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2017届高三数学(人教版理)二轮复习课件:专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理1.1.1

时间:


第一讲

集合、常用逻辑用语

【知识回顾】 1.集合的概念、关系及运算 互异性 、无序性. (1)集合元素的特性:确定性、_______ A?C (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?_____. (3)空集是任何集合的子集.

2n 个,真子集有____ 2n-1 (4)含有n个元素的集合的子集有__
2n-2 个. 个,非空真子集有____

(5)重要结论:
A?B B?A A∩B=A?_____,A∪B=A ?_____.

2.四种命题之间的关系 相同 的真假性;两 (1)两个命题互为逆否命题,它们有_____

没有关系 个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_________.
(2)一个命题的逆命题与它的否命题同真同假.

3.充要条件 设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有 从逻辑观点看
? p) p是q的充分不必要条件(p?q,q ?

p是q的必要不充分条件(q?p,p ? ? q) p是q的充要条件(p?q)
? q, p是q的既不充分也不必要条件(p ? q p)

从集合观点看 A?B _____ B?A _____ A=B ____

A与B互不包含

4.简单的逻辑联结词 (1)命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有

p,q均为真,才为真;?p和p为真假对立的命题.
?p)∧(?q) 命题p∧q的否定是 (2)命题p∨q的否定是( ___________;

(?p)∨(?q) ___________.

5.全(特)称命题及其否定 (1)全称命题p:?x∈M,p(x).它的否定为?p:

?x0∈M,?p(x0) ______________.
(2)特称命题p:?x0∈M,p(x0).它的否定为?p:

?x∈M,?p(x) _____________.

【易错提醒】 1.忽略集合元素互异性致误:在求解与集合有关的参数

问题时,一定要注意集合元素的互异性,否则容易产生
增根.

2.忽略空集致误:空集是任何集合的子集,是任何非空 集合的真子集,在分类讨论时要注意“空集优先”的原

则.

3.混淆命题的否定与否命题致误:在求解命题的否定与 否命题时,一定要注意命题的否定是只对命题的结论进

行否定,而否命题既对命题的条件进行否定,又对命题
的结论进行否定,否则容易致误.

4.注意问题的表达方式:“A的充分不必要条件是B”是 指B能推出A,但A不能推出B;“A是B的充分不必要条件”

是指A能推出B,但B不能推出A.

【考题回访】 1.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},

B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=(
A.{1} C.{0,1,2,3} B.{1,2} D.{-1,0,1,2,3}

)

【解析】选C.B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}= {x|-1<x<2,x∈Z},所以B={0,1},

所以A∪B={0,1,2,3}.

2 2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:?n0∈N, n 0 ?, 2n
0

则 ? p 为(

)
2 B.?n0∈N, n0 ? 2n 2 n0 ? 2n D.?n0∈N,
0

A.?n∈N,n2>2n C.?n∈N,n2≤2n

0

【解析】选C. ? p:?n∈N,n2≤2n.

3.(2016·全国卷Ⅲ)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0}, T={x|x>0},则S∩T=( )

A.[2,3]
C.[3,+∞)

B.(-∞,2]∪[3,+∞)
D.(0,2]∪[3,+∞)

【解析】选D.在集合S中(x-2)(x-3)≥0,解得x≥3

或x≤2,所以S∩T={x|0<x≤2或x≥3}.

4.(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否 去过A,B,C三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市; 丙说:我们三人去过同一个城市.

由此可判断乙去过的城市为________.

【解析】由丙可知,乙至少去过一个城市,由甲可知甲 去过A,C且比乙多,故乙只去过一个城市,且没有去过C

城市,故乙只去过A城市.
答案:A

热点考向一

集合的概念及运算

命题解读:主要考查集合的交集、并集的运算,有时也 会考查补集、集合之间的关系,四年来只出现选择题题

型.

【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅰ)设集合A= {x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=(
3 3 A.(?3, ? )??????????B.(?3, ) 2 2 3 3 C.(1, )????????????????D.( , 3) 2 2

)

(2)(2016·福州一模)已知集合A={x|y=ln(1-2x)}, B={x|x2≤x},全集U=A∪B,则?U(A∩B)= (
A.(??,0) 1 C.(??,0) ? [ ,1] 2 1 B.( ? ,1] 2 1 D.( ? ,0] 2

)

【解题导引】(1)先依据A,B的意义,求出各自的解集, 再求交集. (2)先化简A,B两个集合,再求出它们的并集,最后求 出它们的补集.

