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1高一竞赛辅导平面几何三角形的五心学生版

时间:2015-10-18

芜湖一中 2013 级高一数学竞赛辅导平面几何(1)
(三角形的五心)
: 知识梳理 三角形的“五心”指的是三角形的外心,内心,重心,垂心和旁心. 1、三角形的外心 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心). 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 都等于三角形的外接圆半径. 锐角三角形的外心在三角形内; 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外. 2、三角形的内心 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心). 三 角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径. 内切圆半径 r 的计算: 1 S 设三角形面积为 S,并记 p= (a+b+c),则 r= . 2 p 1 特别的,在直角三角形中,有 r= (a+b-c). 2 3、三角形的重心 B 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心. 上面的证明中,我们也得到了以下结论:三角形的重心到边的中点与到相应顶 点的距离之比为 1∶ 2. 4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心. 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第 四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂心组”. 5、三角形的旁心 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切 圆圆心). 每个三角形都有三个旁切圆. 例 1 证明重心定理。
F G D
A

A

O B C

A M I B D H
A E

F

E K C

C

B F

D

C

E Ia

C'

A F E

B'

例 2 证明垂心定理
B

D

C

A'

1

例 3 过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M;引 PN∥BA 交 AC 于 N. 作点 P 关于 MN 的对称点 P'.试证:P'点在△ABC 外接圆上.

P'

A N

B

M
P

C

例 4 AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点. 证明:在△PAD,△PBE,△PCF 中,其中一个面 积等于另外两个面积的和.

A A' F ' F G B D E
E' D'
C'

C
P

例 5 设 A1A2A3A4 为⊙O 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3 的 垂心.求证:H1,H2,H3,H4 四点共圆,并确定出该圆的圆心位置. A1 A2
H1

O

. H2
A4

A3

例 6 H 为△ABC 的垂心,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中心.一个以 H 为圆心的⊙H 交直线 EF,FD, DE 于 A1,A2,B1,B2,C1,C2. B2 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. A
A1 B F
H2 M

C1 A2

E

H D C2 H1 C

B1

例 7 已知⊙O 内接△ABC,⊙Q 切 AB,AC 于 E,F 且与⊙O 内切.试证:EF 中点 P 是△ABC 之内心.

2

例 8 在直角三角形中,求证:r+ra+rb+rc=2p.式中 r,ra,rb,rc 分别表示内切圆半径及与 a,b,c 相切的旁 切圆半径,p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
rc
O3 O r E B O1 K A O2

rb

ra C

例 9 M 是△ABC 边 AB 上的任意一点.r1,r2,r 分别是△AMC,△BMC,△ABC 内切圆的半径,q1,q2,q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明

r1 r r · 2 = .(IMO-12) q1 q 2 q

[来源: 学,科,网 Z,X,X,K]

C' O A'
..

E O'

D

. B '

例 10 锐角△ABC 中,O,G,H 分别是外心、重心、垂 心.设外心到三边距离和为 d 外,重心到三边距离和 为 d 重,垂心到三边距离和为 d 垂. A 求证:1·d 垂+2·d 外=3·d 重.
H3 G3 O3 O I B G H1 O2 G2 H2 C

O1 G 1

练习
1. 设 G 为△ABC 的重心, M、 N 分别为 AB、 CA 的中点, 求证: 四边形 GMAN 和△GBC 的面积相等.
B A M N G C

A

2.三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍.

D

K O

H

N

B

M

C

3

3.在△ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取点 P,Q,S. 证明以△APS,△BQP,△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.

4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.

5.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA.试证:( 1)AD,BE,CF 三条对角线交于一 点;(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. A
F B Q S C I P E

D

6.△ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点,E 是△ACD 的重心. 证明 OE 丄 CD.
D

A E G O B K C

F

7.△ABC 中∠C=30°,O 是外心,I 是内心,边 AC 上的 D 点与 边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证:OI 丄 DE,OI=DE.
A I B F

D
30 °

C

O E

K

4


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