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平面向量基本定理公开课学案

时间:2015-04-17


《平面向量基本定理》导学案 一、【目标导航、准确把握】:
1.理解平面向量的基底的意义与作用,利用平面向量的几何表示,正确地将平面上的向量用基底表 示出来。 2.通过不同向量用同一基底表示的探究过程,得出并证明平面向量基本定理。 3.通过平面向量基本定理,认识平面向量的“二维”性,培养“维数”的基本观念。

二、【充分准备、发现问题】:
1、 2、
3、

平面向量的加法和减法法则: 平面向量的共线定理:

思考已知 e1和e2不共线,若 ?1 e1 ? ?2 e2 ? 0, 则?1和?2等于多少? 学具准备:铅笔 直尺

三、【合作探究、解决问题】:

合作探究一:请作出向量 3e1 ? 2e2

e2 e1

合作探究二: 在下面的图中,向量 OA, OB 不共线,能否在直线 OA、OB 上分别找一点 M、N 使 OM ? ON ? OC ?

A B O 图1

C

合作探究三:在上图中,设 OA ? e , OB ? e , OC ? a ,则向量OM, ON 分别与 e1, e2 的位置关系如 1 2 何?他们的数量关系又如何?从而向量 a 与 e1, e2 的关系如何?

合作探究四:请用下面两图中的 e1, e2 表示出 e3 , 并思考:对于同一平面内的任意一个向量,都 可以用另外的两个来表示吗?

e3 e2 e1 e2 e1

e3

合作探究五:根据上述分析,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量表示出来, 请问这种表示方式唯一吗?请说明理由.

合作探究六:根据上述分析,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量表示出来, 从而可形成一个定理。你能完整地描述这个定理的内容吗?需要注意的问题是?

合作探究七:请用下列三组基底分别表示出向量 a ,并思考:同一平面内可以作基底的向量有 多少组?同一向量在不同基底下的表示式是否相同?

a

a

a

e2 e1 e1

e2

e2 e1

四、【典例剖析、深化问题】:
例题:平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 M, AB ? a, AD ? b, 试用基底{ a , b} 表示 AM , MB, MC, MD.
D M A B C

变式 1:若在上图中取 AM 的中点为 N,试用基底{ a , b }表示 AN.
D

N
M

C

A 变式 2:延长 MB 至 K 点,使 BK=BM, 试用基底{ a , b }表示 AK. D
M

B C

A 变式 3:延长 BD 至 P 点使 BP=t BD ,试用基底{ a , b }表示 AP. P D
M

B
K

C

A
五、【问题拓展,发散思维】

B

思考:基地确定的情况下,每一个向量的分解式是唯一的,也就是说向量与其分解式是一一对应 的,结合以前所学内容,又对你有什么启发呢?

六、【当堂检测、巩固知识】
1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多 对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量 , 其中正确的说法是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

2. 若e1 , e2 是表示平面内所有向量 的一组基底,则下面的 四组向量中不能作为基 底的是

A e1 ? e2和e1 ? e2 C e1 ? 3e2和3e1 ? e2

B 3 e1 ? 2e2和6e1 ? 4e2 D e2和e1 ? e2

3. 已知向量 a = e1 -2 e2 , b = 2 e1 + e2 ,其中 e1 、 e2 不共线,则 a + b 与 c = 6 e1 -2 e2 的关系 ( ) A.不共线 A.3

B.共线 B.-3

C.相等 C.0

D.无法确定 D.2

4.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( )

5.设 e1 与 e2 是两个不共线向量, a =3 e1 +4 e2 , b =-2 e1 +5 e2 ,若实数 λ、μ 满足 λ a +μ b =5 e1 - e2 ,求 λ、μ 的值.

6.【能力提升题】已知 G 为△ABC 的重心,设 AB = a , AC = b ,试用 a 、 b 表示向量 AG .

七、【归纳小结、深化认知】 通过本节课的学习,你学到了什么?体验到了什么?掌握了什么?你自己体会最深刻的是什么?

八、【作业布置、提升能力】

巩固作业:课本第 99 页练习 B 1,2 创新作业:用向量法证明:三角形中位线定理。
八、课后反思:


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