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广东省华南师大附中2012年5月高三综合测试(文数)PPT_图文

时间:2014-04-14

华南师大附中高三综合测试 (文科数学)
2012.5

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

1.如果复数(2 ? bi )i(其中b ? R)的实部与虚部互为相反数, 则b ? ( A ) A. ? 2 B.2 C. ? 1 D.1

(2 ? bi )i ? b ? 2i ,? b ? ?2

2.已知集合P ? {1, 3},集合Q ? { x | mx ? 1 ? 0}, 若Q ? P , 则实数m的取值集合为( D ) A.{1} ?1? B. ? ? ?3? ? 1? C . ?1, ? ? 3? 1? ? D. ?0,1, ? 3? ?

1 Q可能为?, {1},{3},? m ? 0,1, 3

3.与函数y ? 0.1

lg(2 x ?1)

1 A. y ? 2 x ? 1( x ? ) 2 1 1 C. y ? (x ? ) 2x ? 1 2

的图像相同的函数解析式是( C ) 1 B. y ? 2x ? 1 1 D. y ? 2x ? 1

y ? 0.1

lg(2 x ?1)

?

1 10
lg(2 x ?1)

1 1 ? (x ? ) 2x ? 1 2

4.已知某个几何体的三视图如右,其中主视图和左视图 (侧视图)都是边长为a的正方形,俯视图是直角边长为a 的等腰直角三角形,则此几何体的表面积为( A ) A.(3 ? 2)a 2 C .(4 ? 2)a
2

B .4a 2 D.3 2a
2

主视图

左视图

a
俯视图

a

a
1 2 S ? (2a ? 2a ) ? a ? 2 ? a ? (3 ? 2)a 2 2

? ? ? ? ? ? 5.给定两个向量a ? (3, 4), b ? (2,1), 若( a ? xb) ? (a ? b), 则x等于( A ) A. ? 3 C .3 ? ? ? ? a ? xb ? (3 ? 2 x , 4 ? x ), a ? b ? (1, 3) ? ? ? ? ? (a ? xb ) ? (a ? b ), 3 B. 2 3 D. ? 2

? 3 ? 2 x ? 12 ? 3 x ? 0, x ? ?3

6.一个公司有N 个员工,下设一些部门,现采用分层抽样 方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本( N 是n的倍数 ). 已知某部门被抽取了m个员工,那么这一部门的员工数是 ( B ) mn A. N mN B. n nN C. m N D. n? m

设这一部门的员工数为x人, m n mN 则: ? ,? x ? x N n

7.直线2 x ? ay ? 3 ? 0的倾斜角为120?,则a的值是( A ) 2 3 A. 3 2 3 B. ? 3 C .2 3 D. ? 2 3

2 2 2 3 k ? ? ? tan120? ? ? 3,? a ? ? a 3 3

8.不等式a ? b ?| a ? b | 成立的一个充分不必要条件是( D ) A.a ? 1, b ? 1 a ? b ? ?6, B .a ? 1, b ? 1 a ? 2, b ? ?6, C .a ? 1, b ? 1 a ? ?6, b ? 2, D.a ? 1, b ? 1

当a ? 1, b ? 1时, | a ? b |? a ? b或b ? a ? a ? b ? a ? b且a ? b ? b ? a , ? a ? b ?| a ? b |

9.等差数列{an }中,若a3 ? a8 ? a13 ? C , 则其前n项和Sn的 值等于5C的是( C ) A. S7 B . S8
C 不妨设该数列为常数列,则a ? 3 nC Sn ? ? 5C ,? n ? 15 3

C . S15

D. S17

10.已知F1 , F2为椭圆E的两个焦点,以F1为顶点,F2为焦点 的抛物线C 恰好经过椭圆短轴的两个端点,则椭圆的离心 率为( C ) 1 A. 9 1 B. 6 1 C. 3
5 4

1 D. 2

抛物线方程为:y 2 ? 8c( x ? c)

3

2

1

8

6

4

2

F1
1

F2

2

4

将(0, b)代入,得: 8c 2 ? b 2 ,
2 2 2 2

2

c 1 ? a ? b ? c ? 9c ,? a ? 3c , e ? ? a 3

3

4

11.某校对文明班级的评选设计了a , b, c, d , e五个方面的 a c 1 多元评价指标,并通过经验公式样本S ? ? ? 来计 b d e 算各班综合得分,S的值越高则评价效果越好。若某班 在自测过程中各项指标显示 0 ? c ? d ? e ? b ? a , 则下阶 段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增 加最多,那么该指标应为 ( 填入a , b, c , d , e中的某

二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题, 每小题5分,满分20分。

c

个字母 ) b, d , e增加时,S 减少 1 1 1 1 当a增加1时,S增加 ; c增加1时,S 增加 , 而 ? b d d b

12.如果执行下面的程序框图,那么输出的结果是 开始



k ? 1, S ? 0
S≤50 是 否 输出S 结束

S ? S ? 2k k ? k ?1

S ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? 56

13.给出以下四个命题,所有正确命题的序号为 ①④ . ①若定义在R上的偶函数f ( x )在(0, ?? )上单调递增,则 f ( x )在( ?? , 0)上单调递减;
①显然正确

②函数y ? kx 2 ? 6kx +9的定义域为R, 则k的取值范围是 0 ? k ? 1; k ? 0时也成立 ③要得到y ? 3sin(2 x ?

