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广州市2012年二模文科数学试题

时间:2012-06-15


试卷类型:A

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(文科)
2012 .4

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟 . 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上 .用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位 置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 .答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液 .不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答. 漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁 .考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 满足 A ? {1, 2} ,则集合 A 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 = a + i , z2 = 2 ? i ,且 z1 = z2 ,则实数 a 的值为 A. 2 3.已知双曲线 x 2 ? A. 4 B. ?2 C. 2 或 ? 2 D. ± 2 或 0

y2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 m
B.

1 4

C. ?

1 4

D. ? 4

4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 1,其中甲班学生的 平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x + y 的值为 A. 7 C. 9 B. 8 D. 10 8 5 9 0 2 7 8 9 6 1 1 1 y 1 6

x
6

1

1

5.已知向量 OA = ( 3, ? 4 ) , OB = ( 6, ? 3) , , OC = ( m, m + 1) ,若 AB / /OC ,则实数 m 的 值为 A. ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

3 2

B. ?

1 4

C.

1 2

D.

3 2

6.已知函数 f ( x ) = e x ? e ? x + 1 (e 是自然对数的底数),若 f ( a ) = 2 ,则 f ( ? a ) 的 值为 A. ?1 ? e B. ? e C.e D. 1 + e

7. 已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 α 、 β ,在下列条件中,可得出 α ⊥ β 的是 A. m ⊥ l , l // α , l // β C. m // l , l ⊥ β , m ? α 8.下列说法正确的是 A.函数 f ( x ) = B. m ⊥ l , α ∩ β = l , m ? α D. m // l , m ⊥ α , l ⊥ β

1 在其定义域上是减函数 x

开始

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ∈ R, x 2 + x + 1 > 0 ”的否定是“ ?x ∈ R, x 2 + x + 1 < 0 ” k = 1, S = 0 D.给定命题 p 、 q ,若 p ∧ q 是真命题,则 ?p 是假命题 否 9.阅读图 2 的程序框图, 该程序运行后输出的 k 的值为 A. 9 C. 11
2 2

S < 50
是 输出 k

B. 10 D. 12

10. 已知实数 a, b 满足 a + b ? 4a + 3 = 0 , 函数 f ( x ) = a sin x + b cos x + 1 的最大值记为 ? ( a , b ) , 则 ? ( a , b ) 的最小值为 A. 1 C. 3 + 1 B. 2 D. 3

S = S +k
结束

k = k +1

图2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.不等式 x 2 + 2 x ? 3 < 0 的解集是 .

1 2

12.如图 3, A, B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过 的最大信息量分别为 1, 2, 3, 4 .从中任取两条网线,则这两条 网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 .

A

3 4 3

B

2

13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点, OP = 点 M ( ?1, 0 ) ,则 cos ∠OPM 的取值范围是

, 2 (点 O 为坐标原点) .

(二)选做题( 14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC ( 顶点 A , B, C 按顺时

针方向排列 ) 的顶点 A, B 的极坐标分别为 ? 2, 为 .

? ?

π ? ? 7π ? , ? 2, 6? ? 6

? ? ,则顶点 C 的极坐标 ?

15. (几何证明选讲选做题)如图 4, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C , 使 BC = 2OB , CD 是圆 O 的切线,切点为 D ,连接 AD , BD , 则

D

AD 的值为 BD

.

A O
4

B

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ( cos x + sin x )( cos x ? sin x ) . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 0 < α <

π π ?α ? 1 , 0 < β < ,且 f ? ? = , 2 2 ?2? 3

?β? 2 f ? ? = ,求 sin (α ? β ) 的值. ?2? 3

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示: 食物类型 维生素 C (单位/kg) 维生素 D (单位 /kg) 成本(元 /kg) 甲 300 700 5 乙 500 100 4 丙 300 300 3

某工厂欲将这三种食物混合成 100 kg 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为 x kg、 y kg 、 z kg. (1) 试以 x 、 y 表示混合食物的成本 P ; (2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D ,问 x 、 y 、 z 取什 么值时,混合食物的成本最少?
3

18. (本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN ? ABCD , 下半部分是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 (如 图 5). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6, 其中正(主)视图由正方形和等 腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成 . (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM ⊥ 平面 CDMN ; (3)求该建筑物的体积.