【规范解答】(1)选D.A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},

B={x|2x-3>0}= {x|x ? 3}.
所以A∩B= {x| 3 ? x ? 3}.
2 2 2

(2)选C.对于A= ( ? ?, 1 ), B=[0,1],A∩B= [0, 1 ),

U=(-≦,1], ?U(A∩B)=(-≦,0)∪ [ 1 , 1].
2

2

命题角度二

集合间的关系的判断

【典例2】(1)(2016·蚌埠二模)已知集合M={1,4,7},

M∪N=M,则集合N不可能是
A.? B.{1,4} C.M

(

)
D.{2,7}

(2)(2016·佛山二模)自主招生联盟成形于2009年清华 大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联

盟,“卓越”联盟和“京派”联盟.在调查某高中学校
高三学生自主招生报考的情况时,得到如下结果:

①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟; ②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟;

③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟;
④不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟.

根据上述调查结果,下列结论错误的是

(

)

A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生

B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多
C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟 D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟

【解题导引】(1)由M∪N=M,得N?M,根据集合关系进行 判断即可.(2)将各个联盟看成集合,画出韦恩图即可得

出结果.

【规范解答】(1)选D.因为M∪N=M,所以N?M, 所以集合N不可能是{2,7}.

(2)选D.集合A表示报考“北约”联盟的学生,
集合B表示报考“华约”联盟的学生, 集合C表示报考“京派”联盟的学生,

集合D表示报考“卓越”联盟的学生,

?A ? B ? ?, ? B ? C, 由题意得 ? 所以 ? ?D ? C ? ?, ? ??U D ? B,

? A ? D, ? ? B ? C, 选项A.B∩D=?, ?? D ? B. ?U

正确;选项B.B=C,正确;选项C.A?D,正确.

【规律方法】 1.解答集合问题的策略

(1)正确理解各个集合的含义,弄清集合元素的属性.
(2)依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化 简求解.

2.一般策略 (1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解.

(2)若给定的集合是点集,用图象法求解.
(3)若给定的集合是抽象集合,常用Venn图求解.

【题组过关】 1.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,-1,0,1,2},

B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=(
A.{-1,0} C.{-1,0,1} B.{0,1} D.{0,1,2}

)

【解析】选A.由已知得B={x|-2<x<1},故A∩B={-1,0}.

2.(2016·朔州二模)已知集合A={1,2,3,4},B={x∈ Z||x|≤1},则A∩(?ZB)= ( )

A.?
C.{3,4}

B.{4}
D.{2,3,4}

【解析】选D.因为集合A={1,2,3,4},B={x∈Z||x|≤1} ={-1,0,1},所以A∩(?ZB)={2,3,4}.

3.(2016·江南十校一模)已知集合P={x|-1<x<b,b∈N}, Q={x|x2-3x<0,x∈Z},若P∩Q≠?,则b的最小值等于

(
A.0 B.1 C.2 D.3

)

【解析】选C.集合P={x|-1<x<b,b∈N},Q={x|x2-3x<0, x∈Z}={1,2},P∩Q≠?, 可得b的最小值为2.

4.(2016·武汉一模)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},集合 B={x|x2-cx<0(c>0)},若A?B,则c的取值范围为( )

A.(0,1]
C.[1,+∞)

B.(0,1)
D.(1,+∞)

【解析】选C.由题意将两个集合化简得:A=(0,1),
B=(0,c),因为A?B,所以c≥1.

【加固训练】 1.(2016·蚌埠二模)已知全集U={0,1,2,3,4},

集合M={2,3,4},N={0,1,4},则集合{0,1}
可以表示为( A.M∪N ) B.( ?U M)∩N

C.M∩( ?U N)

D.( ?U M)∩( ?U N)

【解析】选B.全集U={0,1,2,3,4},集合M={2, 3,4},N={0,1,4},所以 ?U M={0,1}, N∩( ?U M)={0,1}.

2.(2016·衡阳一模)已知集合A={0,1,2},B={x|y=lnx}, 则A∩B= ( )

A.{0,2}

B.{0,1}

C.{1,2}

D.{0,1,2}

【解析】选C.B={x|y=lnx}={x|x>0}, 则A∩B={1,2}.

3.(2016·蚌埠二模)若全集U={0,1,2,4},且?UA={1,2}, 则集合A= ( )

A.{1,4}

B.{0,4}

C.{2,4}

D.{0,2}

【解析】选B.全集U={0,1,2,4},且?UA={1,2},则集合 A={0,4}.