?
4

)的图像,只需将y ? 3sin 2 x的

? ? ? ? ?? ? 图像向左平移 个单位;3sin(2 x ? ) ? 3sin ? 2 ? x ? ? ? 4 8 ?? ? ? 8 4

④若函数f ( x ) ? x 3 ? ax 在[1, ?? )上是单调递增函数,则 a的最大值是 3. f ?( x ) ? 3 x 2 ? a ? 0对?x ? 1恒成立, ? 3 ? a ? 0, a ? 3

(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.直线? = 是

?

3 ?4 3 ? ?
? ? 3 ,3? ? ? ?

( ? ? R)与直线? cos(? ? .

?

6

)=2的交点的极坐标

? ? ?? ? ? 3 ? ? ? cos(? ? ? ) ? 2 ? 6 ?

4 3 ? ? cos ? 2, ? ? ? , 6 3 3

?

4

15. AB是圆O的直径,EF 与圆O相切于C , AD ? EF 于D, AD ? 2, AB ? 6, 则AC的长为 .

? ?ACD ? ?B , ?ADC ? ?ACB ? 90?, ?△ACD∽△ABC , AC AD ? ? , AC 2 ? AD ? AB ? 12, AC ? 2 3 AB AC
C
D E A F

O

B

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 16.一汽车厂生产舒适型和标准型两种型号的汽车,某年 前5个月的销量如下表(单位:辆)

舒适型 标准型

1月 90 80

2月 90 70

3月 100 100

4月 100 150

5月 110 100

(1)分别求两种汽车的月平均销售量;
解: (1)舒适型轿车的平均销售量为 1 (90 ? 90 ? 100 ? 100 ? 110) ? 98辆 5 标准型轿车的平均销售量为 1 (80 ? 70 ? 100 ? 150 ? 100) ? 100辆 5

舒适型

1月 90

2月 90

3月 100

4月 100

5月 110

(2)从表中数据可以看出舒适型汽车的月销售量呈现直 线上升的趋势,试根据前5个月的业绩预测6月舒适型汽 车的销售量。 (2)列表如下: 1 2 3 4 5 求和 x 1 2 3 4 5 15 x2 1 4 9 16 25 55 y 90 90 100 100 110 490 x· y 90 180 300 400 550 1520

?? b

n 5 x ? 83, x ? 6时,y ?? ? ? 113, ?y xi yi ? nx ? y ? 预测 6月份舒适型汽车的销售量为 113辆 1520 ? 5 ? 3 ? 98 i ?1

?

n

2

2

?

55 ? 5 ? 32

? x ? 83 ? ? y?b ? 5, a

17.在△ABC中,a , b, c分别是角A、B、C的对边,已知 ?? ? ? ? 向量m ? (a , b),向量n ? (cos A,cos B ),向量 p ? ?? ? ? ?2 B?C (2 2 sin , 2sin A), 若m / / n, p ? 9, 求证:△ABC 为 2 等边三角形. ?? ? 证明: ? m / / n,? a cos B ? b cos A,由正弦定理,得: sin A cos B ? cos A sin B ? 0, 即sin( A ? B) ? 0 ? A、B为三角形内角, ??? ? A ? B ? ? , ? A ? B ? 0,即A ? B
B?C 2 2 A ? p ? 9,? 8sin ? 4sin A ? 8cos ? 4sin 2 A ? 9 2 2
2 2

?△ABC为正三角形.

1 ? ? 4cos A ? 4cos A ? 1 ? 0,cos A ? ,? 0 ? A ? ? ,? A ? 2 3
2

x y 18.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)与直线x ? y ? 1 ? 0相交 a b 于A、B两点,且OA ? OB(O为坐标原点). 1 1 (1)求 2 ? 2 的值; a b

2

2

解: (1)将x ? y ? 1 ? 0代入椭圆方程,整理得: (a 2 ? b2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b2 ) ? 0 (?)
2a 2 a 2 (1 ? b2 ) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 2 a ?b a ? b2 b2 (1 ? a 2 ) 而y1 y2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 2 2 a ? b 1 1 经验证,此时方程 (?)有解, ? 2 ? 22 ? 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 a 2a bb ? OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 2 ? 0,? 2 ? 2 ? 2 2 a ?b a b

(2)若椭圆长轴长的取值范围是[ 5, 6],求椭圆离心率e 的取值范围.
? b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? e 2a 2 ,

1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 ? 2 ?1? ?2 2 ? a b a a ?e a a ? 1? e ?
2

?e ? 1?

1 2a 2 ? 1
2

1 1 ? ? ? ? ? 2a ? ? 5, 6 ? ,? e ? ? , ? ?3 2?
? 3 2? ? e的取值范围是 ? , ? ? 3 2 ?