2

M D A

N C B

1

1

4

4

D1 A1
5

C1 B1
( ) 6 (

2 )

19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x = 4 y 有一个相同的焦点 F1 , 直线 l : y = 2 x + m 与抛物线 C 2 只有一个公共点 . (1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方 程及点 P 的坐标.
2

4

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ∈ N ,都有 an > 0 且 Sn =
*

( an ? 1)( an + 2 ) ,
2

令 bn =

ln an +1 . ln an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)使乘积 b1 ? b2 ? ??? ? bk 为整数的 k ( k ∈ N ) 叫“龙数” ,求区间 [1, 2012] 内的所有
*

“龙数”之和; (3)判断 bn 与 bn+1 的大小关系,并说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ?

1 2 ax + x , a ∈R. 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存 在,说明理由.

5

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如 果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标 准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当 www.moxistar.com 的解答在某一步出现错误时,如果后 继部分的解答未改变该题的内容 和难度, 可视影响的程度决定后继部分的得分, 但所给分数不得超过该部分正确解 答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11 . ( ?3,1) 12.

1 3

13. ?

? 2 ? ,1? 2 ? ?

14. ? 2 3,

? ?

2π ? 3 ? ?

15.

2

说明:第 14 题答案可以是 ? 2 3,

? ?

2π ? + 2k π ? ( k ∈ Z ) 3 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正 弦等知识 , 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力 ) (1)解:∵ f ( x ) = ( cos x + sin x )( cos x ? sin x )

= cos 2 x ? sin 2 x = cos 2 x ,
∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 T = (2)解:由(1)得 f ( x ) = cos 2 x .

…………… 2 分 …………… 4 分

2π =π . 2

…………… 6 分

6

∵f?

?α ? 1 ?= , ?2? 3

?β? 2 f ? ?= , ?2? 3
…………… 8 分

∴ cos α = ∵0 <α <

1 2 , cos β = . 3 3

π π ,0 < β < , 2 2
2 2 5 , sin β = 1 ? cos 2 β = . 3 3
……………10 分

∴ sin α = 1 ? cos 2 α =

∴ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β

……………11 分

=

2 2 2 1 5 × ? × 3 3 3 3
……………12 分

=

4 2? 5 9

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识 ) (1)解:依题意得 ?

? x + y + z = 100, ? P = 5 x + 4 y + 3 z.

…………… 2 分

由 x + y + z = 100 ,得 z = 100 ? x ? y ,代入 P = 5 x + 4 y + 3 z , 得 P = 300 + 2 x + y . …………… 3 分

? x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, ? (2) 解:依题意知 x 、 y 、 z 要满足的条件为 ?300 x + 500 y + 300z ≥ 35000, ……… 6 分 ?700 x + 100 y + 300z ≥ 40000. ? ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?100 ? x ? y ≥ 0, ? 把 z = 100 ? x ? y 代入方程组得 ? …… 9 分 ?2 x ? y ≥ 50, ? ? y ≥ 25.
如图可行域(阴影部分)的一个顶点为 A ( 37.5, 25) .… 10 分 让目标函数 2 x + y + 300 = P 在可行域上移动, 由此可知 P = 300 + 2 x + y 在 A ( 37.5, 25) 处取得最小值. ……… 11 分 ∴当 x = 37.5 (kg), y = 25 (kg), z = 37.5 (kg) 时, 混合食物的成本最少 .
7