4.(2016·佛山二模)已知U=R,函数y=ln(1-x)的定义域 为M,集合N={x|x2-x<0}.则下列结论正确的是( )

A.M∩N=N
C.M∪N=U

B.M∩(?UN)=?
D.M?(?UN)

【解析】选A.由1-x>0,解得x<1,故函数y=ln(1-x)的定 义域为M=(-∞,1),由x2-x<0,解得0<x<1,故集合

N={x|x2-x<0}=(0,1),所以M∩N=N.

5.(2016·长沙二模)已知集合A={x|-3<x<3}, B={x|x(x-4)<0},则A∪B= ( )

A.(0,4)

B.(-3,4)

C.(0,3)

D.(3,4)

【解析】选B.因为集合A={x|-3<x<3}, B={x|x(x-4)<0}={x|0<x<4},

所以A∪B={x|-3<x<4}=(-3,4).

热点考向二

命题及逻辑联结词

命题解读:主要考查全(特)称命题的否定、四种命题之

间的关系以及命题的否定,以选择题、填空题的形式出
现.

【典例3】(1)(2016·黄冈二模)下列命题中的假命题 是 ( )

A.?x0∈R,lnx0<0
B.?x∈(-∞,0),ex>x+1 C.?x>0,5x>3x

D.?x0∈(0,+∞),x0<sinx0

(2)(2016·衡阳一模)已知命题p:?α 0∈R,cos(π α 0)=cosα 0;命题q:?x∈R,x2+1>0.则下面结论正确的



(

)
B.p∧q是假命题 D.p是假命题

A.p∧q是真命题 C.?p是真命题

【解题导引】(1)根据对数函数以及指数函数的性质分 别判断各个选项即可.(2)p:取α0= ? , 则cos(π-α0)
2

=cosα0,即可判断出真假;命题q:利用实数的性质可得
q的真假,再利用复合命题真假的判定方法即可得出.

1 1 【规范解答】(1)选D.对于A:比如x0= 时,ln =-1,是 e e

真命题;对于B:令f(x)=ex-x-1,f′(x)=ex-1<0在x∈ (-≦,0)上恒成立,f(x)在x∈(-≦,0)上递减,所以

f(x)>f(0)=0,是真命题;对于C:因为当α>0时,y=xα
在第一象限为增函数,所以5x>3x是真命题;对于D:令 g(x)=x-sinx,g′(x)=1-cosx≥0,g(x)递增,所以 g(x)>g(0)=0,是假命题.

(2)选A.对于p:取α0= ? , 则cos(π-α0)=cosα0,因此
2

正确;对于命题q:?x∈R,x2+1>0,正确.由上可得:p∧q 是真命题.

【规律方法】 1.命题真假的判定方法

(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别.
(2)四种命题真假的判断:一个命题和它的逆否命题同 真假,而其他两个命题的真假无此规律.

(3)形如p∨q,p∧q,?p命题的真假根据p,q的真假与联 结词的含义判定.

2.全称命题与特称命题真假的判定 (1)全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限

定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,要判定其为假
命题时,只需举出一个反例即可.

(2)特称命题:要判定一个特称命题为真命题,只要在限 定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;

否则,这一特称命题就是假命题.

3.常见词语及否定

词语



都是

至少 有一 个
一个 也没 有

至多 有一 个
至少 有两 个

大于 小于 或等 于

?x∈A,使 p(x)真 ?x0∈A, 使p(x0) 假

否定 不是

不都 是

【题组过关】 1.(2016·太原一模)命题“?x∈R,函数y=π x”是增函

数的否定是

(

)

A.“?x∈R,函数y=π x0”是减函数 B.“?x∈R,函数y=π x0”不是增函数

C.“?x0∈R,函数y=π x0”不是增函数
D.“?x0∈R,函数y=π x0”是减函数

【解析】选C.因为全称命题的否定是特称命题,所以, 命题“?x∈R,函数y=π x”是增函数的否定是:

“?x0∈R,函数y=π x0”不是增函数.

2.(2016·广州一模)已知命题p:?x∈N*, ( 1 ) x ? ( 1 ) x,
2 3

命题q:?x0∈R, 2x ? 21?x ? 2 2, 则下列命题中为真命
0 0

题的是
A.p∧q

(

)
B.(?p)∧q D.(?p)∧(?q)

C.p∧(?q)

【解析】选A.由 ( 1 ) x ? ( 1 ) x,得x≥0,故命题p为真命题.
2 3

因为 2x ? 21?x ? 2 2, 所以 2x ? 2 ? 2 2 ? 0, x
0 0

0

2

0

所以 ? 2x

0

?
2

2

2=0, x 所以 ( ) 2 ? 2 ? 2 2 ?2 ? 2 ? 0,
x0
0

所以x0= 1 ,故命题q为真命题.所以p∧q为真命题.

