲:19,20,21,23,24,31,32,33,37,所以平均数为 乙:10,10,14,24,26,30,44,46,46,所以平均数为
80 250 490 + = . 3 9 9 19+20+21+23+24+31+32+33+37 80 = ; 9 3 10+10+14+24+26+30+44+46+46 250 = ,所以两平均数之和为 9 9

答案:

490 9

16.某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业统计员 制作了如下的统计表格:
产品类别 产品数量(件) 样本容量 A B 1300 130 C

由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染得看不清楚了,统计员只记得 A 产品 的样本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 产品的数量是
解析:设样本的总容量为 x,则
× 1300=130,∴ x=300. 3000

.

∴ A 产品和 C 产品在样本中共有 300-130=170(件). 设 C 产品的样本容量为 y,则 y+y+10=170,∴ y=80. ∴ C 产品的数量为 答案:800
3000 × 80=800. 300

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分) 某中学要从高三年级中选出一名同学参加省里举行的化学试验竞赛,经过分组选拨,最后 甲和乙两位同学入围,学校决定进行五次试验比赛确定最终人选,已知甲五次试验的得分 情况分别为 5,8,9,9,9;乙五次试验的得分情况分别为 6,7,8,9,10.你认为选出哪位同学参加 竞赛比较合适些?
解析:因为甲 5 次成绩的平均得分为
2 方差1 =

5+8+9+9+9 =8, 5

(5-8)2 +(8-8)2 +(9-8)2 +(9-8)2 +(9-82 ) =2.4;4 分 5 6+7+8+9+10 =8, 5

乙 5 次成绩的平均得分为
2 方差2 =

(6-8)2 +(7-8)2 +(8-8)2 +(9-8)2 +(10-8)2 =2.8 分 5

2 2 所以1 >2 ,所以乙的成绩比较稳定些,故让乙同学去参加竞赛比较合适些.10 分

18.(本小题满分 12 分) 某学校共有高一、高二、高三学生 2000 名,各年级男、女生人数如下图:

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名?

(3)已知 y≥245,z≥245,求高三年级中女生比男生多的概率.
解析:(1)由已知有
=0.19,∴ x=380.2 分 2000

(2)由(1)知高二男女生一起 750 人,又高一学生 750 人,所以高三男女生一起 500 人,按分层抽样,高 三年级应抽取
48 × 500=12 人.6 分 2000

(3)因为 y+z=500,y≥245,z≥245,所以基本事件有: y=245,z=255;y=246,z=254;y=247,z=253;y=248,z=252;y=249,z=251;y=250,z=250;y=251,z=249;y=252, z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245,一共 11 个基本事件. 其中女生比男生多,即 y>z 的基本事件有: y=251,z=249;y=252,z=248;y=253,z=247;y=254,z=246;y=255,z=245, 共有 5 个基本事件, 故女生比男生多的事件概率为 .12 分
5 11

19.(本小题满分 12 分) 随着经济社会的发展,消费者对食品安全的关注度越来越高,通过随机询问某地区 110 名 居民在购买食品时是否看生产日期与保质期等内容,得到如下的列联表:
60 岁以下 看生产日期与保质期 不看生产日期与保质期 总计 50 10 60 60 岁以上 30 20 50 总计 80 30 110

(1)从这 50 名 60 岁以上居民中按是否看生产日期与保质期采取分层抽样,抽取一个容量 为 5 的样本,问样本中看与不看生产日期与保质期的 60 岁以上居民各有多少名? (2)根据以上列联表,在犯错误的概率不超过 1%的情况下,是否有把握认为“该地区居民的 年龄与在购买食品时是否看生产日期与保质期”有关?
解析:(1)根据分层抽样可得:样本中看生产日期与保质期的 60 岁以上居民有 × 30=3 名,样本中不 看生产日期与保质期的 60 岁以上居民有 × 20=2 名.6 分 (2)根据题中的列联表得 k= 又 P(K2≥6.635)=0.010, 所以在犯错误的概率不超过 1%的情况下,有把握认为“该地区居民的年龄与在购买食品时是否看 生产日期与保质期”有关.12 分
110×(50×20-30×10)2 539 = ≈7.486,9 分 80×30×60×50 72 5 50 5 50

20.(本小题满分 12 分)

某养猪厂计划将重量为 25 kg 到 50 kg 的 10000 头猪向外出售,现从中随机抽取了 100 头 猪进行称重,已知这些猪的重量的频率分布表及不完整的频率分布直方图(如图).