y
2x-y=50

A

y=25 x x+y=100
……… 12 分

O

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:作 MO ⊥ 平面 ABCD ,垂足为 O ,连接 AO , 由于 AB ? 平面 ABCD ,故 MO ⊥ AB . 作 MP ⊥ AB ,垂足为 P ,连接 PO , 又 MO ∩ MP = M ,且 MO ? 平面 MPO , MP ? 平面 MPO , ∴ AB ⊥ 平面 MPO . 由题意知 MO = PO = AP = 1, AA1 = 4 , AD = 2 , 在 Rt△ POM 中, PM = 在 Rt△ APM 中, AM = ∴线段 AM 的长为 3 . (2)解:延长 PO 交 CD 于点 Q ,连接 MQ , 由( 1)知 AB ⊥ 平面 MPO . ∵ MQ ? 平面 MPO , ∴ AB ⊥ MQ . ∵ MN / / AB , ∴ MN ⊥ MQ . …………… 6 分 …………… 1 分 …………… 2 分 …………… 3 分 …………… 4 分 …………… 5 分

PO 2 + MO 2 = 2 , AP 2 + PM 2 = 3 ,

M D A O P P1 Q

N Q1 B C

D1 A1 B1

C1

在△ PMQ 中, MQ = MP = ∵ MP + MQ = 4 = PQ , ∴ MP ⊥ MQ .
2 2 2

2, PQ = 2 ,

…………… 7 分

∵ MP ∩ MN = M , MP ? 平面 ABNM , MN ? 平面 ABNM , ∴ MQ ⊥ 平面 ABNM . ∵ MQ ? 平面 CDMN , ∴平面 ABNM ⊥ 平面 CDMN . …………… 9 分 …………… 8 分

8

(3)解法 1:作 NP 1 / / MP 交 AB 于点 P 1 ,作 NQ1 / / MQ 交 CD 于点 Q1 , 由题意知多面体 MN ? ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M ? APQD 和

N?P 1 BCQ1 和一个直三棱柱 MPQ ? NPQ 1 1.
1 2 ×1× 2 ×1 = , ………… 10 分 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ ? NPQ iMPi MQi MN = × 2 × 2 × 2 = 2 ,…11 分 1 1 的体积为 V2 = 2 2 2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V = 2V1 + V2 = 2 × + 2 = . …………… 12 分 3 3
四棱锥 M ? APQD 的体积为 V1 = i APi AD i MO = 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 V3 = AB i BC i AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 . ……… 13 分 ∴建筑物的体积为 V + V3 =

1 3

106 . 3

……… 14 分

解法 2:如图将多面体 MN ? ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ ? BCQ1 ,

Q
依题意知 AQ = DQ = BQ1 = CQ1 =

M D

N

Q1 C B

2, MQ = NQ1 = 1 , AD = 2 .
A

多面体 MN ? ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积 减去两个等体积的三棱锥 M ? ADQ 和 N ? BCQ1 的体积 . ∵ AQ 2 + DQ 2 = 4 = AD 2 , ∴ ∠AQD = 90 . 直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积为 V1 =
°

O P

D1 A1 B1

C1

1 1 i AQ i DQ i AB = × 2 × 2 × 4 = 4 ,… 10 分 2 2 1 1 1 1 1 三棱锥 M ? ADQ 的体积为 V2 = i i AQ i DQ iMQ = × × 2 × 2 × 1 = . … 11 分 3 2 3 2 3 2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V = V1 ? 2V2 = 4 ? = . …… 12 分 3 3
长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 V3 = AB i BC i AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 . ……… 13 分 ∴建筑物的体积为 V + V3 = 19.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, www.wemoxi.com 考查数形结合、化归与转 化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 ?

106 . 3

……………… 14 分

? y = 2 x + m, 2 消去 y ,得 x ? 8 x ? 4 m = 0 . 2 x = 4 y ?
9

…………… 1 分

∵直线 l 与抛物线 C 2 只有一个公共点, ∴ ? = 8 + 4 × 4m = 0 ,解得 m = ?4 . ∴直线 l 的方程为 y = 2 x ? 4 . 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) , 由y=
2

…………… 3 分 …………… 4 分

1 2 1 x ,得 y ' = x , 4 2
'