19.如图,直角梯形ABCD中,AB / / CD, AB ? BC , E为AB 上的点,且AD ? AE ? DC ? 2, BE ? 1, 将△ADE 沿DE 折 叠到P点,使PC ? PB.(1)求证:平面PDE ? 平面ABCD;
(1)证明:取BC中点G, DE中点H , 连结PG,GH,GP

则HG / / AB, AB ? BC ,? HG ? BC ;? PB ? PC , G是BC 中点, ? PG ? BC,又HG ? PG ? G ,? BC / / 平面PHG
PH ? 平面PHG, ? BC ? PH
P

? PD ? PE , H 是DE中点, ? PH ? DE

又BC与DE是相交直线 ? PH ? 平面ABCD PH ? 平面PDE
A

D

C
H
E B

? 平面PDE ? 平面ABCD

G

19.如图,直角梯形ABCD中,AB / / CD, AB ? BC , E为AB 上的点,且AD ? AE ? DC ? 2, BE ? 1, 将△ADE 沿DE 折 叠到P点,使PC ? PB. (2)求四棱锥P ? EBCD的体积. (2)由(1)可知,PH为四棱锥P ? ABCD的高,
? DC / / AE ? 2,且AD ? AE,?四边形AECD为菱形.
? CE ? AD ? 2, 而EB ? 1, EB ? BC ,? BC ? CE 2 ? EB 2 ? 3, DE ? 2,? PH ? AH ? 3.
P

1 ?VP ? ABCD ? ? PH ? S梯形ABCD 3 1 1 3 ? ? 3 ? ? (1 ? 2) ? 3 ? 3 2 2
A

D

C
H
E B

G

20.设函数f ( x ) ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R. (1)求f ( x )的单调区间和极值;
解: (1) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2), 令f ?( x) ? 0, 得:x ? ? 2或 2
当x变化时,f ?( x), f ( x )的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ? 2)

? 2

(? 2, 2)

2

( 2, ??)

+ 递增

0 极大值

- 递减

0 极小值

+ 递增

? f ( x )的递增区间是( ??, ? 2),( 2, ?? ), 递减区间是( ? 2, 2)

当x ? ? 2时,f ( x )有极大值5 ? 4 2; 当x ? 2时,f ( x )有极小值5 ? 4 2

20.设函数f ( x ) ? x ? 6 x ? 5, x ? R. (2)若关于x的方程f ( x ) ? a有3个不同的 实根,求实数a的取值范围;
3

11

10

9

(2)由(1)知,当5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x )的图像有 3个不同 交点,即方程f ( x ) ? a有三解.

8

7

6

5

4

3

2

1

10

8

6

4

2

2

4

1

20.设函数f ( x ) ? x ? 6 x ? 5, x ? R. (3)已知当x ? (1, ??)时,f ( x ) ? k ( x ? 1)恒成立,求实数k 的取值范围. 2 (3) f ( x) ? k( x ? 1)即( x ? 1)( x ? x ? 5) ? k( x ? 1)
3

? x ? 1,? k ? x ? x ? 5在(1, ??)上恒成立.
2

令g( x ) ? x 2 ? x ? 5,由二次函数的性质,g( x )在(1, ??) 上是增函数, ? g( x ) ? g(1) ? ?3, ? k的取值范围是( ??, ?3]

? a ? an 1 ? 21.已知正项数列{an }的前n项和Sn ? , bn ? ? 1 ? ? 2 2an ? ? ( n ? N * ).(1)求数列{an }的通项公式;
2 n
2 a1 ? a1 解: (1)当n ? 1时,a1 ? S1 ? , ? a1 ? 0或a1 ? 1, 2 由于{an }是正项数列, ? a1 ? 1 2 2 an ? an an ?1 ? an ?1 当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? ? 2 2

an

整理,得:an ? an?1 ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ), 由于{an }是正项数列, ? an ? an?1 ? 1

? 数列{an }是以1为首项,以1为公差的等差数列,

? an ? n

? a ? an 1 ? 21.已知正项数列{an }的前n项和S n ? , bn ? ? 1 ? ? 2 2a n ? ? ( n ? N * ).(1)求数列{an }的通项公式; (2)定理:若函数f ( x )在区间D上是凹函数,且f ?( x )存在,
2 n

an

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则当x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D )时,总有 ? f ?( x1 ). x1 ? x2 请根据上述定理,且已知函数y ? x n ?1 ( n ? N * )是(0, ?? ) 3 上的凹函数,证明:bn ? 2

1 ? ? (2)由(1)知bn ? ? 1 ? ? 2n ? ? 对于(0, ??)上的凹函数y ? x n?1 , 有y? ? (n ? 1) x n

n

n ?1 n ?1 x1 ? x2 n 根据定理,得: ? (n ? 1) x1 x1 ? x2

n n?1 整理,得:x1 [(n ? 1) x2 ? nx1 ] ? x2

1 1 令x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? , 得:( n ? 1) x2 ? nx1 ? 1 2n 2( n ? 1)
n 1 n?1 2

?x ? x

? 1 ? 1 ? ? ,即 ? 1 ? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? ? 2( n ? 1) ?

n

n?1

? bn ? bn?1

3 ? {bn }是单调递增数列, ? bn ? b1 ? 2


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