分组(单位:cm) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]

频数 5 ① 35 30 10

频率 0.05 0.20 ② 0.30 0.10

(1)频率分布表中的① 、② 位置应填什么数据?并补全频率分布直方图,再根据频率分布直 方图估计这 10000 头猪中重量在[35,45)的头数; (2)在抽出的 100 头猪中按重量再采用分层抽样法从中抽取 20 头,求重量低于 35 kg 的猪 的头数.
解析:(1)由各个频数之和为 100,可知① 处的数字为 100-5-35-30-10=20. 由各个频率之和等于 1,可知② 处的数字为 1.00-0.050-0.200-0.300-0.100=0.35.2 分 补全频率分布直方图,如图所示:

故 10000 头猪中重量在[35,45)的频率为 0.30+0.35=0.65,头数为 0.65× 10000=6500(头).7 分 (2)由(1)可知各重量段头数的比例为 5∶ 20∶ 35∶ 30∶ 10=1∶ 4∶ 7∶ 6∶ 2,所以重量在 35 kg 下的头数 为 20×
1+4 =5(头).12 分 1+4+7+6+2

21.(本小题满分 12 分)

下表是某地一家超市在 2014 年一月份某周的时间 x 与每天获得的利润 y(单位:万元)的 有关数据.
时间 x 利润 y 星期二 2 星期三 3 星期四 5 星期五 6 星期六 9

(1)画出数据对应的散点图; (2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程 y = b x+ a ; (3)估计星期日获得的利润为多少万元.
解析:(1)由 x、y 的数据可得对应的散点图为
^ ^ ^

从上图可知,这些点大致分布在一条直线附近, 故时间 x 与获得的利润 y(万元)线性相关关系显著. 5 分
? 2+3+4+5+6 ? 2+3+5+6+9 ? ? 2×2+3×3+4×5+5×6+6×9-5×4×5 =5, b = =1.7,所以 a =y- b x=-1.8, 4+9+16+25+36-5×16 ^ ^ ^

(2)x=


5

=4,y=

5

所以 y =1.7x-1.8.10 分 (3)当 x=7 时, y =1.7× 7-1.8=10.1(万元), 所以星期日估计获得的利润为 10.1 万元.12 分


22.(本小题满分 12 分) 为对考生的月考成绩进行分析,某地区随机抽查了 10000 名考生的成绩,根据所得数据画 了如下的样本频率分布直方图.

(1)求成绩在[600,650)的频率; (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (3)为了分析成绩与班级、学校等方面的关系,必须按成绩再从这 10000 人中用分层抽样 方法抽出 20 人作进一步分析,则成绩在[550,600)的这段应抽多少人?
解析:(1)成绩在[600,650)的频率为 0.003× (650-600)=0.15.2 分 (2)因为 0.002× (450-400)=0.1,0.004× (500-450)=0.2, 0.005× (550-500)=0.25,0.1+0.2+0.25=0.55>0.5, 所以,样本数据的中位数为 500+
0.5-(0.1+0.2) =500+40=540(分).7 分 0.005

(3)成绩在[550,600)的频率为 0.005× (600-550)=0.25, 所以 10000 名考生中成绩在[550,600)的人数为 0.25× 10000=2500(人), 再从 10000 人用分层抽样方法抽出 20 人,则成绩在[550,600)的这段应抽取 20×
2500 =5 人.12 分 10000


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