∴直线 l 的斜率 k = y

x= x0

=

1 x0 . 2

…………… 1 分

依题意得

1 x0 = 2 ,解得 x0 = 4 . 2

…………… 2 分

把 x0 = 4 代入抛物线 C 2 的方程,得 y0 = 4 . ∵点 ( x0 , y0 ) 在直线 l 上, ∴ 4 = 2 × 4 + m ,解得 m = ?4 . ∴直线 l 的方程为 y = 2 x ? 4 . (2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 ( 0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ( 0,1) , F2 ( 0, ?1) . 设点 F1 ( 0,1) 关于直线 l 的对称点为 F1' ( x0 , y0 ) , …………… 5 分 …………… 3 分 …………… 4 分

y

? y0 ? 1 × 2 = ?1, ? x0 ? 则? …………… 7 分 y + 1 x ? 0 = 2 × 0 ? 4. ? ? 2 2
解得 ?

F1 O F2 P0

P x F1
'

? x0 = 4, ? y0 = ?1.
'

∴点 F1 ( 4, ?1) .
'

…………… 8 分

∴直线 l 与直线 F1 F2 : y = ?1 的交点为 P0 ? 由椭圆的定义及平面几何知识得:

?3 ? , ?1? . ?2 ?

…………… 9 分

椭圆 C1 的长轴长 2a = PF1 + PF2 = PF1 + PF2 ≥ F1 F2 = 4 ,

'

'

…………… 11 分

10

其中当点 P 与点 P0 重合时,上面不等式取等号. ∴当 a = 2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4 . 此时椭圆 C1 的方程为 …………… 12 分

y 2 x2 ?3 ? 点 P 的坐标为 ? , ?1 ? . + = 1, 4 3 ?2 ?

…………… 14 分

解法 2:∵抛物线 C 2 的焦点为 F1 ( 0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ( 0,1) , F2 ( 0, ?1) . …………… 5 分

设椭圆 C1 的方程为

y2 x2 + = 1( a > 1) , a2 a2 ?1

…………… 6 分

? y = 2 x ? 4, ? 由 ? y2 消去 y , x2 + =1 ? 2 2 a ?1 ?a
得 5a ? 4 x ? 16 a ? 1 x + a ? 1 16 ? a

(

2

)

2

(

2

) (

2

)(

2

) = 0 .(*) )

…………… 7 分 …………… 8 分 …………… 9 分

由 ? = ?16 a 2 ? 1 ? ? 4 5a 2 ? 4 a 2 ? 1 16 ? a 2 ≥ 0 ,

?

(

)?

2

(

)(

)(

得 5a 4 ? 20a 2 ≥ 0 . 解得 a ≥ 4 . ∴a ≥ 2. ∴当 a = 2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4 .
2

…………… 11 分 …………… 12 分

y 2 x2 此时椭圆 C1 的方程为 + = 1. 4 3
把 a = 2 代入(*)方程,得 x =

…………… 13 分

3 , y = ?1 , 2
…………… 14 分

∴点 P 的坐标为 ?

?3 ? , ?1 ? . ?2 ?

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于 Sn =

( an ? 1)( an + 2 )
2

2 an + an ? 2 , = 2

11

当 n = 1 时, a1 = S1 =
2

a12 + a1 ? 2 , 2

…………… 1 分

整理得 a1 ? a1 ? 2 = 0 , 解得 a1 = 2 或 a1 = ?1 . ∵ an > 0 , ∴ a1 = 2 . …………… 2 分
2 2 an + an ? 2 an +a ?2 , …………… 3 分 ? ?1 n ?1 2 2

当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 =
2 2

化简得 an ? an ?1 ? an ? an ?1 = 0 , ∴ ( an + an ?1 )( an ? an?1 ? 1) = 0 . ∵ an > 0 , ∴ an ? an?1 = 1 . ∴数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列. ∴ an = 2 + ( n ? 1) = n + 1 . (2)解:∵ bn = …………… 5 分 …………… 4 分

ln an +1 ln ( n + 2 ) = , ln an ln ( n + 1) ln ( k + 2 ) ln 3 ln 4 i i?i ln 2 ln 3 ln ( k + 1)