3.下列说法中正确的是

(

)

A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则

x≠1”
B.已知a>1,f(x)= a x ?2x , 则f(x)<1成立的充要条件为
2

-2<x<0

C.命题“存在x0∈R,使得x02+x0+1<0”的否定是:“对 任意x∈R,均有x2+x+1<0”

D.命题“角α 的终边在第一象限,则α 是锐角”的逆
否命题为真命题

【解析】选B.对于A,命题“若x2=1,则x=1”的否命题 为:“若x2=1,则x≠1”,不满足否命题的定义,所以A不

正确;对于B,f(x)<1成立的充要条件是 a x ? 2x <1,因为
2

a>1,所以x2+2x<0,所以-2<x<0,正确;对于C,命题“存 在x0∈R,使得x02+x0+1<0”的否定是:“对任意x∈R,均

有x2+x+1<0”,不满足命题的否定形式,所以不正确;对

于D,命题“角α的终边在第一象限,则α是锐角”是假 命题,所以其逆否命题也为假命题,所以D不正确.

x ? y ? 1, 4.(2014·全国卷Ⅰ)不等式组 ? 的解集记为D. ? ? x ? 2y ? 4

有下面四个命题:

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2;
p2:?(x0,y0)∈D,x0+2y0≥2; p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3;

p4:?(x0,y0)∈D,x0+2y0≤-1.

其中真命题是( A.p2,p3

)

B.p1,p4

C.p1,p2

D.p1,p3

【解析】选C.画出可行域如图所示,

设x+2y=z,则y=- 1 x+ z ,当直线经过点A(2,-1)时z
2 2

取得最小值,zmin=2+2×(-1)=0,即z≥0,所以命题p1,
p2是真命题.

【加固训练】 1.已知命题p:“?x∈R,x+1≥0”的否定是“?x∈R,

x+1<0”;命题q:函数y=x-3是幂函数,则下列命题为真
命题的是 A.p∧q ( ) B.p∨q

C.?q

D.p∧(?q)

【解析】选B.易知命题p是假命题;命题q是真命题,所

以p∨q是真命题.

2.下列说法正确的是

(

)

A.命题“?x0∈R,x02+x0+2016>0”的否定是“?x∈R,

x2+x+2016<0”
B.命题p:函数f(x)=x2-2x仅有两个零点,则命题p是真

命题
C.函数f(x)= 1 在其定义域上是减函数 D.给定命题p,q,若“p且q”是真命题,则?p是假命题
x

【解析】选D.A错误,正确应为“?x∈R,x2+x+2016 ≤0”;B错误,作出f(x)=x2,f(x)=2x图象可知有三个

交点;C错误,函数f(x)= 1 在其定义域上不是减函数;
x

D正确.

3.已知下列命题: ①“若x2-x=0,则x=0或x=1”的逆否命题为“若x≠0且

x≠1,则x2-x≠0”;
②“x<1”是“x<3”的充分不必要条件; ③命题p:存在x0∈R,使得sinx0<0,则?p:任意x∈R,都

有sinx≥0;

④若p且q为假命题,则p,q均为假命题. 其中真命题个数为 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选C.由题可知,①正确,②正确;特称命题的否 定为全称命题,所以③显然正确;若p且q为假命题,则 p,q至少有一个是假命题,所以④的推断不正确.

热点考向三

充要条件的判断

命题解读:主要考查充要条件的判断、依据充要条件求

参数,以选择题、填空题为主.

【典例4】(1)若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a}, 则“A∩B≠?”的充要条件是 ( )

A.a>-2
C.a>-1

B.a≤-2
D.a≥-1

(2)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是 “loga3<logb3”的 ( )

A.充要条件
C.必要不充分条件

B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

【解题导引】(1)由A∩B≠?想到集合A与集合B有交集, 求参数a的取值范围可结合数轴求解.

(2)首先由3a>3b>3,看能否推出loga3<logb3;再看由
loga3<logb3,能否一定得出3a>3b>3.

【规范解答】(1)选C.由x2-x-2<0知-1<x<2, 即A={x|-1<x<2}.又因为B={x|-2<x<a},A∩B≠?,所以

结合数轴知a>-1.