∴ b1 ? b2 ? ??? ? bk =

=

ln ( k + 2 ) ln 2
…………… 6 分 …………… 7 分

= log2 ( k + 2 ) .
令 log2 ( k + 2 ) = m ,则 k = 2 ? 2(m 为整数) , 由 1 ≤ 2 ? 2 ≤ 2012 ,得 3 ≤ 2 ≤ 2014 , ∴ m = 2,3, 4,? ,10 . ∴在区间 [1, 2012] 内的 k 值为 2 ? 2, 2 ? 2,? , 2 ? 2 ,
2 3 10

m

m

m

…………… 8 分

12

其和为 2 ? 2 + 2 ? 2 + ? + 2 ? 2
2 3 10

(

) (

)

(

)

= 22 + 23 + ? + 210 ? 2 × 9 22 × 1 ? 29 1? 2

(

)

=

(

) ? 18
ln ( n + 1) ln ( n + 1) = 1,

…………… 9 分 …………… 10 分

= 2026 .
(3)解法 1:∵ bn =

ln ( n + 2 ) ln ( n + 1)

>

ln ( n + 3) ln ( n + 2 ) ln ( n + 3)iln ( n + 1) b ∴ n+1 = = ln ( n + 2 ) bn ln 2 ( n + 2 ) ln ( n + 1) ? ln ( n + 3) + ln ( n + 1) ? ? ? 2 ? ? < 2 ln ( n + 2 ) ? ln ( n + 3 )( n + 1)? ? =? 2 4 ln ( n + 2 )
2 2

…………… 11 分

…………… 12 分

<

? ? n + 3 + n + 1 ?2 ? ?ln ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 4 ln 2 ( n + 2 )

2

…………… 13 分

= 1.
∴ bn +1 < bn . 解法 2:∵ bn = …………… 14 分

ln ( n + 2 ) ln ( n + 1)

>

ln ( n + 1) ln ( n + 1) ?

= 1,

∴ bn +1 ? bn =

ln ( n + 3 ) ln ( n + 2 )

ln ( n + 2 ) ln ( n + 1)
…………… 11 分

=

ln ( n + 3)iln ( n + 1) ? ln 2 ( n + 2 ) ln ( n + 2 )iln ( n + 1)
2

? ln ( n + 3) + ln ( n + 1) ? 2 ? ? ? ln ( n + 2 ) 2 ? <? ln ( n + 2 )iln ( n + 1)

…………… 12 分

13

? ln ( n + 3)( n + 1) ? 2 ? ? ? ln ( n + 2 ) 2 ? =? ln ( n + 2 )iln ( n + 1) ? 1 ? n + 3 + n + 1 ?2 ? 2 ? ln ? ? ? ? ln ( n + 2 ) 2 ? ? ?2 ? ? <? ln ( n + 2 )iln ( n + 1) = 0.
∴ bn +1 < bn . 解法 3:设 f ( x ) = …………… 14 分
2

2

…………… 13 分

ln ( x + 1) ln x

( x ≥ 2) ,
…………… 11 分

1 1 iln x ? iln ( x + 1) x 则 f ' ( x ) = x +1 . ln 2 x ∵x≥2, 1 1 1 1 ∴ iln x ? iln ( x + 1) < iln x ? iln ( x + 1) < 0 . x +1 x x x
∴f
'

(x) < 0 .

…………… 12 分

∴函数 f ( x ) 在 [ 2, +∞ ) 上单调递减. ∵ n ∈N , ∴ 2 ≤ n+1< n+ 2. ∴ f ( n + 2 ) < f ( n + 1) . ∴
*

ln ( n + 3) ln ( n + 2 )

<

ln ( n + 2 ) ln ( n + 1)

.

…………… 13 分

∴ bn +1 < bn . 21. (本小题满分 14 分)

…………… 14 分

(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) . …………… 1 分

1 ax 2 ? x ? 1 . f ′ ( x ) = ? ax + 1 = ? x x
① 当 a = 0 时, f ′ ( x ) =

…………… 2 分

1+ x ' ,∵ x > 0, ∴ f ( x ) > 0 x
14

∴ 函数 f ( x ) 单调递增区间为 ( 0, +∞ ) .

…………… 3 分

② 当 a ≠ 0 时,令 f ′ ( x ) = 0 得 ? ∵ x > 0, ∴ ax ? x ? 1 = 0 .
2

ax 2 ? x ? 1 = 0, x

∴ ? = 1 + 4a .

(ⅰ)当 ? ≤ 0 ,即 a ≤ ?

1 时,得 ax 2 ? x ? 1 ≤ 0 ,故 f ′ ( x ) ≥ 0 , 4
…………… 4 分

∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +∞ ) .

(ⅱ)当 ? > 0 ,即 a > ?

1 时,方程 ax 2 ? x ? 1 = 0 的两个实根分别为 4
…………… 5 分

x1 =

1 ? 1 + 4a 1 + 1 + 4a , x2 = . 2a 2a

若?

1 < a < 0 ,则 x1 < 0, x2 < 0 ,此时,当 x ∈ ( 0, +∞ ) 时, f ′ ( x ) > 0 . 4
…………… 6 分

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +∞ ) , 若 a > 0 ,则 x1 < 0, x2 > 0 , 此时,当 x ∈ ( 0, x2 ) 时, f ′ ( x ) > 0 ,当 x ∈ ( x2 , +∞ ) 时, f ′ ( x ) < 0, ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? ? ?

? 1 + 1 + 4a ? 1 + 1 + 4a ? , 单调递减区间为 ? . , +∞ ? ? ? ? ? 2a 2 a ? ? ?
…………… 7 分

综上所述,当 a > 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 + 1 + 4a ? 2a ?

? ,单调递减区间 ? ? ?

为?

? 1 + 1 + 4a ? ; , +∞ ? ? ? 2a ? ?
………… 8 分

当 a ≤ 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +∞ ) ,无单调递减区间.

(2)解:由(1)得当 a ≤ 0 时,函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增,故函数 f ( x ) 无极值; …………… 9 分

15

当 a > 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 + 1 + 4a ? 2a ?

? ,单调递减区间为 ? ? ?

? 1 + 1 + 4a ? ; , +∞ ? ? ? ? 2a ? ?
则 f ( x ) 有极大值,其值为 f ( x2 ) = ln x2 ?
2 2 而 ax2 ? x2 ? 1 = 0 ,即 ax2 = x2 + 1 ,

1 2 1 + 1 + 4a . … 10 分 ax2 + x2 ,其中 x2 = 2 2a

x2 ? 1 . 2 x ?1 1 1 设函数 h( x) = ln x + ( x > 0) ,则 h ' ( x ) = + > 0 , 2 x 2 x ?1 则 h( x) = ln x + 在 ( 0, +∞ ) 上为增函数. 2
∴ f ( x2 ) = ln x2 + 又 h(1) = 0 ,则 h( x) > 0 等价于 x > 1 . ∴ f ( x2 ) = ln x2 +

…………… 11 分 …………… 12 分

x2 ? 1 > 0 等价于 x2 > 1 . 2

…………… 13 分

即在 a > 0 时,方程 ax 2 ? x ? 1 = 0 的大根大于 1, 设 ? ( x) = ax 2 ? x ? 1 ,由于 ? ( x) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点 (0, ? 1) ,对称 轴x=

1 > 0 ,则只需 ? (1) < 0 ,即 a ? 1 ? 1 < 0 解得 a < 2 ,而 a > 0 , 2a
……………… 14 分

故实数 a 的取值范围为 ( 0, 2 ) . 说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分. 1.由于

1 + 1 + 4a 1 1 1 + 4a 1 1 1 4 = + = + + 在 ( 0, +∞ ) 是减函数, 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a



1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a = 1 时, a = 2 ,故 > 1 的解集为 ( 0, 2 ) , 2a 2a

从而实数 a 的取值范围为 ( 0, 2 ) .

2.解不等式

1 + 1 + 4a > 1 ,而 a > 0 ,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为 ( 0, 2 ) . 2a

16


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