(2)选B.由3a>3b>3,知a>b>1,所以log3a>log3b>0,所以
1 1 ? , 即loga3<logb3,所以“3a>3b>3”是 log 3a log 3 b 1 “loga3<logb3”的充分条件;但是取a= , b=3也满足 3

loga3<logb3,不符合a>b>1,所以“3a>3b>3”是“loga3 <logb3”的不必要条件.

【母题变式】 1.若本例(1)中条件不变,则A∩B=?的充要条件是

__________.
【解析】由题意知A={x|-1<x<2}, 若A∩B=?,则a≤-1.

答案:a∈(-≦,-1]

2.本例(1)中条件变为“设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1}, B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1}”,若存在实数t,使得

A∩B≠?,则实数a的取值范围是________.

【解析】集合A表示的是以(4,0)为圆心,以1为半径的

圆,集合B表示的是以(t,at-2)为圆心,以1为半径的圆.
A∩B≠?说明这两个圆至少有一个交点,故 ? t ? 4?2 ? ? at ? 2?2

≤1+1=2,即(a2+1)t2-4(a+2)t+16≤0,据题意此不等式
有实数解,故判别式Δ=16(a+2)2-4(a2+1)×16≥0,即 3a2-4a≤0,解得0≤a≤ 4 . 答案:0≤a≤ 4
3 3

【规律方法】充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法:正、反方向推理,若p?q,则p是q的充分条

件(或q是p的必要条件);若p?q,且q ? ? p,则p是q的充
分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).

(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A?B,则A 是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充

要条件.
(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的 命题.

【题组过关】 1.(2016·黄冈二模)设集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},

则“x∈A且x?B”成立的充要条件
是( ) B.x≤1

A.-1<x≤1

C.x>-1

D.-1<x<1

【解析】选D.因为集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},

又因为“x∈A且x?B”,所以-1<x<1.
当-1<x<1时,满足x∈A且x?B.

?2x ? 1, x ? 0, 2.(2016·淮南一模)已知f(x)= ? 2 则 ? x ? 1, x ? 0,

“f(f(a))=1“是“a=1”的

(

)

A.充分不必要条件
C.充分必要条件

B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.当a=1,则f(a)=f(1)=0,则f(0)=0+1=1, 则必要性成立,

若x≤0,若f(x)=1,则2x+1=1,则x=0,
若x>0,若f(x)=1,则x2-1=1,则x= 2, 即若f(f(a))=1,则f(a)=0或 2,

若a>0,则由f(a)=0或 2 得a2-1=0或a2-1= 2 , 即a2=1或a2= 2 +1,解得a=1或a= 1 ? 2,

若a≤0,则由f(a)=0或 2 得2a+1=0或2a+1= 2 ,
即a= ? 1 或a= 2 ? 1(不合题意,舍去),此时充分性
2

2

不成立,

即“f(f(a))=1“是“a=1”的必要不充分条件.

3.(2016·衡阳一模)“x<1”是“lnx<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

(

)

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.因为由lnx<0得0<x<1, 所以{x|x<1}?{x|0<x<1},

所以“x<1”是“lnx<0”的必要不充分条件.

4.(2016·长沙二模)已知d为常数,p:对于任意n∈N*, an+2-an+1=d;q:数列{an}是公差为d的等差数列,则?p是

?q的

(

)
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

【解析】选A.由p ? ? q,因为p中不含有a2-a1=d;而q?p, 所以?p??q,但?q ? ? ?p,故?p是?q的充分不必要条件.

【加固训练】 1.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的

(
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

【解析】选A.由“x≥2且y≥2”可得“x2+y2≥4”,但 “x2+y2≥4”不一定能够得到“x≥2且y≥2”.

2.下列说法正确的是

(

)

A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”

B.{an}为等比数列,则“a1<a2<a3”是“a4<a5”的既
不充分也不必要条件 C.?x0∈(-∞,0),使 3x ? 4x 成立
0 0

D.“若tanα ≠ 3,则α ≠ ? ”是真命题
3

【解析】选D.因为否命题是对命题的条件进行否定做 条件,对命题的结论进行否定做结论,所以选项A错误;

因为在等比数列中,若“a1<a2<a3”,则可推出a1>0,q>1
或a1<0,0<q<1,进而得出a4<a5,但a4<a5,公比可正可负, 因此a1,a2,a3的大小顺序不确定,所以选项B错误;因为

当x<0时,3x>4x,所以选项C错误;显然选项D正确.


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